巧妙求和-2022-2023学年四年级数学思维拓含答案展含答案

2022-2023学年小学四年级思维拓展专题巧妙求和知识精讲在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。这类问题在数学中称为统筹问题。我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1典例分析【典例分析01】有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。【典例分析02】有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。第100项=3+4×（100－1）=399【典例分析03】有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。【典例分析04】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2，末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650【典例分析05】计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）=1+1+1+…+1=50真题百分练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）1+2+3+4+5+6+7+97+98+99+100的结果是（）A．100 B．500 C．1000 D．5050【思路引导】利用高斯求和的方法进行求解，即等差数列和＝（首项+尾项）×项数÷2．【规范解答】解：1+2+3+4+5+…+100＝（1+100）×100÷2＝101×50＝5050故选：D。【考点评析】熟练掌握高斯求和的原理是解决本题的关键．2．（2分）李奶奶家有一个老式挂钟，这个挂钟几时就敲几下，半时敲一下，李奶奶家的挂钟一天一共敲（）下．A．24 B．180 C．360【思路引导】1到12点共有12个整点，12个半点，所以共敲的点数从1加到12，再加上12，过中午12点后再重复一遍，所以乘以2即可．【规范解答】解：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12）×2+12×2＝（1+12）×12÷2×2+12×2＝156+24＝180（下）答：李奶奶家的挂钟一天一共敲180下．故选：B．【考点评析】根据题意明确从1时到12时构成一个等差数列是解题的关键，注意一昼夜可以分成相等的两部分．3．（2分）德国数学家高斯在计算“1+2+3+……+98+99+100”时，他这样算。“1+100、2+99、3+98，……，共有50个101，用50×101＝5050”。以下式子可以用高斯的方法计算的有（）个。①1+11+111+1111②2+4+6+8+…+44+46+48③15+20+25+…80+85+90④26+29+32+…+47+50+53A．4 B．3 C．2 D．1【思路引导】高斯求和是在等差数列中利用结合的方法，把数列中的数变成相同的数，再用相同的数乘项数的一半。【规范解答】解：②2+4+6+8+…+44+46+48＝（2+48）×24÷2＝50×24÷2＝600③15+20+25+…80+85+90＝（15+90）×16÷2＝105×16÷2＝840④26+29+32+…+47+50+53＝（26+53）×10÷2＝790÷2＝395故选：B。【考点评析】熟悉高斯求和原理是解决本题的关键。4．（2分）101+102+103+…+120+121的计算结果是（）。A．2311 B．2321 C．2331【思路引导】101+102+103+…+120+121，是从101到121连续的21个自然数的和，是第一个自然数加上最后一个自然数求出和，然后乘自然数的个数，再除以2即可。【规范解答】解：101+102+103+…+120+121＝（101+121）×21÷2＝222×21÷2＝4662÷2＝2331故选：C。【考点评析】解决本题利用高斯求和的方法解决问题。5．（2分）用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且每盒不空，那么至少要用（）个杯子．A．100 B．500 C．1000 D．5050【思路引导】用100个盒子装杯子，每盒装的个数都不相同，并且盒盒不空，所以有100种不同的装法，要求至少需要多少个杯子，那么可以从最少的个数装起：即每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，由此可得出所需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，利用高斯求和的方法即可解决问题．【规范解答】解：根据题干分析可得：每个盒子里的杯子数分别为1、2、3、4、5、6…100，所以需要的杯子数为：1+2+3+4+5+…+100，＝（1+100）×（100÷2），＝101×50，＝5050（个），故选：D。【考点评析】此题考查了利用高斯求和的方法解决此类计算题目的灵活应用，这里要求的是最少需要的杯子数，要考虑每个箱子可装的最少杯子数．二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）6．（2分）1+3+5+7+……+97＝2401。【思路引导】根据高斯求和公式解答即可。【规范解答】解：（1+97）×49÷2＝98×49÷2＝4802÷2＝2401故答案为：2401。【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2。7．（2分）在数学学习过程中，我们要不断培养自己敏锐的观察能力，请你仔细观察下列算式后填空。11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝200×5。【思路引导】相对应的前后两项的和都是200，所以就相当于求5个200是多少，用乘法计算即可。【规范解答】解：11+12+13+14+15+185+186+187+188+189＝200×5。故答案为：200；5。【考点评析】解答本题关键是找到规律，再解答。8．（2分）高斯10岁时，很快算出1+2+3+4…+98+99+100的和是5050．【思路引导】根据“等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2”解答即可．【规范解答】解：1+2+3+4…+98+99+100＝（1+100）×100÷2＝101×50＝5050故答案为：5050．【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差，高斯求和公式：和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2．9．（2分）1+3+5+…+99＝2500．【思路引导】通过分析式中数据可以发现，式中的加数为一个公差为2的等差数列，即此算式是求一个等差数列和的运算．因此根据高斯求和公式计算即可：项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，等差数列和＝（首项+尾项）×项数÷2．【规范解答】解：1+3+5+…+99＝（1+99）×[（99﹣1）÷2+1]÷2，＝100×[49+1]÷2，＝100×50÷2，＝2500．故答案为：2500．【考点评析】高斯求和的有关公式还有：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．10．（2分）自然数1、2、3…14、15的和是120，这15个自然数的平均数是8．【思路引导】根据高斯求和的方法：1+2+3+4+…+n＝（n+1）×，代入数据即可求出这15个连续自然数的和，再除以15，就是它们的平均数．【规范解答】解：1+2+3+…+14+15，＝（1+15）×，＝16×，＝120，120÷15＝8，答：这15个自然数的和是120，它们的平均数是8．故答案为：120，8．【考点评析】此题考查了高斯求和公式的计算方法以及平均数的意义．11．（2分）72+74+76+78+80＝5×76＝380。【思路引导】算式72+74+76+78+80中的加数构成一个公差为“2”，首项为72，末项为80，项数为5的等差数列。根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2。【规范解答】解：72+74+76+78+80＝（72+80）×5÷2＝152×5÷2＝152÷2×5＝76×5＝380故答案为：76，380。【考点评析】此题考查高斯求和。根据高斯求和公式解答即可。12．（2分）1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝210．【思路引导】算式1+2+3+4+…+16+17+18+19+20中的加数构成一个公差为“1”的等差数列，首项为1，末项为20，项数为20．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．【规范解答】解：1+2+3+4+…+16+17+18+19+20＝（1+20）×20÷2＝21×10＝210．故答案为：210．【考点评析】高斯求和其它相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．13．（2分）希望小学五年级合唱团庆祝元旦表演，排列的队伍有五排，第一排有4人，以后每一排都比前一排多4人．这个合唱队一共有60人【思路引导】以后每一排都比前一排多4人，构成一个公差为“4”的等差数列，首项为4，末项为4+4×（5﹣1）＝20，项数为5．因此本题根据高斯求和公式进行计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．【规范解答】解：4+4×（5﹣1）＝4+16＝20（4+20）×5÷2＝24×5÷2＝60（人）答：这个合唱队一共有60人．故答案为：60．【考点评析】高斯求和相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差，数列和＝（首项+末项）×项数÷2．等差数列和＝na1+n（n﹣1）d÷2．14．（2分）一张大纸上有20个方格，第一个方格放1粒米，第二个方格放2粒，第三个方格放3粒，第四个方格放4粒…这张大纸上总共放了210粒米．【思路引导】根据题意可知，本题实际上是首项为1，末项为20，项数为20的公差为1的等差数列，根据高斯求和公式进行计算即可，等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．【规范解答】解：（1+20）×20÷2＝21×20÷2＝210（粒）答：这张大纸上总共放了210粒米．故答案为：210．【考点评析】考查了高斯求和，高斯求和公式就是等差求和公式．三．计算题（共3小题，满分14分）15．（4分）简算。1+2+3+…+47+48+49【思路引导】运用加法结合律进行简算即可。【规范解答】解：1+2+3+……+49＝（1+49）+（2+48）+…+（24+26）+25＝24×50+25＝1200+25＝1225【考点评析】此题主要考查了高斯求和的应用，要熟练掌握。16．（4分）计算。1+2+3+4+5+……+100。（要求简便计算）【思路引导】根据高斯求和的方法，首先用1加上100，求出它们的和是多少；然后用所得的和乘所有的加数的个数，再除以2，求出算式的值是多少即可。【规范解答】解：1+2+3+4…99+100＝（1+100）×100÷2＝101×100÷2＝10100÷2＝5050【考点评析】高斯求和属于等差数列的求和，等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2。17．（6分）计算：（1）51+52+53+…+67+68+69；（2）1+2+3+…+47+48+49．【思路引导】（1）可以看成首项是51，末项是69，项数是69﹣51+1＝19，公差是1的等差数列，根据等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2求解；（2）根据（1）的方法进行求解即可．【规范解答】解：（1）51+52+53+…+67+68+69＝（51+69）×19÷2＝120×19÷2＝1140（2）1+2+3+…+47+48+49＝（1+49）×49÷2＝50×49÷2＝1225【考点评析】本题考查了等差数列求和的方法，关键是熟记公式．四．应用题（共4小题，满分16分，每小题4分）18．（4分）一个报告厅的座位呈梯形排列，后一排比前一排依次多一个座位，第一排有24个座位，最后一排有36个座位．这个报告厅能坐下400人吗？【思路引导】把每排座位数可以看作是一个等差数列：前项是24，末项是36，公差是1，项数是20，根据（末项﹣首项）÷公差+1＝项数可得项数是：（36﹣24）÷1+1＝13，然后根据高斯求和公式列式为：（24+36）×13÷2，然后解答即可求出总座位数，与400比较得解．【规范解答】解：（36﹣24）÷1+1＝12÷1+1＝12+1＝13（24+36）×13÷2＝60×13÷2＝390（个）390＜400答：这个报告厅不能坐下400人．【考点评析】本题关键是求出项数，即排数，然后根据高斯求和公式：和＝（首项+末项）×项数÷2代入数据解答即可．19．（4分）玲玲用14天的时间读了一部长篇小说，已知她每一天都比前一天多读3页，最后一天正好读了50页．这部长篇小说一共有多少页？【思路引导】根据题意，可得玲玲每天看故事书的页数是一个等差数列，数列的末项是50，项数是14，首项是50﹣（14﹣1）×3，然后运用求和公式即可求出这本故事书共多少页．【规范解答】解：50﹣（14﹣1）×3＝50﹣39＝11（页）（11+50）×14÷2＝61×14÷2＝427（页）答：这部长篇小说一共有427页．【考点评析】此题主要考查了等差数列的性质的应用，解答此题的关键是要明确：末项＝首项+（项数﹣1）×公差．20．（4分）在六层塔上安装彩灯，共装666盒，每一层彩灯比上层多6盏，每一层各有多少盏彩灯？【思路引导】根据题意可得，每层的盏数构成了一个等差数列，公差是6，项数是6，设首项x，然后根据“和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2”列方程解答即可．【规范解答】解：设第一层为x盏彩灯，6x+6×（6﹣1）×6÷2＝6666x+90＝6666x＝576x＝9696+6＝102（盏）102+6＝108（盏）108+6＝114（盏）114+6＝120（盏）120+6＝126（盏）答：从第一层到第六层分别有96、102、108、114、120、126盏彩灯．【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差，高斯求和公式：和＝首项×项数+项数×（项数﹣1）×公差÷2．21．（4分）思考题。高斯是一位伟大的数学家。他十岁那年，老师出了一道数学题：1+2+3+4++97+98+99+100＝？同学们开始认真地计算起来，只有高斯没有动笔。他思考了一会儿后写出了答案：5050。老师和同学们都十分惊奇！请你猜一猜高斯是怎样想的。【思路引导】1+2+3+4++97+98+99+100可以把1和100，2和99，3和98……48和53，49和52，50和51，依次结合计算，它们的和都是101，这样就有50个101，用50乘101即可求解。【规范解答】解：1+2+3+4++97+98+99+100＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（48+53）+（49+52）+（50+51）＝101×50＝5050【考点评析】高斯求和其它相关公式：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差。五．解答题（共8小题，满分42分）22．（4分）一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10．它的末项是多少？【思路引导】由题意，根据“末项＝首项+（项数﹣1）×公差”解答即可．【规范解答】解：3+（10﹣1）×2＝3+9×2＝3+18＝21答：它的末项是21．【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2，末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．23．（5分）时钟中的数学问题．火车站大楼的时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依此类推；从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？【思路引导】根据加法的意义可知，将每次时钟敲的次数相加即得从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下：1+2+3+…+12．此算式中的加数构成一个公差为1的等差数列，然后根据高斯求和公式计算即可：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2．【规范解答】解：1+2+3+…+12＝（1+12）×12÷2，＝13×12÷2，＝78（下）．答：从1点到12点这12个小时内时钟共敲了78下．【考点评析】高斯求和的其它相关公式为：末项＝首项+（项数﹣1）×公差，项数＝（末项﹣首项）÷公差+1，首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．24．（5分）2+4+6+8+…+998+1000．【思路引导】通过观察可知，式中的加数构成一个公差为2的等差数列，因此本题根据高斯求和公式计算即可：等差数列的和＝（首项+末项）×项数÷2进行计算即可．【规范解答】解：2+4+6+8+…+998+1000＝（2+1000）×（1000÷2）÷2，＝1002×500÷2，＝250500．【考点评析】高斯求和相关公式：等差数列和＝（首项+末项）×项数÷2、末项＝首项+（项数﹣1）×公差、项数＝（末项﹣首项）÷公差+1、首项＝末项﹣（项数﹣1）×公差．25．（5分）一堆木头，按下面的方式堆积起来，你能快速的算出一共有多少根木头吗？【思路引导】根据题意，由图可知，此题就是求一个首项为1、公差为1、末项为13的等差数列的和，根据等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和解答即可．【规范解答】解：（1+13）×13÷2＝14×13÷2＝7×13＝91（根）答：一共有91根木头．【考点评析】此题考查了等差数列通项公式：（首项+末项）×项数÷2＝和的运用．26．（5分）同学们，你们听过数学家高斯小时候的故事吗？你能用简便方法算出下面的这道题吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝【思路引导】观察这10个数，可以发现两两搭配