泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题含解析2020年春四川省泸县第五中学高二期中考试理科数学注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。集合,，则（）A。 B. C。 D。【答案】C【解析】【分析】分别解一元一次不等式、一元二次不等式求得集合，然后求得，进而求得。【详解】由题意得，或,则，所以。故选：C【点睛】本小题考查不等式的解法，集合补集和交集的基本运算等基础知识；考查运算求解能力，集合思想.2。复数（）A. B。 C。 D。【答案】A【解析】，故选A3.椭圆的焦距为（)A。5 B。3 C。4 D.8【答案】D【解析】因为根据的方程可知,a=5,b=3，c=4，故焦距为2c=8，选D4。已知为等差数列，若，，则(）A。1 B.2 C。3 D。6【答案】B【解析】分析】利用等差数列的通项公式列出方程组,求出首项和公差，由此能求出．【详解】∵{an｝为等差数列，,∴，解得＝﹣10，d＝3，∴＝+4d＝﹣10+12＝2．故选B．【点睛】本题考查等差数列通项公式求法,考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5。甲、乙两名运动员分别进行了5次射击训练,成绩如下：甲：7，7，8，8，10;乙:8，9，9,9,10．若甲、乙两名运动员的平均成绩分别用，表示,方差分别用，表示，则（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】分别计算出他们的平均数和方差，比较即得解.【详解】由题意可得，，，．故，．故选D【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6。随机变量，若，则为()A。0.2 B.0.3 C。0.4 D.0。6【答案】B【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果。详解:故选B。点睛：该题考查的是有关正态分布的问题,在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.7.“直线与直线平行”是“"的（）A.充分不必要条件 B。必要不充分条件C.充要条件 D。既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据平行求出实数的值,再利用充分条件和必要条件的定义判断即可。【详解】若,则,即,解得或。因此，“直线与直线平行"是“”的必要不充分条件。故选：B。【点睛】考查充分条件、必要条件的判断，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8。某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【详解】想听电台整点报时，时间不多于15分钟的概率可理解为：一条线段长为60，其中听到整点报时的时间不多于15分钟为线段长为15．则由几何概型，化为线段比得：,故选C.9。如图程序框图的算法思路源于我因古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术"，执行该程序相图，若输入分别为2，6，则输出的a等于(）A。4 B。0 C.2 D.14【答案】C【解析】【分析】由循环结构的特点,先判断再执行,分别计算出当前的、的值，即可得到结论.【详解】，，满足且不满足,则变，此时满足且不满足,则变为，此时不满足，此时。故选:C.【点睛】本题考查了程序框图的运算,属于基础题.10。已知点是抛物线的焦点,点为抛物线上的任意一点，为平面上点,则的最小值为（）A.3 B。2 C.4 D。【答案】A【解析】【分析】作垂直准线于点，根据抛物线的定义，得到，当三点共线时，的值最小，进而可得出结果.【详解】如图,作垂直准线于点,由题意可得，显然，当三点共线时，的值最小；因为，,准线,所以当三点共线时，,所以.故选A【点睛】本题主要考查抛物线上任一点到两定点距离的和的最值问题，熟记抛物线的定义与性质即可,属于常考题型.11.已知函数，若函数在上为增函数，则正实数a的取值范围为()A。 B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】求f(x）的导数f′（x),利用f′（x）判定f（x）的单调性，求出f（x）的单调增区间，即得正实数a的取值范围．详解】∵f（x）lnx（a＞0）,∴f′（x）（x＞0），令f′（x)＝0，得x，∴函数f（x）在（0，］上f′（x)≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0,∴f（x）在(0，］上是减函数，在[，+∞）上是增函数;∵函数f（x)在区间［1,+∞）内是增函数,∴1，又a＞0，∴a≥1，∴实数a的取值范围是［1，+∞）；故选B．【点睛】本题考查了利用导数来研究函数的单调性问题，解题时应根据导数的正负来判定函数的单调性,利用函数的单调区间来解答问题，是中档题．12.已知椭圆的右焦点为．短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点．若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）A。 B. C。 D。【答案】A【解析】试题分析：设是椭圆的左焦点,由于直线过原点,因此两点关于原点对称，从而是平行四边形，所以,即，，设，则,所以,，即,又,所以,．故选A．考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得关系或范围，解题的关键是利用对称性得出就是，从而得，于是只有由点到直线的距离得出的范围，就得出的取值范围,从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分。13.命题“若，则”的逆命题是_____．【答案】若，则.【解析】【分析】根据原命题与逆命题之间的关系可得出结论。【详解】由题意可知，命题“若，则”的逆命题是“若，则”。故答案为：若,则。【点睛】本题考查原命题的逆命题的改写，考查四种命题等基础知识,是基础题．14。的展开式中的系数是.（用数字填写答案）【答案】【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是。考点：1.二项式定理的展开式应用.15。某单位在名男职工和名女职工中,选取人参加一项活动，要求男女职工都有，则不同的选取方法总数为______。【答案】.【解析】【分析】在没有任何限制的条件下,减去全是女职工的选法种数可得出结果.【详解】由题意可知,全是女职工的选法种数为，因此，男女职工都有的选法种数为，故答案为.【点睛】本题考查组合问题，利用间接法求解能简化分类讨论，考查计算能力，属于中等题.16.若存在两个正实数x,y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是________。【答案】【解析】,，设,设，那么，恒成立,所以是单调递减函数，当时，，当时，，函数单调递增,当,,函数单调递减，所以在时,取得最大值，,即，解得：或，写出区间为，故填：.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一）必考题:共60分.17.已知函数，曲线在点处的切线方程为.(1）求的值；（2）求在上的最大值．【答案】（1），；（2）13【解析】【分析】(1）依题意,由，得到,再由,得到，联立方程组,即可求解；（2）由(1），求得,利用导数求得函数的单调性与极值，即可求得函数的最大值，得到答案．【详解】(1）依题意可知点为切点，代入切线方程可得，，所以，即，又由,则，而由切线的斜率可知，∴,即，由，解得,∴,．（2)由(1）知,则，令，得或，当变化时，，的变化情况如下表：－3－21＋0－0＋8↗极大值↘极小值↗4∴的极大值为，极小值为，又，，所以函数在上的最大值为13．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，以及利用导数求解函数的单调性与最值问题，其中解答中熟记导函数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键,着重考查了推理与运算能力．18.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2)已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的,若该生的物理成绩达到115分,请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数。,．【答案】（1）物理成绩更稳定。证明见解析；（2）130分,建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【解析】【分析】（1）分别算出物理成绩和数学成绩的方差；(2)利用最小二乘法，求出关于的回归方程，再用代入回归方程，求得.【详解】（1），,∴,∴，从而，∴物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系,根据回归系数公式得到,，∴线性回归方程为，当时，.建议:进一步加强对数学的学习,提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高【点睛】本题考查统计中的方差、回归直线方程等知识，考查基本的数据处理能力,要求计算要细心，防止计算出错。19。在等腰梯形中,，,，,将梯形沿着翻折至（如图)，使得平面与平面垂直.(1）求与所成的角的大小；(2）求二面角大小的正弦值。【答案】（1)（2）【解析】【分析】(1）在平面中证明，再根据面面垂直的性质可得平面，故而；（2）以为原点建立坐标系，利用向量法求出所求二面角．【详解】解：（1)在等腰梯形中过作垂线交于，由，，则，，，所以，所以,又因为平面与平面垂直,平面平面，平面。所以平面，所以,与所成的角为。（2)建立如图空间直角坐标系.,，，，，所以,，，,设平面的法向量为，则有，取,设平面的一个法向量为，则有，取,∴,∴二面角大小的正弦值为。【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质,二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M(2,1），N。(1)求椭圆C的标准方程；（2）经过点M作倾斜角互补的两条直线,分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时,求直线AB的方程.【答案】(1）（2）或【解析】【分析】（1)设椭圆C的方程为（，，)。根据椭圆过两点，代入得到方程组，解得。（2）由直线AM，BM，AB的斜率存在,故。设它们的斜率分别为，，k.设，，直线AB的方程为。联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由.即。即可解得,或.分别代入检验，再用弦长公式及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求最值。【详解】解:（1）设椭圆C的方程为（,，）.∵点和N在椭圆C上，∴。解得。∴椭圆C的标准方程为.（2)∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k。设，，直线AB的方程为。∴.∴。由，消去y，得.由,得.∴，。∴.∴.∴。∴，或。∵点A，B为椭圆上异于M的两点，∴当时，直线AB的方程为,不合题意，舍去.∴直线AB的斜率为.∵,点M到直线AB的距离为,∴的面积为.当且仅当时，的面积取得最大值，此时.∵，满足.∴直线AB的方程为或.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的计算，直线与椭圆的综合应用,属于中档题.21。已知函数(为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；(2）当时，恒成立，求整数的最大值.【答案】(1)见解析；(2)的最大值为1。【解析】【分析】（1）根据的不同范围，判断导函数的符号，从而得到的单调性;（2）方法一：构造新函数，通过讨论的范围，判断单调性，从而确定结果；方法二：利用分离变量法,把问题变为，求解函数最小值得到结果.【详解】（1）当时，在上递增；当时，令，解得：在上递减，在上递增；当时，在上递减（2）由题意得:即对于恒成立方法一、令，则当时,在上递增，且,符合题意；当时,时,单调递增则存在，使得，且在上递减，在上递增由得：又整数的最大值为另一方面，时，，，时成立方法二、原不等式等价于：恒成立令令,则在上递增，又,存在，使得且在上递减，在上递增又,又，整数的最大值为【点睛】本题主要考查导数在函数单调性中的应用，以及导数当中的恒成立问题。处理恒成立问题一方面可以构造新函数，通过研究新函数的单调性，求解出范围；另一方面也可以采用分离变量的方式，得到参数与新函数的大小关系,最终确定结果.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）。在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：.（1)当时，求与