数值分析-绪论

数值分析_绪论第一页，共42页。应用问题举例第二页，共42页。今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。-------《九章算术》1、一个两千年前的例子第三页，共42页。线性方程组的求解！第四页，共42页。2、天体力学中的Kepler方程x是行星运动的轨道，它是时间t的函数.非线性方程求根！第五页，共42页。全球定位系统：在地球的任何一个位置，至少可以同时收到4颗以上卫星发射的信号

3、全球定位系统（GlobalPositioningSystem,GPS)第六页，共42页。

表示地球上一个接收点R的当前位置，卫星Si的位置为，则得到下列非线性方程组第七页，共42页。记为其中，非线性方程组的求解！第八页，共42页。4、已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下：深度（M）46674195014221634水温（oC）7.044.283.402.542.13根据这些数据，希望合理地估计出其它深度（如500米，600米，1000米…）处的水温.插值法！第九页，共42页。5、人口预测

下面给出的是中国1900年到2000年的人口数，我们的目标是预测未来的人口数（数据量较大时）19505519619606620719708299219809870519901143332000126743数据拟合！第十页，共42页。第十一页，共42页。6、铝制波纹瓦的长度问题建筑上用的一种铝制波纹瓦是用一种机器将一块平整的铝板压制而成的.假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸为一个周期.求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L.第十二页，共42页。

这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L.

由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:上述积分称为第二类椭圆积分,它不能用普通方法来计算.数值积分！第十三页，共42页。计算机辅助设计：波音777应用三维立体建模，数字化设计与有限元计算的第一架喷气客机。天气预报：计算能力的发展将把海洋、大气和生态系统的综合知识融合成一个气象变化模型。医学与生物工程：CT、核磁共振与Radon变换；至病基因与药物设计；人造生物材料的彷真响应；传染病动力学模型。现代科学计算在工程计算中的应用第十四页，共42页。电子系统自动化设计：大规模集成电路的设计与逻辑检测。材料设计：性能设计的大规模计算与模拟：设计用于生产新的高热值、高压材料中的化学蒸发沉淀反应器。车辆与道路工程设计与模拟：车辆与道路相互作用综合系统设计。第十五页，共42页。存储与物流系统：工农业发展使得产品的存储、交流和时效性极大提高；废物和垃圾问题成为城市生活的重大问题。规划计算和系统分析成为常用计算方法。燃烧与爆炸工程：燃烧对环境的影响；计算流体力学与爆炸工程。网络设计与计算：搜索引擎的设计航空航天工程：神州飞船系列信息与通信工程：GPS卫星导航第十六页，共42页。理论研究科学实验科学计算计算数学诺贝尔奖得主,计算物理学家Wilson提出现代科学研究的三大支柱第十七页，共42页。

科学方法论的巨大变革：如果说伽利略和牛顿在科学发展史上奠定了实验和理论这两大科学方法的支柱，那么由冯.诺依曼研制的现代电子计算机把计算推上了人类科学活动的前沿，使计算成为第三种方法。第十八页，共42页。21世纪信息社会的两个主要特征：“计算机无处不在”“数学无处不在”21世纪信息社会对科技人才的要求：--会用数学解决实际问题--会用计算机进行科学计算第十九页，共42页。程序设计上机计算设计高效、可靠的数值方法数值问题求解近似结果输出重点讨论数值问题的来源：实际问题建立数学模型数值问题第二十页，共42页。数值计算方法是计算数学的一个主要组成部分，“什么是数值计算方法？”它主要研究使用计算机求解各种科学与工程计算问题的数值方法（近似方法）;对求得的解的精度进行评估以及在计算机上实现求解等。

数值计算方法已经成为计算机处理实际问题的一个重要手段，从宏观天体运动学到微观分子细胞学，从工程系统到社会经济系统，无一能离开数值计算方法。因此，数值计算与计算机模拟被称为“第三种科学研究方法”。

第二十一页，共42页。科学计算可视化是目前研究的热门问题，下面的艺术图形是基于科学计算的数据表示的例子第二十二页，共42页。分形图混沌图第二十三页，共42页。1、数值逼近

插值与拟合、FFT、数值积分与微分2、数值代数

代数基础、线性代数方程组的解法、非线性代数方程（组）的解法、特征值与特征向量3、微分方程数值解

ODE、PDE和有限元法4、最优化方法*无约束优化与约束优化方法融进了机器学习计算、仿生计算、网络计算、以数据为核心的计算和各种普适计算、非线性科学计算等内容。传统的数值计算的主要研究内容

现代计算方法：第二十四页，共42页。§2

算法一、算法的概念

描述算法可以有不同的方式。例如，可以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌。

定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完整的解题步骤，称为算法。第二十五页，共42页。例：求解二元一次联立方程组用行列式解法：首先判别

（1）如果，则令计算机计算

输出计算的结果x1，x2。（2）如果D=0，则或是无解，或有无穷多组解。是否为零，存在两种可能：第二十六页，共42页。令通过求解过程，可以总结出算法步骤如下：S2计算S3如果则输出原方程无解或有无穷多组解的信息;否则S1输入S4输出计算的结果第二十七页，共42页。输入

D=a11a22-a12a21D=0开始输出

x1,x2

结束

No输出无解信息Yes第二十八页，共42页。二、算法优劣的判别

计算量的大小存贮量逻辑结构例：用行列式解法求解线性方程组:n阶方程组，要计算n+1个n阶行列式的值，总共需要做n!(n-1)(n+1)

次乘法运算。

n=20需要运算多少次？n=100?第二十九页，共42页。§3

误差

/*Error*/一、误差的来源与分类

/*Source&Classification*/

1、从实际问题中抽象出数学模型

——模型误差

/*ModelingError*/

2、通过观测得到模型中某些参数（或物理量）的值

——观测误差

/*MeasurementError*/

3、数学模型与数值算法之间的误差

——方法误差

(截断误差

/*TruncationError*/)

4、由于机器字长有限，原始数据和计算过程会产生新的误差

——舍入误差

/*RoundoffError*/第三十页，共42页。二、误差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/设为真值（精确值），为的一个近似值称为近似值的绝对误差，简称误差。注：误差可正可负，常常是无限位的绝对误差限/*accuracy*/——绝对值的上界如：绝对误差还不能完全表示近似值的好坏（绝对误差/*absoluteerror*/）第三十一页，共42页。近似值的误差与准确值的比值：称为近似值的相对误差，记作注：实际计算时，相对误差通常取因为（相对误差/*relativeerror*/）第三十二页，共42页。相对误差也可正可负,常常是无限位的（有效数字/*SignificantDigits*/）相对误差限——相对误差的绝对值的上界/*relativeaccuracy*/如：3位6位若近似值与准确值的误差绝对值不超过某一位的半个单位，该位到的第一位非零数字共有位，则称有位有效数字第三十三页，共42页。例3计算下列多项式的值为已知数据分析：输入数据为，输出数据为，若直接由算出，再乘相应的系数并相加，则要做次乘法和次加法，占用个存储单元。秦九韶方法，也称为Horner算法用递推公式表示为只用次乘法和次加法，并占用个存储单元

三、数值算法及稳定性

/*NumericalAlgorithmandStability*/第三十四页，共42页。一个算法如果输入数据有扰动（即误差），而计算过程中舍入误差不增长,则称此算法是数值稳定的，否则此算法就称为不稳定的。（数值稳定性/*NumericalStability*/）对数学问题本身如果输入数据有微小扰动，引起输出数据（即问题真解）的很大扰动，这就是病态问题。（病态问题/*ill-posedproblem*/）

它是数学问题本身性质所决定的，与算法无关，也就是说对病态问题，用任何算法（或方法）直接计算都将产生不稳定性。

第三十五页，共42页。例6：蝴蝶效应

——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽的北京就刮起台风来了？！纽约北京这就是一个病态问题第三十六页，共42页。几点注意事项

/*Remarks*/1、

避免相近二数相减例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效数字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效数字。

几种经验性避免方法：当|x|<<1时：第三十七页，共42页。2、

避免小分母:分母小会造成浮点溢出

/*overflow*/3、避免大数吃小数例：用单精度计算的根。精确解为算法1：利用求根公式在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1的指数部分须变为1010，则：1=0.011010，取单精度时就成为：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大数吃小数第三十八页，共42页。算法2：先解出再利用注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1+2+3+…+40+1094、

先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为5、选用稳定的算法。第三十九页，共42页。并行计算

一、电子计算机的并行计算分类

传统计算机一般采用VonNeumann结构，每一时刻只有一个进程的算法，即串行算法。并行计算机每一时刻具有2个以上的进程的算法称为