非线形规划讲稿

-PAGE8-一、基本概念二、一维搜索由于线性规划的目标函数为线性函数，可行域为凸集，因而求出的最优解就是整个可行域上的全局最优解。非线性规划却不然，有时求出的某个解虽是一部分可行域上的极值点，但并不一定是整个可行域上的全局最优解。对于非线性规划模型(NP)，可以采用迭代方法求它的最优解。迭代方法的基本思想是：从一个选定的初始点出发，按照某一特定的迭代规则产生一个点列，使得当是有穷点列时，其最后一个点是(NP)的最优解；当是无穷点列时，它有极限点，并且其极限点是(NP)的最优解。0°选取初始点，令。1°构造搜索方向，依照一定规则，构造在点处关于的可行下降方向作为搜索方向。2°寻求搜索步长。以为起点沿搜索方向寻求适当的步长，使目标函数值有某种意义的下降。3°求出下一个迭代点。按迭代格式（1）求出。若已满足某种终止条件，停止迭代。4°以代替，回到1°步。无约束问题2.1一维搜索方法当用迭代法求函数的极小点时，常常用到一维搜索，即沿某一已知方向求目标函数的极小点。一维搜索的方法很多，常用的有：（1）试探法（“成功—失败”，斐波那契法，0.618法等）；插值法（抛物线插值法，三次插值法等）；（3）微积分中的求根法（切线法，二分法等）。考虑一维极小化问题（2）若是区间上的下单峰函数，我们介绍通过不断地缩短的长度，来搜索得（2）的近似最优解的两个方法。雅为了缩短区间捷，逐步搜索得石（傻2默）的最优解狂的近似值，我袜们可以采用以蜓下途径：在阅中任取两个关姐于夺是对称的点最和态（不妨设茶，并把它们叫凤做搜索点），组计算艳和戒并比较它们的甩大小。对于单处峰函数，若锁，则必有旋，因而滩是缩短了的单勒峰区间；若怜，则有合，故械是缩短了的单余峰区间；若顽，则险和轰都是缩短了的赶单峰。因此通绳过两个搜索点块处目标函数值掩大小的比较，决总可以获得缩为短了的单峰区寇间。对于新的够单峰区间重复魄上述做法，显户然又可获得更佛短的单峰区间止。如此进行，钉在单峰区间缩凤短到充分小时静，我们可以取重最后的搜索点促作为洋（邀2雪）最优解的近笋似值。等三、无约束极扰值含无约束极值问艺题可表述为疤渣嘱栏识虎帜重幸链岔（泥5因）访求解问题隶（蚊5趋）的迭代法大静体上分为两种愿：绍一是用到函数潜的一阶导数或罪二阶导数，称芦为解析法。另权一是仅用到函徐数值，称为直汤接法。坑债前解析法本汽.1殊梯度法（最速增下降法）定对基本迭代格赛式荐盛药垮跃卧斩卡搅尿习烤（椒6王）调我们总是考虑旅从点步出发沿哪一个到方向破，使目标函数强下降得最快。茎微积分的知识给告诉我们，点险的负梯度方向潮有采，唤是从点援出发使荷下降最快的方绵向。为此，称屑负梯度方向碎为软在点协处的最速下降梁方向。谈按基本迭代格行式痛（着6避），每一轮从意点限出发沿最速下骄降方向谣作一维搜索，宾来建立求解无谁约束极值问题蒙的方法，称之桂为最速下降法妻。范这个方法的特鼠点是，每轮的佛搜索方向都是孕目标函数在当欣前点下降最快壮的方向。同时夏，用蚂或赵作为停止条件作。其具体步骤胀如下：跳1验°内选取初始数据星。选取初始点霸，给定终止误趟差，令五。至2享°闸求梯度向量。握计算折，描逃若馒，停止迭代，庄输出哑。否则，进辨行驰3絮°膜。劳3贿°僵研构造负梯度方晋向。取.却4°致进行一维搜索燥。求闲，使得拔杜令转2°。墓例醉4给漠高用最速下降法柜求解无约束非器线性规划问题砍其中抽，要求选取初滤始点概，终止误差妙。解：（=1\*romani）俩编写央M既文件佛detaf.厦m泊如下许functi适on感[f,df]枣=detaf任(x);雹f=x(1)午^2+25*哪x(2)^2垫;舅df(1)=夜2*x(1)锅;器df(2)=健50*x(2直);近（=2\*roman动ii铅）编写初M裤文件俗zuisu.宾mclc甩x=[2;2模];佣[f0,g]时=detaf洪(x);熟while惩norm(g娇)>0.00魔0001务p=-殿g'/nor廊m(g);当响t=1.0;荣f=deta腹f(x+t*未p);差学while安f>f0蚕磨t=t/2;撇f=deta勾f(x+t*史p);end看x=x+t*聋p届[f0,g]泛=detaf梁(x)end限2煎.3.1的.2Ne胃wton钉法关考虑目标函数横在点箭处的二次逼近喜式勿假定咬Hesse贱阵正定。进由于只正定，函数勇的稳定点极是澡的最小点。为窄求此最小点，遍令，即可解得.楼对照基本迭代妄格式柴（访1穴），可知从点爽出发沿搜索方女向。坛并取步长少即可得片的最小点鲜。通常，把方上向那叫做从点音出发的授Newton砍方向。从一初企始点开始，每斜一轮从当前迭驾代点出发，沿品Newton穿方向并取步长洞为短1脉的求解方法，绞称之为预Newton娃法。其具体步州骤如下：欲1肝°恼选取初始数据河。选取初始点师，给定终止误茄差嚷，令串。度2能°衡求梯度向量。臭计算卵，若沿，停止迭代，桃输出耗。否则，进移行棒3间°吗。俯3股°独构造险Newton妄方向。计算即，取.消4°因求下一迭代点怒。令佛，鸟转律2贷°美。位例邻5兰建矿用贺Newton漂法求解，选取，。解：（=1\*romani）溜编写标M熊文件虫nwfun.苹m储如下：亭functi钓on震[f,df,贫d颗2f奴]=nwfu务n(x);厨f=x(1)谜^4+25*脾x(2)^4垫+x(1)^扑2*x(2)摘^2;刃df(1)=勿4*x(1)抗^3+2*x搅(1)*x(之2)^2;敲df(2)=搏100*x(烤2)^3+2誓*x(1)^蚕2*x(2)却;沾d魂2f骂(我1,1)=1河2*x(1)照^2+2*x妈(2)^2;株d念2f孟(您1,2)=4腐*x(1)*栽x(2);尼d鉴2f粒(狼2,1)=d宅2f纺(笼1,2);芒d弃2f监(看2,2)=3我00*x(2规)^2+4*袍x(1)*x姿(2);伯（=2\*roman荡ii糠）编写遥M敏文件：clc羊x=[2;2翼];细[f0,g1你,g2]=n黎wfun(x帅)枝while病norm(g周1)>0.0辱0001扑禽%dead我loop,f气ori=1攻:3清葛p=-inv朵(g2)*g旗1',p=p水/norm(距p)则t=1垒.0,f=d济etaf(x沸+t*p)振愁while堪f>f0醒馆t=t/2,仅f=deta摄f(x+t*应p),end殊x=x+t*圾p和[f0,g1劳,g2]=n李wfun(x浇)end稿如果目标函数主是非二次函数袜，一般地说，吩用属Newton彻法通过有限轮左迭代并不能保浮证可求得其最纳优解。亲Newton烧法的优点是收莫敛速度快；缺疮点是有时不好难用而需采取改傍进措施，此外影，当维数较高描时，计算详的工作量很大撤。顺§3智约束极值问题落带有约束条件炎的极值问题称绩为约束极值问烤题，也叫约束诵规划问题。读求解约束极值钟问题要比求解驱无约束极值问萄题困难得多。吓为了简化其优剥化工作，可采执用以下方法：槐将约束问题化班为无约束问题锋；将非线性规哑划问题化为线赔性规划问题，爪以及能将复杂彻问题变换为较倾简单问题的其板它方法。二次规划圆若某非线性规诉划的目标函数聚为自变量丘的二次函数，肌约束条件又全蓄是线性的，就射称这种规划为锹二次规划。肃Matlab甜中二次规划的稠数学模型可表义述如下：未这里想是实对称矩阵驴，巾是列向量，维是相应维数的愚矩阵。滋Matlab乏中求解二次规慕划的命令是贯[X,FVA编L]=QU娃ADPROG踢(H,f,A昏,b,Aeq盟,beq,L撞B,UB,X早0,OPTI榜ONS)菠X肢的返回值是向续量需，车FVAL宴的返回值是目拍标函数在刷X菌处的值。（具杏体细节可以参溜看在木Matlab舰指令中运行温helpq者uadpro拒g蝶后的帮助）。爹例闷8易圣主求解二次规划虹解千羡垮编写如下程序享：袭h=[4,-君4;-4,8摔];渠f=[-6;嘱-3];荷a=[1,1弹;4,1];皇b=[3;9鼻];怎[x,val凭ue]=qu胸adprog治(h,f,a壁,b,[],死[],zer长os(2,1务))求得舅争脖。罚函数法草利用罚函数法福，可将非线性耻规划问题的求残解，转化为求覆解一系列无约旗束极值问题，赢因而也称这种诵方法为序列无借约束最小化技大术，简记为锯

SUMT奥(Seque若ntial岂Uncons选traine型dMini携mi副zation钢Techn江ique)把。汁罚函数法求解工非线性规划问税题的思想是，脚利用问题中的财约束函数作出托适当的罚函数浴，由此构造出梨带参数的增广福目标函数，把岗问题转化为无流约束非线性规趟划问题。主要存有两种形式，德一种叫外罚函涂数法，另一种汽叫内罚函数法作，下面介绍外鹰罚函数法。近考虑如下问题妨：s.t.帝取一个充分大冈的扮数堆桌驾，构造函数（或企这暮里帅俩，祝，陈，腿为适当的行向爪量，妈Matlab鼻中可以直接利材用春龟和吗扎函数。）则以受增广目标函数梅为目标函数的承无约束极值问贯题补的最优解重也是原问题的齿最优解。罗例燥9圾求下列非线性你规划泰解罩输(=1\*roman稿i帝)盛编赵写倒去M挨文底件开离test.m狂蛛functi王on据g=test采(x);镇M=5000牺0;偷f=x(1)工^2+x(2拒)^2+8;京g=f-M*捎min(x(华1),0)-迈M*min(太x(2),0掏)-M*mi氏n(x(1)堤^2-x(2疮),0)腐...滋怕+M*abs逢(-x(1)蛾-x(2)^宰2+2);扎(=2\*roman峰ii革)降在在Matlab到命令窗口输入岔[岁x牙,y]蚀=fminu厘nc卵(锐'test'额,峰rand(2冈,违1浑))付即可求得问题裳的解。马§4剩嗓飞行管理问题日在香约加1举0蝴，垃000圈m铃高空的某边长怨160帜km心的正方形区域盛内，经常有若碎干架飞机作水坟平飞行。区域符内每架飞机的挑位置和速度向痒量均由计算机纳记录其数据，底以便进行飞行梢管理。当一架废欲进入该区域斑的飞机到达区洞域边缘时，记虹录其数据后，带要立即计算并汗判断是否会与条区域内的飞机惨发生碰撞。如据果会碰撞，则折应计算如何调昨整各架（包括昏新进入的）飞忠机飞行的方向骄角，以避免碰学撞。现假定条竭件如下：派1扮）不碰撞的标酷准为任意两架奥飞机的距离大康于同8袍km介;鄙2胀）飞机飞行方侮向角调整的幅水度不应超过么30禾度；迅3扮）所有飞机飞换行速度均为每北小时振800营km劫;蔬4长）进入该区域旦的飞机在到达悬区域边缘时，奶与区域内飞机范的距离应在宽60km梦以上；猎5仁）最多需考贩虑摧6芳架飞机；换6听）不必考虑飞历机离开此区域贤后的状况。恒请你对这个避厚免碰撞的飞行胁管理问题建立逢数学模型，列贴出计算步骤，竟对以下数据进场行计算（方向感角误差不超王过掘0葡.01控度），要求飞促机飞行方向角前调整的幅度尽蔑量小。攀设该区拴域阳4疯个顶点的座标悟为柱(屑0,0)立，蒙(校160,0)刘，慨(160,1皮60射)筝，小(齿0,160)窜。记录数据为迎：姨飞机编码号莲男纹横座标醒榨胖纵座标售氏华方向角（度）天1工腰15塔0痛1挥40窜拢243核2酿主8抽5基喘85瞒奏236缸3局店15兴0沈1抓55战河220到.5竿4染凭14盾5日奏50苗娇159亮5堤营13强0流1乡50谷舱230躺胀新进魔入油闸0咏岸0什乞多52役注：方向角指耳飞行方向与尼轴正向的夹角遍。述试根据实际应同用背景对你的垫模型进行评价权与推广。提示：，，满其中渴为飞机的总架梳数，设为返时刻第莲架飞机的坐标遮，糟分别表示第匪架飞机飞出正垒方形区域边界坛的时刻。这里，，；，，；次其中皮为飞机的速度辆，辅分别为第梨架飞机的初始很方向角和调整豪后的方向角。令其中，朴则两架飞机不