泸县第二中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸县第二中学2020届高三三诊模拟考试数学（理）试题含解析2020年春四川省泸县第二中学高三三诊模拟考试理科数学注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1。已知集合，，则(）A。 B. C. D。【答案】D【解析】【分析】解不等式，化简集合,根据交集定义即可求解。【详解】因为，所以.故选:D【点睛】本题考查集合间的运算，解对数不等式是解题的关键,属于基础题.2。已知复数，则复数共轭复数（)A. B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】复数实数化，即可求解。【详解】因为,所以.故选：A【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数定义，属于基础题。3。记等差数列的前项和为，若，则（）A。64 B。48 C.36 D.24【答案】B【解析】【分析】由等差数列求和公式得，求得，再利用等差数列性质即可求解【详解】由等差数列性质可知，,解得，故。故选B【点睛】本题考查等差数列的性质及求和公式，考查推理论证能力以及化归与转化思想.,是基础题4.函数的大致图像为(）A。 B。C. D。【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性和特定值依次排除即可得解.【详解】函数为奇函数，故排除，当取很小正实数时，函数值大于零，故选A。【点睛】本题考查了函数的图象、奇偶性,属于基础题.5.设为双曲线上一点,分别为左、右焦点，若,则（）A。1 B。11 C.3或11 D.1或15【答案】C【解析】，且或,符合,故或,故选C。6.已知，则（)A。 B. C。 D.【答案】B【解析】【分析】利用“1”的变换,所求式子化为关于的齐次分式，化弦为切，即可求解.【详解】。故选:B【点睛】本题考查同角间三角函关系,弦切互化是解题的关键，属于基础题.7。已知向量满足,且在方向上的投影是，则实数()A。 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据在方向上的投影是列方程求解即可.【详解】因为向量满足,所以，若向量的夹角为，则,所以,即，解得,故选A.【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式,属于中档题。平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是,主要应用以下几个方面:(1）求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影,在上的投影是;（3）向量垂直则；（4）求向量的模（平方后需求）。8。若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(）A。264 B.270 C。274 D。282【答案】A【解析】【分析】本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果．【详解】由三视图可得，该几何体的直观图如图所示,延长交于点,其中，，，所以表面积，故选A．【点睛】本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题．9.已知是定义在上的偶函数，且,如果当时，,则（）A.3 B.—3 C。2 D。-2【答案】C【解析】【分析】根据得即f(x）的周期为8，再根据x∈［0,4）时，及f(x）为R上的偶函数即可求出f（766）=f(2）=2．【详解】由，得，所以是周期为8的周期函数,当时，，所以，又是定义在R上的偶函数所以。【点睛】本题考查函数周期性，奇偶性与求值,考查运算求解能力。10。中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾,另一直角边为股，斜边为弦,其三边长组成的一组数据成为勾股数。现从这个数中随机抽取个数，则这三个数为勾股数的概率为（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】先计算15个数中任意抽取3个数的基本事件个数，再计算满足勾股数的所有可能,代入公式,即可求解．【详解】从这15个数中随机抽取3个整数所有基本事件个数为，其中为勾股数为共4个，故概率为，故选C。【点睛】本题考查古典概型的概率问题，属基础题．11.设，，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数的单调性可得,，根据不等式的性质可知；通过比较与1的大小关系，即可判断，从而可选出正确答案。详解】解:，，则,故选:A。【点睛】本题主要考查了对数的运算，对数函数的单调性。在比较对数的大小时，常常结合对数函数的单调性比较大小。对于，若，则(1）当时，;（2）当时,；（3）当时，；若，则（1）当时，；(2）当时，;(3)当时,。12。函数的零点个数是A.0 B。1 C。2 D.与a有关【答案】A【解析】【分析】利用导数求得函数的最小值，这个最小值为正数，由此判断函数没有零点。【详解】依题意，令.，，令，解得，故函数在上递减,在上递增，函数在处取得极小值也即是最小值，，由于，故，也即是函数的最小值为正数,故函数没有零点.故选A。【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点问题,考查利用导数研究函数的单调区间、极值和最值,综合性较强，属于中档题。第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设向量,，若，则______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直得的方程求解即可【详解】依题意，，即，解得.故答案为【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，考查运算求解能力以及化归与转化思想。14.的展开式中，的系数为______。【答案】-455【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】依题意,的系数为。故答案为-455【点睛】本题考查二项式定理,考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题15.将名学生分配到个社区参加社会实践活动，每个社区至少分配一人，则不同的分配方案有__________种．（用数字填写答案）【答案】【解析】【分析】根据人数先进行分组,有3,1，1或2，2，1两种情况,求出每一种的情况数目，结合分步计数原理，即可求解，【详解】当一个社区3人其他社区各有1人时，方案有（种）；当一个社区1人其他社区各人时，方案有(种）,故不同的分配方案共有种.【点睛】本题考查排列组合的应用，结合条件先分组,再分配,属基础题．16.数列满足，且对于任意的都有，则______。【答案】【解析】【分析】由题意可得＝+n+2，再由累加法求得an,结合等差数列的求和公式,以及裂项相消求和，计算可得所求和．【详解】由题＝+n+2,∴,所以,,，…，,上式个式子左右两边分别相加得，即，当n=1时，满足题意，所以,从而.故答案为【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17。如图，已知的内角，,的对边分别是，,,且,点是的中点,，交于点，且，.（1)求；（2)求的面积。【答案】(1)（2)【解析】【分析】（1)通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出．(2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面积．【详解】解（1),由得，由余弦定理得，，:（2）连接,如下图：是的中点，，，，在中，由正弦定理得,，，，，,,，,,，【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式．18。某大型工厂招聘到一大批新员工.为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，统计他们每天加工的零件数，得到如下数据：将频率作为概率，解答下列问题：（1）当时,从全体新员工中抽取2名，求其中恰有1名日加工零件数达到240及以上的概率;(2)若根据上表得到以下频率分布直方图，估计全体新员工每天加工零件数的平均数为222个，求的值(每组数据以中点值代替）；(3）在（2）的条件下,工厂按工作熟练度将新员工分为三个等级：日加工零件数未达200的员工为C级;达到200但未达280的员工为B级；其他员工为A级．工厂打算将样本中的员工编入三个培训班进行全员培训：A,B，C三个等级的员工分别参加高级、中级、初级培训班，预计培训后高级、中级、初级培训班的员工每人的日加工零件数分别可以增加20，30,50．现从样本中随机抽取1人，其培训后日加工零件数增加量为X，求随机变量X的分布列和期望．【答案】(1）0.42；（2)；（3）【解析】【分析】（1）先求得的值，然后求得员工日加工零件数达到及以上的频率，根据二项分布概率计算公式，计算出所求概率。（2）先求得的值，然后根据平均数的估计值列方程，求得的值，进而求得的值.(3）的可能取值为，列出分布列并求得数学期望。【详解】（1）依题意，故员工日加工零件数达到及以上的频率为，所以相应的概率可视为，设抽取的名员工中,加工零件数达到及以上的人数为，则，故所求概率为.（2）根据后三组数据对应频率分布直方图的纵坐标为，可知，解得，因此，故根据频率分布直方图得到的样本平均数估计值为，解得，进而，故.（3)由已知可得的可能取值为20，30，50，且,所以的分布列为所以。【点睛】本小题主要考查频率分布直方图,考查离散型随机变量分布列和数学期望的求法，属于中档题.19。在三棱柱中，，侧面底面，D是棱的中点。（1)求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值。【答案】（1）详见解析;（2）。【解析】【分析】(1）取的中点，连接与交于点,连接，根据题意可证四边形是平行四边形，即.根据侧面底面，可得平面，根据面面垂直的判定定理，即可得证．（2）分别以分别为轴正方向建系，求出各点坐标及平面和平面的法向量，利用面面角的公式求解即可．【详解】解：（1）取的中点，连接与交于点，连接。则为的中点，因为三棱柱,所以，且,所以四边形是平行四边形.又是棱的中点，所以。因为侧面底面，且,所以平面所以平面又平面，所以平面平面(2）连接,因为，所以是等边三角形，故底面．设,可得，分别以分别为轴正方向建立空间直角坐标系，则设平面的一个法向量为则所以，取所以又平面的一个法向量为故因为二面角为钝角,所以其余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，二面角的向量求法，考查学生的逻辑思维和空间想象能力，属中档题．20.已知椭圆E:过点Q（）,椭圆上的动点P与其短轴两端点连线的斜率乘积为－．（1)求椭圆E的方程；（2）设F1，F2分别为E的左、右焦点，直线l过点F1且与E相交于A，B两点，当＝2时，求的面积．【答案】（1)(2）【解析】【分析】(1）设点，由可得，又在上,所以，解得即可求得椭圆方程．(2）利用设而不求的方法设，结合韦达定理与向量的数量积解答【详解】解：（1)设，为短轴两端点，,则。由于，∴。①又在上，∴.②解①②得，。所以椭圆的方程为.（2)设直线：，代入得.③设，，则，.④.⑤把④代入⑤得，解得.由对称性不妨取，则③变为，解得,。的面积。【点睛】求椭圆的标准方程关键是由题求得．设而不求法的一般过程(1）设出直线方程（注意斜率是否存在)和交点坐标,(2）将直线方程和圆锥曲线方程联立（3）应用韦达定理（4）结合题目计算整理21.已知函数，若曲线在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）证明：.【答案】（1）,（2）详见解析【解析】【分析】(1）由题意得，,构造函数,利用此函数的单调性可解得，进而得；（2）通过求导可得有唯一实根，记为，即,所以，进而得，进而利用基本不等式可证得。【详解】（1），,又由题意得，，所以,所以可得,，构造函数,则在区间内恒大于0，所以在区间内单调递增,又,所以关于的方程的根为，把代入，解得，所以，。（2）证明：由（1)知，则，因为在区间单调递增，,,所以有唯一实根，记为，即，所以,由得，整理得，因为时,，函数单调递减，时,，函数单调递增，所以,当且仅当,即时取等号，因为，所以,即。【点睛】本题主要考查了导数的应用,利用导数处理切线及利用导数求最值证明不等式,用到了导数的常用方法“隐零点”，即通过设出零点代入化简运算处理问题，属于难题.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程］22。在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。（1）求圆的普通方程;(2）直线的极坐标方程是,射线:与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为。圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得,，结合极坐标的几何意义可得线段的长为1。【详解】圆的参数方程为消去参数可得圆的普通方程为。化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由解得，，设,则由解得，，。【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的应用,极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数．