2022-2023学年安徽省滁州市定远县民族中学高二年级上册学期11月期中数学试题【含答案】

2022-2023学年安徽省滁州市定远县高二上学期11月期中数学试题一、单选题1．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形．若，且，则的长为（

）A． B． C． D．5【答案】A【分析】利用空间向量的线性运算及数量积运算即可求解.【详解】根据空间向量的运算法则，易得，又因为，故.故选：A．2．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.【详解】设与的夹角为．由，得，两边平方，得，所以，解得，又，所以，故选：C．3．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】在三棱锥中，点，分别是，的中点，点满足，若，则，故选：B4．设l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），若l1⊥l2，则m等于（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】B【分析】由l1⊥l2，可得其两直线的方向向量垂直，即，所以，从而可求出m的值【详解】因为l1的方向向量为=（1，2，﹣2），l2的方向向量为=（﹣2，3，m），且l1⊥l2，所以，所以，解得，故选：B5．直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出图形，并将直线l绕着点M进行旋转，使其与线段PQ相交，进而得到l斜率的取值范围.【详解】∵直线l过点，且与以，为端点的线段相交，如图所示：∴所求直线l的斜率k满足或，，则或，∴，故选：D．6．在平面直角坐标系内有两个点，，若在轴上存在点，使，则点的坐标是A． B． C． D．或【答案】D【解析】根据可知，则，构造出关于点坐标的方程，解方程求得结果.【详解】设，则，

，则则：，解得：或点坐标为：或本题正确选项：【点睛】本题考查利用直线垂直关系求解参数值的问题，关键是利用斜率乘积为构造方程.7．若入射光线所在直线的方程为，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意可得已知直线过点，，由反射原理，反射光线必经过点和点关于轴的对称点，然后由求直线方程的方法可得答案．【详解】解：由已知直线方程，令可得，令可得，即入射光线所在直线与轴、轴分别相交于点，，由反射原理，反射光线必经过点和点关于轴的对称点，故可得其斜率为：，由斜截式方程可得，所求反射光线所在直线方程为：故选：．8．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（）A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0【答案】B【分析】先求出两条直线的交点坐标，然后求出直线的斜率，由直线的点斜式方程求解即可．【详解】联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），又直线l1的斜率为2，故所求直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即x+2y+13＝0．故选：B二、多选题9．在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点，则下列命题中正确的是（

）．A． B．当为线段的中点时，取最小值C．三棱锥体积的最大值是最小值的倍 D．与所成角的范围是【答案】AD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出的坐标后可通过向量的方法判断AB正误，可证明平面，从而可判断C的正误，连接，设，连接，则，则或其补角即为与所成角，计算的范围后可判断D的正误.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，.设，其中，故，故，所以，所以，故A正确.又，当时，有最小值，故B错误.对于D，如图，连接，设，连接，则，故或其补角即为与所成角，在中，，，，在中，，故，在中，，故，而为三角形内角，故，故.故D正确.由正方体可得，而平面，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故三棱锥体积为定值，故C错误.故选：AD.10．已知在以为直角顶点的等腰三角形中，顶点、都在直线上，下列判断中正确的是（

）A．点的坐标是或B．三角形的面积等于C．斜边的中点坐标是D．点关于直线的对称点是【答案】ACD【分析】取的中点，由，且在上，求得点坐标为，可判断C；由及，求得的坐标可判断A；求得，可判断B；求出点关于直线的对称点可判断D．【详解】取的中点，因为三角形为等腰三角形，所以，即垂直于直线，则，且，解得，则的中点坐标为，故C正确；所以①，而，且，②，联立①②，解得，或，所以的坐标是或，故A正确；，，所以，故B错误；设点的对称点为，则的中点为，即，所以，，解得，即点关于直线的对称点是，故D正确．故选：ACD．.11．已知圆，点P是圆C上的一个动点，点，，则下列选项中正确的是（

）A． B．的最大值为C．的最大值为12 D．的最大值为9【答案】AC【分析】对于A选项，根据判断；对于B选项，当时，取的最大值，再根据几何关系求解判断；对于CD选项，由向量的数量积的坐标运算转化为三角函数的最值问题即可求解.【详解】由题意知，圆心，半径为，所以，当点P在AC的延长线上时，最大，此时，当点P在AC之间时，最小，此时，所以，即选项A正确;当直线AP与圆C相切时，取得最大值，此时，，即选项B错误;设，，当时，此时点，有最大值为，即选项C正确;，所以的最大值为，即选项D错误.故选：AC三、单选题12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若满足，顶点，，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（

）A．圆M上的点到原点的最大距离为B．圆M上不存在三个点到直线的距离为C．若点在圆M上，则的最小值是D．若圆M与圆有公共点，则【答案】D【分析】由题意求出的垂直平分线可得的欧拉线，再由圆心到直线的距离求得，得到圆的方程，求出圆心到原点的距离，加上半径判断A；求出圆心到直线的距离判断B；再由的几何意义，即圆上的点与定点连线的斜率判断C；由两个圆有公共点可得圆心距与两个半径之间的关系，求得的取值范围可判断D.【详解】对于A，由题意可得的欧拉线即为的垂直平分线，因为，，所以的中点坐标为，，所以线段的垂直平分线方程为，即，因为“欧拉线”与圆M：相切，所以，所以圆M：，所以圆M上的点到原点的最大距离为，所以A错误；对于B，因为圆心到直线的距离为，而圆的半径为，所以圆M上存在三个点到直线的距离为，所以B错误；对于C，表示圆上的点与定点连线的斜率，设过与圆相切的直线方程为，即，则，解得，所以的最小值为，所以C错误，对于D，圆的圆心为，半径为，因为圆M：的圆心为，半径为，所以要使圆M与圆有公共点，则只要圆心距的范围为，所以，解得，所以D正确，故选：D.四、填空题13．已知平行六面体的棱长均为4，，E为棱的中点，则___________.【答案】6【分析】利用空间向量基本定理，选取合适的基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长.【详解】设，，，则，∴，∴.故答案为：614．点在轴上运动，点在直线上运动，若，则的周长的最小值为___________.【答案】【分析】设A关于轴的对称点关于的对称点，利用对称将的周长的最小值转化为求的长度，求得的坐标，由两点间距离公式即可求得答案.【详解】设A关于轴的对称点关于的对称点，的周长，取等号时即共线时，的周长的值最小，即的长度即为三角形周长的最小值，由题意，设点，解得，所以，由两点距离公式知.故答案为：.15．已知中，点，，.则的面积为________.【答案】10【分析】由两点式的直线BC的方程，再根据点点到直线的距离求出BC边上的高d，再根据两点之间的距离公式求出BC，根据三角形的面积公式计算即可.【详解】解：由两点式的直线BC的方程为＝，即为x+2y﹣8＝0，由点A到直线的距离公式得BC边上的高d＝＝，BC两点之间的距离为＝4，∴△ABC的面积为×4×＝10，故答案为：10.【点睛】本题考查了直线方程的求法点到直线的距离公式，两点之间的距离公式，三角形的面积公式，属于基础题.16．当曲线与直线有两个不同的交点时，实数k的取值范围是____________．【答案】【分析】求出直线恒过的定点，结合曲线的图象，数形结合，找出临界状态，即可求得的取值范围.【详解】因为，故可得，其表示圆心为，半径为的圆的上半部分；因为，即，其表示过点，且斜率为的直线.在同一坐标系下作图如下：不妨设点，直线斜率为，且过点与圆相切的直线斜率为数形结合可知：要使得曲线与直线有两个不同的交点，只需即可.容易知：；不妨设过点与相切的直线方程为，则由直线与圆相切可得：，解得，故.故答案为：.五、解答题17．已知直线．(1)求直线过定点的坐标；(2)当直线时，求直线的方程；(3)若交轴正半轴于，交轴正半轴于，的面积为，求最小值时直线的方程．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直线可化为即可得解；（2）根据已知条件列式求出即可得解；（3）根据直线的方程，分别求出直线在轴，轴上的截距，再结合三角形的面积公式，以及基本不等式的公式即可求解.【详解】（1）直线可化为，直线过定点．（2）直线，，，直线的方程为，即直线的方程为．（3）解法：设，直线过得：，，当且仅当，即取等号，，，当时，最小值为，此时，直线的方程为，即．解法：由直线的方程得：，，由题设得：．当且仅当时取等号．取最小值时，直线的方程为．18．如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L⊥直线AB．点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点．试建立适当的直角坐标系，解决下列问题：（1）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；（2）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点．【答案】（1）；（2）证明见解析【详解】建立如图所示的直角坐标系，⊙O的方程为，直线L的方程为．（1）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，∴，．将x=4代入，得．∴MN的中点坐标为（4，0），MN=．∴以MN为直径的圆的方程为．同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是．（2）设点P的坐标为，∴（），∴．∵，将x=4代入，得，．∴，MN=．MN的中点坐标为．以MN为直径的圆截x轴的线段长度为为定值．∴⊙必过⊙O内定点．点评：用待定系数法求圆的方程要注意两点：第一，究竟用标准方程还是一般方程要根据题设条件选择，选择得当，解法就简捷，选择不当，会增加解答的难度；第二，要注意适时运用几何知识列方程，这样可能大大减少运算量．19．如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．(1)试用，，表示向量；(2)若，，，，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；【详解】（1）解：，，又（2）解：由（1）可得知20．已知点、、，，．(1)若，且，求；(2)求；(3)若与垂直，求．【答案】(1)或；(2)(3)或【分析】（1）利用空间向量平行充要条件设出，再利用列方程，进而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值；（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．【详解】（1）、，，，且，设，且，解得，或；（2）、、，，，，，；（3），，又与垂直，，解得或．21．已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，求面积的最小值；（3）已知，若点P到直线的距离为d，求d最大时直线的方程.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据方程可得直线l恒过定点，然后可得答案；（2）可得，然后利用基本不等式可求出其最小值；（3）当时，d最大，然后可求出答案.【详解】（1）直线l的方程为，直线l恒过定点，∴若直线l不经过第四象限，则，（2）因为直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，所以取，，，，所以，当且仅当时等号成立.（3）当时，d最大，，可得直线的斜率为，则直线的方程，即.22．如图①，在等腰梯形中，，，，，，将沿折起，使平面平面，得到如图②所示的四棱锥，其中为的中点．（1）试在线段上找一点，使得∥平面，并说明理由；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）为的中点，理由见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，利用中位线证明，则可证明平面；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，再得平面的法向量，代入数量积的夹角计算公式求解余弦值即可.【详解】解：（1）为的中点，证明如下：连接，∵分别为，的中点，∴，又，平面，∴平面（2）∵平面平面，平面平面，平面.由题意知，，两两垂直，以