线性代数矩阵的相似对角化演示文稿

线性代数矩阵的相似对角化演示文稿现在是1页\一共有30页\编辑于星期三（优选）线性代数矩阵的相似对角化.现在是2页\一共有30页\编辑于星期三一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念定义对于n阶矩阵

A和B，则称A

与

B

相似，称对A所进行的运算为对

A

进行相似变换。称可逆矩阵

P为把A

变成B

的相似变换矩阵。记为若存在可逆的n阶方阵

P使得或者称A

相似于

B，注矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。P144定义5.2现在是3页\一共有30页\编辑于星期三一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质(1)反身性性质(2)对称性若则(3)传递性若则(4)若则(5)若则P144定理5.5P144现在是4页\一共有30页\编辑于星期三定理若

n

阶矩阵

A

与

B

相似，则

A

与

B

有相同的特征多项式,证明因A与B相似，即存在可逆的矩阵P使得即A与B有相同的特征多项式。从而A与B有相同的特征值。故一、相似矩阵的基本概念与性质1.相似矩阵的概念2.相似矩阵的性质P144定理5.5

(3)现在是5页\一共有30页\编辑于星期三二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义对于n阶矩阵

A，则称A可相似对角化

；若存在可逆的n阶方阵

P，使得记为▲P145定义5.3现在是6页\一共有30页\编辑于星期三若存在可逆矩阵P使则则特别地，若二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处(之一)现在是7页\一共有30页\编辑于星期三例证明矩阵不能相似对角化。证(反证法)假设存在可逆矩阵P，使得即得故它们有相同的特征值，由矩阵A与

L相似，矛盾！故矩阵A不能相似对角化。现在是8页\一共有30页\编辑于星期三1.问题分析(1)L如何构成？L的主对角线上的元素由A的全部特征值构成。由于是

L

的

n

个特征值，而

A

与

L

相似，因此就是A的n个特征值

.记为所考虑的问题是寻找可逆的n阶方阵P，使得即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析现在是9页\一共有30页\编辑于星期三1.问题分析(2)P如何构成？P的列向量由A的线性无关的特征向量构成。设即则由有于是有又因为P可逆，且线性无关，故因此是

A

的

n

个线性无关的特征向量

.即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析现在是10页\一共有30页\编辑于星期三A

有

n

个线性无关的特征向量，推论如果n阶矩阵A

有

n

个不同的特征值，则矩阵A

可以相似对角化。定理n阶矩阵A

能够相似于对角矩阵的充分必要条件是1.问题分析2.矩阵可相似对角化的条件即

A

每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征值的重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析P145定理5.6P146推论2P145推论1现在是11页\一共有30页\编辑于星期三三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(1)求n阶方阵A的特征值其重数分别为(2)对每一个特征值求矩阵A特征向量，并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为(3)若则A不能相似对角化；(4)若从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，现在是12页\一共有30页\编辑于星期三其中个个个三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤(4)若从而有则以这些特征向量作为列向量构成矩阵P，现在是13页\一共有30页\编辑于星期三三、矩阵相似对角化的方法步骤(2)因是的基础解系中的解向量，故的因此P也不是唯一的。(3)由于的根只有

n

个(重根按重数计算)，所以则是唯一的。如果不计特征值的排列顺序，几点说明(1)P中的列向量(即特征向量)的排列顺序要与特征值的顺序一致。取法不是唯一的。现在是14页\一共有30页\编辑于星期三例试将矩阵相似对角化。解令(三重根)得A

的特征值为由得A

的特征向量为显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，因此矩阵A不能相似对角化。现在是15页\一共有30页\编辑于星期三例将矩阵相似对角化，并求解(1)由得A

的特征值为对对取特征向量令则(重根)(单根)取特征向量现在是16页\一共有30页\编辑于星期三解有(2)由例将矩阵相似对角化，并求现在是17页\一共有30页\编辑于星期三则P可逆，解(1)令且例设三阶方阵A的三个特征值为且对应的特征向量分别是求矩阵A和现在是18页\一共有30页\编辑于星期三(2)因此有现在是19页\一共有30页\编辑于星期三证(1)由题意可知：n维基本向量是A的特征向量，例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证明A为数量阵。令即则存在使得现在是20页\一共有30页\编辑于星期三例设任意非零n维向量都是n阶方阵A的特征向量，证(2)又n维向量也是A的特征向量，证明A为数量阵。故存在使得即因此即A为数量阵。现在是21页\一共有30页\编辑于星期三例四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题P148例10现在是22页\一共有30页\编辑于星期三第一年末城乡人口为解(1)设最初城市和农村人口分别为即第k年末城乡人口为即记则有现在是23页\一共有30页\编辑于星期三(2)由求得A的特征值为它们对应的特征向量分别为令则且因而有现在是24页\一共有30页\编辑于星期三(3)第k年末城乡人口为故当时，即当时，城与农村的人口之比为2:1

.现在是25页\一共有30页\编辑于星期三

由A的特征值为对应的特征向量分别为故第k年末城乡人口为注本题还可以直接利用特征值与特征向量的性质来求解(线性无关)有现在是26页\一共有30页\编辑于星期三例求解常系数线性常微分方程组四、矩阵相似对角化的应用1.人口流动问题2.微分方程组求解问题其中，设想:假如微分方程组为则它们是三个独立其解非常容易得到.的齐次型微分方程,现在是27页\一共有30页\编辑于星期三解(1)将微分方程组改写为矩阵形式令简记为则微分方程组可改写为简写为简记为现在是28页\一共有30页\编辑于星期三解(2)