2023年福建省武平县高考数学倒计时模拟卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.复数Z的共掘复数记作)，已知复数4对应复平面上的点(一1,一1),复数22：满足1/2=-2.则匕2|等于()

A.0B.2C.VioD.10

2.若z=(3T)(a+2i)(awR)为纯虚数，贝z=()

16.20.

A.—iB.6iC.—iD.20

33

3.在关于x的不等式以2+2X+1>。中，“q>l”是".+2x+l>0恒成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且满足f(x)=/(2-x),当xe［0,1］时，f{x)=x,则函数

x+4

F(x)=/(%)+-——在区间［-9,10］上零点的个数为()

1-2%

A.9B.10C.18D.20

5.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生4，4，和3名女生用，B2,层中

各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则4和4两人组成一队参加比赛的概率为

()

1

C.一

9

6.已知函数〃x)=sin2x+g,则函数“X)的图象的对称轴方程为()

.TC.

A.X=k7T--,kGZB.X=KTt^—.kGZ

44

1,兀1r

C.X=—k7T,kGZD.X=—K7T+—,kGZ

224

7.过抛物线y2=2px(〃>0)的焦点尸的直线与抛物线交于A、B两点，且赤=2万，抛物线的准线/与工轴交于

C,AACF的面积为80，则|AB|=()

A.6B.9C.9V2D.6夜

8.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素

养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值

高者为优)，则下面叙述正确的是()

A.甲的数据分析素养高于乙

B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养

C.乙的六大素养中逻辑推理最差

D.乙的六大素养整体平均水平优于甲

v*3/7Inx

9.已知函数/(x)=/--3+土―—。在区间(1,一)上恰有四个不同的零点，则实数。的取值范围是()

Inxx

A.(e,3)U(3,+«0B.[0,e)C.(e]+8)D.(fo,e)U{3}

10.关于函数/(X)=|COSX|+COS|2R,有下列三个结论:①万是的一个周期；②f(x)在上单调递增；

③f(x)的值域为则上述结论中，正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

11.已知向量)=(1,4),b=(-2,m),若|£+向=|£-加，则加=()

11

A.---B.—C.-8D.8

22

12.在平行六面体ABC。—A与中，M为AG与4。的交点，若荏=£,而，海=",则与两相等的向

量是()

.山

//24.......•//

1—•1—•-•1-]_>]-.11-•]一一

A.—a+—b+cB.——a——h+cC.—a——b+cD.——a+—b+c

22222222

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知非零向量〃出的夹角为?，且忖=1,|2£-勾=6,则忖=.

14.已知平面向量”，5的夹角为q，£=（百,1）,且|Z-B|=JL则|B|=

15.已知相，”为正实数，S.m+n=mn,则加+2〃的最小值为.

16.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的表面积是cm',体积是cm\

上I□

I----4-----1H2T

正视图用视图

俯视图

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）（1）求曲线y=f和曲线y=«围成图形的面积；

cos20°

（2）化简求值:

cos350Jl-sin20

x=V3+1

18.（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为广。为参数），以坐标原点为极点，x轴正半

y=73t

轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线。的极坐标方程为夕=4cos0.

（1）求直线，的普通方程与曲线。的直角坐标方程；

（2）设点火°,3）,直线/与曲线C交于不同的两点儿B,求高+看的值•

19.（12分）已知公差不为零的等差数列｛%,｝的前〃项和为S“，q=4,%是与与知的等比中项•

（1）求s“；

（2）设数列也｝满足乙=%,%=勿+3x2%,求数列出｝的通项公式.

20.(12分)在［ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c，cosB=2a—。，

(I)求/C的大小；

(II)若爹i—g酝=2,求AABC面积的最大值.

21.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合

格，，，，不合格，，两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷，统

计结果及对应的频率分布直方图如下：

等级不合格合格

得分[20,40][40,60][60,801[80,100]

频数6a24b

(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数；

(2)其他条件不变，在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈，每次抽取1人，求在第1次抽取的测试得

分低于80分的前提下，第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率；

(3)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人，

记所选4人的量化总分为g,求j的数学期望EC).

22.(10分)在AABC中，角A,B,C的对边分别为若岳=b(sinC+百cosC).

(1)求角3的大小；

7T

(2)若4=一，。为AABC外一点，DB=2,CD=1,求四边形ABDC面积的最大值.

3

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

__2

根据复数4的几何意义得出复数4,进而得出4,由Z/Z2=-2得出Z2=-=可计算出入,由此可计算出上2|.

z]

【详解】

由于复数4对应复平面上的点(T—1),・・・马=—1—"则I=T+i,

-222(1+0,,r---L

2,.-.z2=-==—=^-^-^=i+l,因此，㈤=>/T7F=VL

故选：A.

【点睛】

本题考查复数模的计算，考查了复数的坐标表示、共筑复数以及复数的除法，考查计算能力，属于基础题.

2.C

【解析】

根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念，可得结果.

【详解】

z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—

z=(3—i)(a+2i)(aeR)为纯虚数，

；•3a+2=0且6—a。0

小2…20.

得。=一一，此时z=—I

33

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的概念与运算，属基础题.

3.C

【解析】

讨论当。>1时，分2+2%+1>0是否恒成立；讨论当以2+2*+1>0恒成立时，”>1是否成立，即可选出正确答案.

【详解】

解：当a>l时，A=4—4a<0,由)=以2+2x+l开口向上，贝！lax?+2%+1>0恒成立；

当以2+2x+l>0恒成立时，若。=0,贝！|2x+l>0不恒成立，不符合题意,

Ia>0

若"0时，要使得以2+2x+l>0恒成立，贝！1〈人..八，即.

△=4-4。<0

所以“4>1”是“ax2+2x+l>0恒成立”的充要条件.

故选:C.

【点睛】

本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若PF,则推出〃

是q的充分条件；若则推出p是夕的必要条件.

4.B

【解析】

x+4

由已知可得函数/(X)的周期与对称轴，函数尸(X)=/(x)+「「在区间［-9,10］上零点的个数等价于函数/(X)

1-2%

Y4-4

与g(X)=---图象在［-9,10］上交点的个数，作出函数/(*)与g(x)的图象如图，数形结合即可得到答案.

l-2x

【详解】

Y+4V-I-4-

函数尸(x)=/(x)+在区间［-9,10］上零点的个数等价于函数/(X)与g(X)=一"图象在［-9,10］上交

1-2%1-2%

点的个数，

由f(x)=f(2-x),得函数/(x)图象关于x=l对称，

•：/(x)为偶函数，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=f(x),得函数周期为2.

又\,当xG［0,1］时，f(x)=x,且/(x)为偶函数，...当0］时，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

l-2x2124x-2

作出函数f(x)与g(X)的图象如图：

x+4

即函数尸(x)=/(x)+-——•在区间［-9,10］上零点的个数为10.

1-2%

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题.

5.B

【解析】

根据组合知识，计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为5^^，然后计算A和分在一组的数目为

最后简单计算，可得结果.

【详解】

由题可知：

分别从3名男生、3名女生中选2人：C；C；

将选中2名女生平均分为两组：冬

将选中2名男生平均分为两组：爷

则选出的4人分成两队混合双打的总数为:

x~»lz^2z^2z^l

=18

3c3丁丁仆一^

4和耳分在一组的数目为C\C\=4

42

所以所求的概率为商=工

189

故选：B

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用，对平均分组的问题要掌握公式，比如：平均分成〃?组，则要除以A；；,即机!，审清题

意，细心计算，考验分析能力，属中档题.

6.C

【解析】

〃x)=cos2x,将2尤看成一个整体，结合y=cosx的对称性即可得到答案.

【详解】

由已知，〃x)=cos2x,^-2x=kn,k&Z,x=—kn,k&Z.

故选：C.

【点睛】

本题考查余弦型函数的对称性的问题，在处理余弦型函数的性质时，一般采用整体法，结合三角函数cosX的性质，是

一道容易题.

7.B

【解析】

设点A（%,y）、3（毛,%），并设直线AB的方程为了=，致+々，由衣=2丽得%=一2%，将直线AB的方程代

入韦达定理，求得|乂|，结合AACE的面积求得，的值，结合焦点弦长公式可求得|A8|.

【详解】

设点A（XQJ、3（0必），并设直线4?的方程为％=阳+〃，

_p_

将直线AB的方程与抛物线方程联立x=，1iy+2,消去x得V一2/wzy-p?=0,

y2-2px

由韦达定理得X+%=2〃加，％%=一"，

AF=（曰-X],一X｝丽QAF=2FB^,••一弘=2%，..凹=-2%，

***=—p"9可得|%|=~Y~P9El=21y2I=，

抛物线的准线/与X轴交于

AACF的面积为gxpx&p=*/=80,解得〃=4,则抛物线的方程为y2=8%，

,,92

所以'|明=%+工2+〃=‘‘+%-+4=2——+p=9"

88

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线焦点弦长的计算，计算出抛物线的方程是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.

8.D

【解析】

根据雷达图对选项逐一分析，由此确定叙述正确的选项.

【详解】

对于A选项，甲的数据分析3分，乙的数据分析5分，甲低于乙，故A选项错误.

对于B选项，甲的建模素养3分，乙的建模素养4分，甲低于乙，故B选项错误.

对于C选项，乙的六大素养中，逻辑推理5分，不是最差，故C选项错误.

对于D选项，甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分，乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分，所以乙的六大素养整

体平均水平优于甲，故D选项正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查图表分析和数据处理，属于基础题.

9.A

【解析】

函数/(x)=-匚-3+生Y-。的零点就是方程一匚-3+汕匹-。=0的解，设g(x)=上，方程可化为

InxxInxxinx

(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的导数g'(x),利用导数得出函数的单调性和最值，由

此可根据方程解的个数得出”的范围.

【详解】

X3/7Inxx

由题意得;——3+----------0有四个大于1的不等实根，记g(x)=L，则上述方程转化为

InxxInx

(^(x)-3)+a|—-11=0,

(g(x))

即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.

因为g'(x)=Aj3,当xe(l,e)时，g'(x)<0,g(尤)单调递减；当xe(e,+o。)时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

ylil人J

所以g(x)在龙=6处取得最小值，最小值为g(e)=e.因为3>e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解，故

X3〃Inx

/(%)=--―3+-——■—〃在区间(1，叱)上恰有四个不相等的零点，需。〉e且

Inxx

故选：A.

【点睛】

本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本

题考查了学生分析问题解决问题的能力.

10.B

【解析】

利用三角函数的性质，逐个判断即可求出.

【详解】

①因为/(X)=/(X+7),所以乃是"X)的一个周期，①正确；

②因为/(乃)=2,/)=#<2,所以f(x)在上不单调递增，②错误；

冗

③因为./■(—©=/(X),所以"X)是偶函数，又万是"X)的一个周期，所以可以只考虑xe0,-时，〃X)的值域.当

兀

xe0,—时，t=cosxG[0,1],

/(x)=|cosx|+cos12x1=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-\=2r+t-\

y=2『+”l在[0,1]上单调递增，所以f(x)的值域为,③错误；

综上，正确的个数只有一个，故选B.

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质应用.

11.B

【解析】

先求出向量a+La-E的坐标，然后由|£+5|=|£-向可求出参数加的值.

【详解】

由向量a=(1,4),b=(-2,m),

贝！Ja+5=(-1,4+〃?)，a-b=(3A-ni)

\a+h\=jF+(4+,〃)2,\a-b\=^32+(4-/w)-

y.\a+b\^a-b\,则Jr+H+M、=,3。+(4-姆,解得=

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

12.D

【解析】

根据空间向量的线性运算，用4,作基底表示的即可得解.

【详解】

根据空间向量的线性运算可知

=羽+/6

…+纲4+M

=AAt+^-A8+AD)

因为AB=AD=h,A4j=c,

则旗(一4豆+

1-1r-

=——a+—b+c

22

即BM=-—a+—b+c,

22

故选：D.

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.1

【解析】

由已知条件得出4邪一41万|•|B|-cos＜万,5＞+户=3,可得2|«|2-|a|-l=O,解之可得答案.

【详解】

向量,5的夹角为名且12万一万|=百，向=1,可得:碗2-4|万|・|B|-cos〈万石＞+户=3,

可得21Ml2-|初-1=0,解得|利=1,

故答案为:L

【点睛】

本题考查根据向量的数量积运算求向量的模，关键在于将所求的向量的模平方，利用向量的数量积化简求解即可，属

于基础题.

14.1

【解析】

根据平面向量模的定义先由坐标求得也，再根据平面向量数量积定义求得75；将.一彳化简并代入即可求得|加.

【详解】

£=（国），则同=J（G『+12=2，

平面向量B的夹角为?，则由平面向量数量积定义可得a4=BH5|cosq=2xWxg=W，

根据平面向量模的求法可知J--0=yla-2a-b+b=百，

代入可得,4_2忖+麻=73，

解得忖=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了平面向量模的求法及简单应用，平面向量数量积的定义及运算，属于基础题.

15.3+20

【解析】

1111H72%

m+n^mn=>-+-=\,所以有〃?+2〃=（加+2〃）（一+—）=3+—+——，再利用基本不等式求最值即可.

mnmnnm

【详解】

由已知，—+—=1,所以〃z+2〃=（/n+2n）（―-t--）=34--+—>3+2^2,

mnmnnm

当且仅当［m=6rl,即〃z=&+i,〃=21时，等号成立.

m+n=mn2

故答案为：3+272

【点睛】

本题考查利用基本不等式求和的最小值问题，采用的是“1”的替换，也可以消元等，是一道中档题.

16.20+舶S

【解析】

1

S=2x二x4x2+2?+4x2+2x2,=20+4W

试题分析：由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积2

P=-X4X2X2=8

体积2,故填：20+44,8,

考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)|(2)叵

【解析】

(1)求曲线y=x?和曲线y=J7围成的图形面积，首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求石-f在区间[0,1]

上的定积分.

(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20°=而)•(cosl0"+sinl0°),

cos35°=-^-(coslO°+sinl0)

然后再整体代入可得;

【详解】

解：

=J(l-sin20)-J(cos10°+sin10。J

=1一sin20)•(cos10°4-sin10)

cos35°=cos(45,-1())=cos45°cos100+sin45°sin1()。

+sin10°

^(1-sin20").(cos100+sin10)

cos20

••cos35。Qi荷=(coslO°+sinlO"M-sin200

【点睛】

本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用，属于中档题.

18.(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^

【解析】

(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数，即可得到直线/的

直角坐标方程；

(2)由于M(0,3)在直线/上，写出直线/的标准参数方程参数方程，代入曲线C的方程利用参数的几何意义即可得出

【详解】

(1)直线/的普通方程为y=-\/^x+3,即Gx+y-3=0,

222

根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，尤=pcos。，p=x+y,

而/9=4COS6,则p2=4pcos。，

即(x-2)2+V=4,

故直线1的普通方程为Gx+y-3=0,

曲线C的直角坐标方程(X-2>+V=4

(2)点M(0,3)在直线/上，且直线/的倾斜角为120。，

可设直线的参数方程为：

代入到曲线C的方程得

/+(2+3同+9=0,%+/2=-(2+3扬，楂=9,

1111，+修2+3丛

由参数的几何意义知------+---------+---=---------------

闻网|

|WA|\MB\\t2\9

【点睛】

熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键，难度一般.

19.(1)—3/-；(2)2=3x2向一9.

2

【解析】

(1)根据题意，建立首项和公差的方程组，通过基本量即可写出前〃项和

(2)由(1)中所求，结合累加法求得久.

【详解】

q+2d—4

at+2d-4,

(1)由题意可得即《

2

(q+44=(q++104)2d=atd.

4=2

又因为d#(),所以.「所以=〃+1.

a=1

〃(2+"+1)_n2+3n

s„22

(2)由条件及(1)可得优=%=3.

由已知得a-2=3x2油，2—%=3x2"(〃22)

所以勿=3“一%)+(%-%)+•••+(4W)+4

=3(2"+2"T+2"2+L+22)+3=3X2,,+I-9(«>2).

又仇=3满足上式,

所以6,=3x2"”-9

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前〃项和的基本量的求解，涉及利用累加法求通项公式，属综合基础题.

20.(1)C=-(2)2G

3

【解析】

分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；

(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的

面积公式计算即可得到所求的值.

详解：(1)V2ccosB=2a-h,

2sinCcosB=2sinA-sinB,/.2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB,

..171

/.2sinBcosC=sinB,/.cosC=—,C=—

23

(II)取BC中点£>,则逐一；函|=2=|方，在中，AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC»

(注：也可将而—g函|=2=|方两边平方)即4=后+e)一日,

22、吐—些=纥所以"W8,当且仅当。=4乃=2时取等号.

V422

此时S»BC加也。=亨。人，其最大值为2百,

点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模

的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.

23

21.(1)64,65；(2)—；(3)£(^)=12.

35

【解析】

(1)根据频率分布直方图及其性质可求出a/,c,平均数，中位数;

(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B,由条件概率公

式P(B|A)=*；W可求出;

24

(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈，其中“不合格”的学生数为而x10=4,“合

格''的学生数为6；由题意可得4=0,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率，进而得出分布列

与数学期望.

【详解】

由题意知，样本容量为——-——=60,b=60x(0.01x20)=12,

0.005x20

1Q

a=60-6-12-24=18,c=---------=0.015.

60x20

(1)平均数为(3()x0.005+5()x0.015+7()x0.02+90x0.01)x20=64,

设中位数为x,因为().(K)5x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以

xe(60,80),则0.005x20+0.015x20+(x-60)x0.02=0.5,

解得x=65.

(2)