线性代数经管类

（优选）线性代数经管类现在是1页\一共有57页\编辑于星期三目录第一章行列式第二章矩阵第三章向量空间第四章线性方程组第五章特征值与特征向量第六章实二次型现在是2页\一共有57页\编辑于星期三第一章行列式行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。现在是3页\一共有57页\编辑于星期三§1.1行列式的定义一、二阶行列式我们用记号表示代数和a11a22a12a21称为二阶行列式。其中元素

aij

的第一个下标

i

为行下标，第二个下标

j

为列下标。即

aij

位于行列式的第

i行第

j列。主对角线次对角线二阶行列式的计算

对角线法则（口诀：叉叉相乘来相减）现在是4页\一共有57页\编辑于星期三例如说明（1）二阶行列式共有2项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的两个元素的乘积．（3）正负项各占一半.（4）行列式的本质是数.现在是5页\一共有57页\编辑于星期三二、三阶行列式同理，称为一个三阶行列式。可用下面的对角线法则计算。现在是6页\一共有57页\编辑于星期三说明（1）三阶行列式共有6项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）正负项各占一半.现在是7页\一共有57页\编辑于星期三例1解按对角线法则，有现在是8页\一共有57页\编辑于星期三

解

a210当且仅当|a|1因此可得：

例2

当a取何值时，所以，当|a|1时，现在是9页\一共有57页\编辑于星期三练习题2.计算1.计算现在是10页\一共有57页\编辑于星期三三、n阶行列式的定义三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．（3）正负项各占一半.现在是11页\一共有57页\编辑于星期三定义n2称为n阶行列式.个数aij

(i

j12

n)组成的记号由说明（1）n阶行列式共有n!项．（2）每项都是位于不同行不同列的n个元素的乘积．

（3）正负项各占一半.（4）一阶行列式不要与绝对值记号相混淆.（5）行列式的本质是数.现在是12页\一共有57页\编辑于星期三四、几个特殊的行列式现在是13页\一共有57页\编辑于星期三现在是14页\一共有57页\编辑于星期三例1计算下列行列式的值解：现在是15页\一共有57页\编辑于星期三§1.2行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．现在是16页\一共有57页\编辑于星期三例1行列式的元素的代数余子式为 A．-2B．2C．-1

D．1（A）解：现在是17页\一共有57页\编辑于星期三二、行列式展开定理结论：三阶行列式的值等于任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.现在是18页\一共有57页\编辑于星期三例1

计算行列式解一：对角线法则；解二：展开法则.总结：1.利用展开法则计算行列式时，应选择还有零元素最多的行（列）展开.现在是19页\一共有57页\编辑于星期三2.如果行列式的某一行（列）只有一个非零元，则行列式等于该非零元与其代数余子式的乘积.例2

计算行列式例3

计算行列式现在是20页\一共有57页\编辑于星期三例4

计算行列式现在是21页\一共有57页\编辑于星期三例4

计算行列式解:按照第一列展开现在是22页\一共有57页\编辑于星期三现在是23页\一共有57页\编辑于星期三练习题1.求出中元素a23、a33的代数余子式，并求出D的值.2.计算下列行列式的值现在是24页\一共有57页\编辑于星期三§1.3行列式的性质与计算一、行列式的性质

n阶行列式共有n!项因此定义计算n阶行列式是较为困难的只有少数行列式用定义计算比较方便

我们已经知道三角行列式的值就是主对角线上各元素的乘积因此我们想到能否把一般的行列式化成三角行列式来计算这就需要研究行列式的性质

现在是25页\一共有57页\编辑于星期三例转置行列式将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置

行列式记为DT或D

即如果则现在是26页\一共有57页\编辑于星期三性质1

行列式与它的转置行列式相等.即D=DT.例说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的.现在是27页\一共有57页\编辑于星期三性质2

用数k乘行列式D的某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD.这也就是说，行列式可以按行（列）提出公因数.注意必须按行或按列逐次提出公因数．证明：现在是28页\一共有57页\编辑于星期三例1

计算行列式例3

计算反对称行列式例2

计算行列式

结论：奇数阶反对称行列式的值为零

现在是29页\一共有57页\编辑于星期三现在是30页\一共有57页\编辑于星期三例如推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.证明互换相同的两行，有例如现在是31页\一共有57页\编辑于星期三性质４

行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．证明现在是32页\一共有57页\编辑于星期三因为第一行与第二行对应元素成比例根据性质4

得：

解

例4计算行列式现在是33页\一共有57页\编辑于星期三例5解方程

解

当时，第一行与第二行完全相同，行列式的值为零，解得：当时，第三行与第四行完全相同，行列式的值为零，解得：现在是34页\一共有57页\编辑于星期三性质5

若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.则D等于下列两个行列式之和：例如注意应当逐行、逐列拆开．现在是35页\一共有57页\编辑于星期三例6计算行列式例7已知，求的值.现在是36页\一共有57页\编辑于星期三性质６

把行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式不变．例如现在是37页\一共有57页\编辑于星期三或例7证明：的充要条件是例8计算行列式现在是38页\一共有57页\编辑于星期三现在是39页\一共有57页\编辑于星期三二、行列式的计算1、对角线法则（只适合于二阶、三阶行列式）a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31

注意：对角线法则对四阶及四阶以上的行列式不再适用.现在是40页\一共有57页\编辑于星期三2、化三角形法注意：（1）在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1）；（2）在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k；（3）避免分数运算.现在是41页\一共有57页\编辑于星期三例9计算行列式例10计算行列式现在是42页\一共有57页\编辑于星期三例11计算行列式3、降阶法思想：把某一行（列）化成只有一个非零元，然后按该行（列）展开.现在是43页\一共有57页\编辑于星期三例12计算行列式现在是44页\一共有57页\编辑于星期三例13计算行列式特征：

每一行、每一列元素之和为6.做法：先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数，再将后三行都减去第一行.现在是45页\一共有57页\编辑于星期三例14计算行列式现在是46页\一共有57页\编辑于星期三练习题P23.2,4(1),6(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、现在是47页\一共有57页\编辑于星期三§1.4克拉默法则用消元法解二元线性方程组现在是48页\一共有57页\编辑于星期三方程组的解为现在是49页\一共有57页\编辑于星期三前者称为非齐次线性方程组后者称为齐次线性方程组

行列式称为线性方程组的系数行列式

一、线性方程组的概念现在是50页\一共有57页\编辑于星期三二、克拉默法则如果线性方程组的系数行列式不等于零，即现在是51页\一共有57页\编辑于星期三其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为现在是52页\一共有57页\编辑于星期三例1求解方程组解：由于方程组的系数行列式,由克拉默法则，得方程组的唯一解：现在是53页\一共有57页\编辑于星期三齐次线性方程组的相关定理定理1.4.3

如果齐次线性方程组的系数行列式则它只有零解：注：n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。这是一个非常重要的结论。现在是54页\一共有57页\编辑于星期三例2判断下列线性方程组是否只有零解.解：因为方程组的系数行列式