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文档简介
2023年高考数学模拟试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的
位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.复数Z的共掘复数记作),已知复数4对应复平面上的点(一1,一1),复数22:满足1/2=-2.则匕2|等于()
A.0B.2C.VioD.10
2.若z=(3T)(a+2i)(awR)为纯虚数,贝z=()
16.20.
A.—iB.6iC.—iD.20
33
3.在关于x的不等式以2+2X+1>。中,“q>l”是".+2x+l>0恒成立”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且满足f(x)=/(2-x),当xe[0,1]时,f{x)=x,则函数
x+4
F(x)=/(%)+-——在区间[-9,10]上零点的个数为()
1-2%
A.9B.10C.18D.20
5.羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成.某班级从3名男生4,4,和3名女生用,B2,层中
各随机选出两名,把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛,则4和4两人组成一队参加比赛的概率为
()
1
C.一
9
6.已知函数〃x)=sin2x+g,则函数“X)的图象的对称轴方程为()
.TC.
A.X=k7T--,kGZB.X=KTt^—.kGZ
44
1,兀1r
C.X=—k7T,kGZD.X=—K7T+—,kGZ
224
7.过抛物线y2=2px(〃>0)的焦点尸的直线与抛物线交于A、B两点,且赤=2万,抛物线的准线/与工轴交于
C,AACF的面积为80,则|AB|=()
A.6B.9C.9V2D.6夜
8.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素
养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值
高者为优),则下面叙述正确的是()
A.甲的数据分析素养高于乙
B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C.乙的六大素养中逻辑推理最差
D.乙的六大素养整体平均水平优于甲
v*3/7Inx
9.已知函数/(x)=/--3+土―—。在区间(1,一)上恰有四个不同的零点,则实数。的取值范围是()
Inxx
A.(e,3)U(3,+«0B.[0,e)C.(e]+8)D.(fo,e)U{3}
10.关于函数/(X)=|COSX|+COS|2R,有下列三个结论:①万是的一个周期;②f(x)在上单调递增;
③f(x)的值域为则上述结论中,正确的个数为()
A.0B.1C.2D.3
11.已知向量)=(1,4),b=(-2,m),若|£+向=|£-加,则加=()
11
A.---B.—C.-8D.8
22
12.在平行六面体ABC。—A与中,M为AG与4。的交点,若荏=£,而,海=",则与两相等的向
量是()
.山
//24.......•//
1—•1—•-•1-]_>]-.11-•]一一
A.—a+—b+cB.——a——h+cC.—a——b+cD.——a+—b+c
22222222
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知非零向量〃出的夹角为?,且忖=1,|2£-勾=6,则忖=.
14.已知平面向量”,5的夹角为q,£=(百,1),且|Z-B|=JL则|B|=
15.已知相,”为正实数,S.m+n=mn,则加+2〃的最小值为.
16.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm',体积是cm\
上I□
I----4-----1H2T
正视图用视图
俯视图
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)(1)求曲线y=f和曲线y=«围成图形的面积;
cos20°
(2)化简求值:
cos350Jl-sin20
x=V3+1
18.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线/的参数方程为广。为参数),以坐标原点为极点,x轴正半
y=73t
轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线。的极坐标方程为夕=4cos0.
(1)求直线,的普通方程与曲线。的直角坐标方程;
(2)设点火°,3),直线/与曲线C交于不同的两点儿B,求高+看的值•
19.(12分)已知公差不为零的等差数列{%,}的前〃项和为S“,q=4,%是与与知的等比中项•
(1)求s“;
(2)设数列也}满足乙=%,%=勿+3x2%,求数列出}的通项公式.
20.(12分)在[ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c,cosB=2a—。,
(I)求/C的大小;
(II)若爹i—g酝=2,求AABC面积的最大值.
21.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合
格,,,,不合格,,两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统
计结果及对应的频率分布直方图如下:
等级不合格合格
得分[20,40][40,60][60,801[80,100]
频数6a24b
(1)由该题中频率分布直方图求测试成绩的平均数和中位数;
(2)其他条件不变,在评定等级为“合格”的学生中依次抽取2人进行座谈,每次抽取1人,求在第1次抽取的测试得
分低于80分的前提下,第2次抽取的测试得分仍低于80分的概率;
(3)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈.现再从这10人中任选4人,
记所选4人的量化总分为g,求j的数学期望EC).
22.(10分)在AABC中,角A,B,C的对边分别为若岳=b(sinC+百cosC).
(1)求角3的大小;
7T
(2)若4=一,。为AABC外一点,DB=2,CD=1,求四边形ABDC面积的最大值.
3
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.A
【解析】
__2
根据复数4的几何意义得出复数4,进而得出4,由Z/Z2=-2得出Z2=-=可计算出入,由此可计算出上2|.
z]
【详解】
由于复数4对应复平面上的点(T—1),・・・马=—1—"则I=T+i,
-222(1+0,,r---L
2,.-.z2=-==—=^-^-^=i+l,因此,㈤=>/T7F=VL
故选:A.
【点睛】
本题考查复数模的计算,考查了复数的坐标表示、共筑复数以及复数的除法,考查计算能力,属于基础题.
2.C
【解析】
根据复数的乘法运算以及纯虚数的概念,可得结果.
【详解】
z=(3—i)(a+2i)=3a+2+(6—
z=(3—i)(a+2i)(aeR)为纯虚数,
;•3a+2=0且6—a。0
小2…20.
得。=一一,此时z=—I
33
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的概念与运算,属基础题.
3.C
【解析】
讨论当。>1时,分2+2%+1>0是否恒成立;讨论当以2+2*+1>0恒成立时,”>1是否成立,即可选出正确答案.
【详解】
解:当a>l时,A=4—4a<0,由)=以2+2x+l开口向上,贝!lax?+2%+1>0恒成立;
当以2+2x+l>0恒成立时,若。=0,贝!|2x+l>0不恒成立,不符合题意,
Ia>0
若"0时,要使得以2+2x+l>0恒成立,贝!1〈人..八,即.
△=4-4。<0
所以“4>1”是“ax2+2x+l>0恒成立”的充要条件.
故选:C.
【点睛】
本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若PF,则推出〃
是q的充分条件;若则推出p是夕的必要条件.
4.B
【解析】
x+4
由已知可得函数/(X)的周期与对称轴,函数尸(X)=/(x)+「「在区间[-9,10]上零点的个数等价于函数/(X)
1-2%
Y4-4
与g(X)=---图象在[-9,10]上交点的个数,作出函数/(*)与g(x)的图象如图,数形结合即可得到答案.
l-2x
【详解】
Y+4V-I-4-
函数尸(x)=/(x)+在区间[-9,10]上零点的个数等价于函数/(X)与g(X)=一"图象在[-9,10]上交
1-2%1-2%
点的个数,
由f(x)=f(2-x),得函数/(x)图象关于x=l对称,
•:/(x)为偶函数,取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=f(x),得函数周期为2.
又\,当xG[0,1]时,f(x)=x,且/(x)为偶函数,...当0]时,f(x)=-x,
,、x+4x+419
g(x)=------=-----=—H-------,
l-2x2124x-2
作出函数f(x)与g(X)的图象如图:
x+4
即函数尸(x)=/(x)+-——•在区间[-9,10]上零点的个数为10.
1-2%
故选:B.
【点睛】
本题考查函数的零点与方程根的关系,考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法,属于中档题.
5.B
【解析】
根据组合知识,计算出选出的4人分成两队混合双打的总数为5^^,然后计算A和分在一组的数目为
最后简单计算,可得结果.
【详解】
由题可知:
分别从3名男生、3名女生中选2人:C;C;
将选中2名女生平均分为两组:冬
将选中2名男生平均分为两组:爷
则选出的4人分成两队混合双打的总数为:
x~»lz^2z^2z^l
=18
3c3丁丁仆一^
4和耳分在一组的数目为C\C\=4
42
所以所求的概率为商=工
189
故选:B
【点睛】
本题考查排列组合的综合应用,对平均分组的问题要掌握公式,比如:平均分成〃?组,则要除以A;;,即机!,审清题
意,细心计算,考验分析能力,属中档题.
6.C
【解析】
〃x)=cos2x,将2尤看成一个整体,结合y=cosx的对称性即可得到答案.
【详解】
由已知,〃x)=cos2x,^-2x=kn,k&Z,x=—kn,k&Z.
故选:C.
【点睛】
本题考查余弦型函数的对称性的问题,在处理余弦型函数的性质时,一般采用整体法,结合三角函数cosX的性质,是
一道容易题.
7.B
【解析】
设点A(%,y)、3(毛,%),并设直线AB的方程为了=,致+々,由衣=2丽得%=一2%,将直线AB的方程代
入韦达定理,求得|乂|,结合AACE的面积求得,的值,结合焦点弦长公式可求得|A8|.
【详解】
设点A(XQJ、3(0必),并设直线4?的方程为%=阳+〃,
_p_
将直线AB的方程与抛物线方程联立x=,1iy+2,消去x得V一2/wzy-p?=0,
y2-2px
由韦达定理得X+%=2〃加,%%=一",
AF=(曰-X],一X}丽QAF=2FB^,••一弘=2%,..凹=-2%,
***=—p"9可得|%|=~Y~P9El=21y2I=,
抛物线的准线/与X轴交于
AACF的面积为gxpx&p=*/=80,解得〃=4,则抛物线的方程为y2=8%,
,,92
所以'|明=%+工2+〃=‘‘+%-+4=2——+p=9"
88
故选:B.
【点睛】
本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.
8.D
【解析】
根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.
【详解】
对于A选项,甲的数据分析3分,乙的数据分析5分,甲低于乙,故A选项错误.
对于B选项,甲的建模素养3分,乙的建模素养4分,甲低于乙,故B选项错误.
对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理5分,不是最差,故C选项错误.
对于D选项,甲的总得分4+5+3+3+4+3=22分,乙的总得分5+4+5+4+5+4=27分,所以乙的六大素养整
体平均水平优于甲,故D选项正确.
故选:D
【点睛】
本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.
9.A
【解析】
函数/(x)=-匚-3+生Y-。的零点就是方程一匚-3+汕匹-。=0的解,设g(x)=上,方程可化为
InxxInxxinx
(g(x)-3)(g(x)-a)=0,即g(x)=3或g(x)=a,求出g(x)的导数g'(x),利用导数得出函数的单调性和最值,由
此可根据方程解的个数得出”的范围.
【详解】
X3/7Inxx
由题意得;——3+----------0有四个大于1的不等实根,记g(x)=L,则上述方程转化为
InxxInx
(^(x)-3)+a|—-11=0,
(g(x))
即(g(x)-3)(g(x)-a)=0,所以g(x)=3或g(x)=a.
因为g'(x)=Aj3,当xe(l,e)时,g'(x)<0,g(尤)单调递减;当xe(e,+o。)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
ylil人J
所以g(x)在龙=6处取得最小值,最小值为g(e)=e.因为3>e,所以g(x)=3有两个符合条件的实数解,故
X3〃Inx
/(%)=--―3+-——■—〃在区间(1,叱)上恰有四个不相等的零点,需。〉e且
Inxx
故选:A.
【点睛】
本题考查复合函数的零点.考查转化与化归思想,函数零点转化为方程的解,方程的解再转化为研究函数的性质,本
题考查了学生分析问题解决问题的能力.
10.B
【解析】
利用三角函数的性质,逐个判断即可求出.
【详解】
①因为/(X)=/(X+7),所以乃是"X)的一个周期,①正确;
②因为/(乃)=2,/)=#<2,所以f(x)在上不单调递增,②错误;
冗
③因为./■(—©=/(X),所以"X)是偶函数,又万是"X)的一个周期,所以可以只考虑xe0,-时,〃X)的值域.当
兀
xe0,—时,t=cosxG[0,1],
/(x)=|cosx|+cos12x1=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-\=2r+t-\
y=2『+”l在[0,1]上单调递增,所以f(x)的值域为,③错误;
综上,正确的个数只有一个,故选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的性质应用.
11.B
【解析】
先求出向量a+La-E的坐标,然后由|£+5|=|£-向可求出参数加的值.
【详解】
由向量a=(1,4),b=(-2,m),
贝!Ja+5=(-1,4+〃?),a-b=(3A-ni)
\a+h\=jF+(4+,〃)2,\a-b\=^32+(4-/w)-
y.\a+b\^a-b\,则Jr+H+M、=,3。+(4-姆,解得=
故选:B
【点睛】
本题考查向量的坐标运算和模长的运算,属于基础题.
12.D
【解析】
根据空间向量的线性运算,用4,作基底表示的即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
=羽+/6
…+纲4+M
=AAt+^-A8+AD)
因为AB=AD=h,A4j=c,
则旗(一4豆+
1-1r-
=——a+—b+c
22
即BM=-—a+—b+c,
22
故选:D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算,用基底表示向量,属于基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.1
【解析】
由已知条件得出4邪一41万|•|B|-cos<万,5>+户=3,可得2|«|2-|a|-l=O,解之可得答案.
【详解】
向量,5的夹角为名且12万一万|=百,向=1,可得:碗2-4|万|・|B|-cos〈万石>+户=3,
可得21Ml2-|初-1=0,解得|利=1,
故答案为:L
【点睛】
本题考查根据向量的数量积运算求向量的模,关键在于将所求的向量的模平方,利用向量的数量积化简求解即可,属
于基础题.
14.1
【解析】
根据平面向量模的定义先由坐标求得也,再根据平面向量数量积定义求得75;将.一彳化简并代入即可求得|加.
【详解】
£=(国),则同=J(G『+12=2,
平面向量B的夹角为?,则由平面向量数量积定义可得a4=BH5|cosq=2xWxg=W,
根据平面向量模的求法可知J--0=yla-2a-b+b=百,
代入可得,4_2忖+麻=73,
解得忖=1,
故答案为:1.
【点睛】
本题考查了平面向量模的求法及简单应用,平面向量数量积的定义及运算,属于基础题.
15.3+20
【解析】
1111H72%
m+n^mn=>-+-=\,所以有〃?+2〃=(加+2〃)(一+—)=3+—+——,再利用基本不等式求最值即可.
mnmnnm
【详解】
由已知,—+—=1,所以〃z+2〃=(/n+2n)(―-t--)=34--+—>3+2^2,
mnmnnm
当且仅当[m=6rl,即〃z=&+i,〃=21时,等号成立.
m+n=mn2
故答案为:3+272
【点睛】
本题考查利用基本不等式求和的最小值问题,采用的是“1”的替换,也可以消元等,是一道中档题.
16.20+舶S
【解析】
1
S=2x二x4x2+2?+4x2+2x2,=20+4W
试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积2
P=-X4X2X2=8
体积2,故填:20+44,8,
考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(1)|(2)叵
【解析】
(1)求曲线y=x?和曲线y=J7围成的图形面积,首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求石-f在区间[0,1]
上的定积分.
(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20°=而)•(cosl0"+sinl0°),
cos35°=-^-(coslO°+sinl0)
然后再整体代入可得;
【详解】
解:
=J(l-sin20)-J(cos10°+sin10。J
=1一sin20)•(cos10°4-sin10)
cos35°=cos(45,-1())=cos45°cos100+sin45°sin1()。
+sin10°
^(1-sin20").(cos100+sin10)
cos20
••cos35。Qi荷=(coslO°+sinlO"M-sin200
【点睛】
本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用,属于中档题.
18.(1)y/3x+y-3=0,(x-2)2+y2=4(2)2+^
【解析】
(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数,即可得到直线/的
直角坐标方程;
(2)由于M(0,3)在直线/上,写出直线/的标准参数方程参数方程,代入曲线C的方程利用参数的几何意义即可得出
【详解】
(1)直线/的普通方程为y=-\/^x+3,即Gx+y-3=0,
222
根据极坐标与直角坐标之间的相互转化,尤=pcos。,p=x+y,
而/9=4COS6,则p2=4pcos。,
即(x-2)2+V=4,
故直线1的普通方程为Gx+y-3=0,
曲线C的直角坐标方程(X-2>+V=4
(2)点M(0,3)在直线/上,且直线/的倾斜角为120。,
可设直线的参数方程为:
代入到曲线C的方程得
/+(2+3同+9=0,%+/2=-(2+3扬,楂=9,
1111,+修2+3丛
由参数的几何意义知------+---------+---=---------------
闻网|
|WA|\MB\\t2\9
【点睛】
熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.
19.(1)—3/-;(2)2=3x2向一9.
2
【解析】
(1)根据题意,建立首项和公差的方程组,通过基本量即可写出前〃项和
(2)由(1)中所求,结合累加法求得久.
【详解】
q+2d—4
at+2d-4,
(1)由题意可得即《
2
(q+44=(q++104)2d=atd.
4=2
又因为d#(),所以.「所以=〃+1.
a=1
〃(2+"+1)_n2+3n
s„22
(2)由条件及(1)可得优=%=3.
由已知得a-2=3x2油,2—%=3x2"(〃22)
所以勿=3“一%)+(%-%)+•••+(4W)+4
=3(2"+2"T+2"2+L+22)+3=3X2,,+I-9(«>2).
又仇=3满足上式,
所以6,=3x2"”-9
【点睛】
本题考查等差数列通项公式和前〃项和的基本量的求解,涉及利用累加法求通项公式,属综合基础题.
20.(1)C=-(2)2G
3
【解析】
分析:(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式,结合特殊角的三角函数值,求得角C;
(2)运用向量的平方就是向量模的平方,以及向量数量积的定义,结合基本不等式,求得的最大值,再由三角形的
面积公式计算即可得到所求的值.
详解:(1)V2ccosB=2a-h,
2sinCcosB=2sinA-sinB,/.2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB,
..171
/.2sinBcosC=sinB,/.cosC=—,C=—
23
(II)取BC中点£>,则逐一;函|=2=|方,在中,AD2=AC2+CD2-2AC-CDcosC»
(注:也可将而—g函|=2=|方两边平方)即4=后+e)一日,
22、吐—些=纥所以"W8,当且仅当。=4乃=2时取等号.
V422
此时S»BC加也。=亨。人,其最大值为2百,
点睛:该题考查的是有关三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理,诱导公式,和角公式,向量的平方即为向量模
的平方,基本不等式,三角形的面积公式,在解题的过程中,需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
23
21.(1)64,65;(2)—;(3)£(^)=12.
35
【解析】
(1)根据频率分布直方图及其性质可求出a/,c,平均数,中位数;
(2)设“第1次抽取的测试得分低于80分”为事件A,“第2次抽取的测试得分低于80分”为事件B,由条件概率公
式P(B|A)=*;W可求出;
24
(3)从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈,其中“不合格”的学生数为而x10=4,“合
格''的学生数为6;由题意可得4=0,5,10,15,1,利用“超几何分布”的计算公式即可得出概率,进而得出分布列
与数学期望.
【详解】
由题意知,样本容量为——-——=60,b=60x(0.01x20)=12,
0.005x20
1Q
a=60-6-12-24=18,c=---------=0.015.
60x20
(1)平均数为(3()x0.005+5()x0.015+7()x0.02+90x0.01)x20=64,
设中位数为x,因为().(K)5x20+0.015x20=0.4<0.5,0.005x20+0.015x20+0.02x20=0.8>0.5,所以
xe(60,80),则0.005x20+0.015x20+(x-60)x0.02=0.5,
解得x=65.
(2)
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