2019年秋九年级数学上册第21章二次根式本章总结提升练习新版华东师大版

2019年秋九年级数学上册第21章二次根式本章总结提升练习新版华东师大版问题1二次根式的概念当x是怎样的实数时，eq\r(x)在实数范围内有意义？为什么要强调x是这样的实数？例12017·绵阳使代数式eq\f(1,\r(x＋3))＋eq\r(4－3x)有意义的整数x有()A．5个B．4个C．3个D．2个【归纳总结】根据二次根式的定义，只有被开方数为非负数时二次根式才有意义，据此列出不等式(组)即可求出被开方数中所含字母的取值范围，但还要注意题中的其他限制条件，如分母不为0等．问题2二次根式的性质eq\a\vs4\al(二次根式有哪些性质？它们之间有什么区别和联系？)例2已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图22－1－1所示，化简：eq\r(a2)＋|a＋c|－eq\r(（a－b）2)＋|1－b|＝________．图22－1－1问题3二次根式的运算二次根式的运算种类及各自的法则是什么？它的混合运算的顺序如何？乘法公式在运算时起了什么作用？例32017·上海改编计算：eq\r(18)＋(eq\r(2)－1)2－eq\f(1,2)eq\r(8)＋(eq\f(1,2))－1＝________．【归纳总结】二次根式可以进行加、减、乘、除、乘方、开方等运算，其混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序相同，还是先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果能用乘法公式，就要使用乘法公式，以使运算简便．问题4与二次根式有关的代数式求值化简求值问题的一般要求是什么？分母有理化的依据是什么？例4化简求值：(eq\f(a,a－b)－eq\f(b,a＋b))÷eq\f(a2＋b2,a－b)，其中a＝1－eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3).详解详析【整合提升】例1[解析]B由题意，得x＋3＞0且4－3x≥0，解得－3＜x≤eq\f(4,3)，其中的整数有－2，－1，0，1，故选B.例2[答案]c＋a－1[解析]由图可知：a＜0，a＋c＞0，a－b＜0，1－b＜0，故原式＝－a＋a＋c＋a－b＋b－1＝c＋a－1.例3[答案]5[解析]原式＝3eq\r(2)＋2－2eq\r(2)＋1－eq\r(2)＋2＝5.例4[解析]先按分式的运算法则计算化简，再代入求值．解：(eq\f(a,a－b)－eq\f(b,a＋b))÷eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a（a＋b）－b（a－b）,（a－b）（a＋b）)÷eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a2＋b2,（a－b）（a＋b）)·eq\f(a－b,a2＋b2)＝eq\f(1,a＋b).当a＝1－eq\r(3)，b＝1＋eq\r(3)时，原式＝eq\f(1,2).【章内专题阅读】二次根式中的数学思想日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年的时间可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学精神和数学思想、研究方法、着眼点等，这些随时随地发生作用，使学生终身受益．”由此可见数学思想是多么的重要，那么二次根式这一章中，有哪些重要的思想呢？1．模拟探究的思想例1我们规定运算符号“※”的意义是当a>b时，a※b＝a＋b；当a≤b时，a※b＝a－b，其他运算符号的意义不变．按上述规定，计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)※\f(3,2)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1－\r(3)）※\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝________．[解析]根据符号“※”的意义，将其转化即可．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)※\f(3,2)))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（1－\r(3)）※\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))))＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\r(3)＋\f(1,2)))＝eq\r(3)＋eq\f(3,2)－1＋eq\r(3)－eq\f(1,2)＝2eq\r(3).[点评]例1是模拟规定、探究计算的题型，类似的模拟理论、探究实际，模拟特殊、探究一般，模拟确定、探究分类等，是近几年中考的一个热点．2．数形结合的思想例2实数p在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：eq\r(（1－p）2)＋(eq\r(3－p))2.[解析]根据实数p在数轴上对应的点的位置，确定出1－p<0，3－p>0，再进行化简．解：由实数p在数轴上对应的点的位置，可得1<p<2，进一步可以得到1－p<0，3－p>0.所以eq\r(（1－p）2)＋(eq\r(3－p))2＝|1－p|＋3－p＝p－1＋3－p＝2.[点评]例2主要是应用eq\r(a2)＝|a|和(eq\r(a))2＝a(a≥0)化简，注意这两个性质中a表示的范围不同．(eq\r(a))2中a≥0，而eq\r(a2)中a可以是负数．3．整体代入的思想例3已知x＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)＋eq\r(2017))，y＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)－eq\r(2017))，求x2－xy＋y2的值．[解析]从整体着手，由已知式子可以看出x＋y和xy并不复杂，x＋y＝eq\r(2018)，xy＝eq\f(1,4)，因此，只要把x2－xy＋y2化成只含x＋y和xy的形式，整体代入求值即可．解：∵x＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)＋eq\r(2017))，y＝eq\f(1,2)(eq\r(2018)－eq\r(2017))，∴x＋y＝eq\r(2018)，xy＝eq\f(1,4).∴x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(eq\r(2018))2－3×eq\f(1,4)＝2017.25.[点评]例3如果直接将x，y的值代入，则计算量比较大，且算式长，容易出现错误，所以整体代入可以减小计算量．4．转化的数学思想例4已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，求此等腰三角形的周长．解：∵eq\r(2a－3b＋5)＋(2a＋3b－13)2＝0，且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2a－3b＋5)≥0，,（2a＋3b－13）2≥0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－3b＋5＝0，,2a＋3b－13＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3，))∴等腰三角形的周长是7或8.5．归纳的数学思想例5计算下列各式的值：eq\r(92＋19)；eq\r(992＋199)；eq\r(9992＋1999)；eq\r(99992＋19999).观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得[答案]102018[解析]eq\r(92＋19)＝10；eq\