2012广东高考数学理科试题及答案

2012广东高考数学理科试题信参考答案第页2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）设为虚数单位，则复数A．B．C．D．设集合，则A．B．C．D．若向量，则A．B．C．D．下列函数中，在区间上为增函数的是A．B．C．D．已知变量满足约束条件，则的最大值为A．B．C．D．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．B．C．D．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是A．B．C．D．对任意两个非零向量，定义,若向量满足，的夹角，且和都在集合中，则A．B．1C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。（一）必做题（9~13题）不等式的解集为。的展开式中的系数为。（用数字作答）已知递增的等差数列满足，则。曲线在点处的切线方程为。执行如图2所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的值为。（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和参数方程分别为和，则曲线和的交点坐标为。（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，为圆周上的三点，满足，过点作圆的切线与的延长线交于点，则。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为1）求的值；2）设，求的值。9.（写成集合形式也给分）10.2011.12.13.814.15.第9题注解：x-(-2)|-|x-0|即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。16.（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为（1）求的值；（2）设，求的值。解：（1）由题意，解得。（2）由题，即，又，可得，所以。17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：。（1）求图中x的值；（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。解：（1）由题意：，解得；（2）80~90分有人；90~100分有人。所有可能的取值为0,1,2故。18.（本小题满分13分）如图5，在四棱锥中，底面为矩形，，点在线段上，（1）证明：（2）若，求二面角的正切值。（1）证明：∵，∴；∵，∴。又，∴。（2）解：设交于，连结，由题，所以即为二面角的平面角。由（1）知，，所以四边形ABCD为正方形，易得。由（1）知又，有，故，。在中，。所以二面角的正切值为319．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，且成等差数列。（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有。解：（1）由题，解得，故（2）当时，；当时，①②由①-②得：，整理得，故为公比为的等比数列，首项为，故，，经验证当时，综上。（3）当时又因为，所以，。所以，所以，20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到的距离的最大值为3.（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。解：（1）由，所以设是椭圆上任意一点，则，所以当，即时，时，有最大值，可得，所以；②当，即时，时，有最大值，可得，舍去。所以故椭圆的方程为：（2）因为在椭圆上，所以，设，，由，得所以，，可得并且：，所以，所以，（亦可，其中为圆心到直线的距离）设点O到直线AB的距离为，则所以设，由，得，所以，，所以，当时，面积最大，最大为。此时，21.（本小题满分14分）设，集合，（1）求集合（用区间表示）；（2）求函数在内的极值点。解：（1）对于方程判别式因为，所以当时，，此时，所以；当时，，此时，所以；当时，，设方程的两根为且，则，当时，，，所以此时，当时，，所以此时，（2），所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数当时，因为，所以在D