线性代数逆矩阵

线性代数逆矩阵第1页，共33页，2023年，2月20日，星期二§2.2逆矩阵2、逆矩阵的概念3、逆矩阵的求法4、逆矩阵的运算性质1、引例5、矩阵方程第2页，共33页，2023年，2月20日，星期二在数的运算中,当时,有其中为的倒数(或称为的逆).数的逆在解方程中起着重要作用,例如,解一元线性方程当时,其解为1引例第3页，共33页，2023年，2月20日，星期二问题对于矩阵是否也存在着的逆使得是否可用类似求解一元线性方程的运算？在解矩阵方程时,在矩阵中的“1”其实就是单位矩阵E1引例第4页，共33页，2023年，2月20日，星期二定义1使得则矩阵称为可逆矩阵,而矩阵称为的逆矩阵.命题1若矩阵是可逆的,则的逆矩阵是唯一的.若设和都是的逆矩阵,则有的逆矩阵是唯一的，对于阶矩阵如果存在一个阶矩阵的逆矩阵记为2可逆矩阵的概念矩阵如有逆，唯一么？第5页，共33页，2023年，2月20日，星期二例:

设定义1使得则矩阵称为可逆矩阵,而矩阵称为的逆矩阵.对于阶矩阵如果存在一个阶矩阵2可逆矩阵的概念第6页，共33页，2023年，2月20日，星期二第7页，共33页，2023年，2月20日，星期二||=第8页，共33页，2023年，2月20日，星期二n阶矩阵A如果为可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的.但是，如何求矩阵A的逆矩阵？第9页，共33页，2023年，2月20日，星期二3逆矩阵的求法复习:行列式按行(列)展开法则

则方阵A的行列式|A|方阵A方阵A的行列式|A|第10页，共33页，2023年，2月20日，星期二复习:行列式按行(列)展开法则

3逆矩阵的求法第11页，共33页，2023年，2月20日，星期二？3逆矩阵的求法第12页，共33页，2023年，2月20日，星期二3逆矩阵的求法第13页，共33页，2023年，2月20日，星期二定义3

由行列式|A|的各个元素的代数余子式Aij所构成的方阵称为n阶矩阵A的伴随矩阵简称伴随阵

方阵的伴随矩阵元素的排列顺序3逆矩阵的求法第14页，共33页，2023年，2月20日，星期二例2解第15页，共33页，2023年，2月20日，星期二定义2奇异矩阵与非奇异矩阵的概念

对于n阶矩阵A当|A|0时，称A是非奇异矩阵；当|A|0时，称A是奇异矩阵．定理1

n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时，有

3逆矩阵的求法证明可逆矩阵叫做非奇异矩阵，也叫做非退化矩阵。第16页，共33页，2023年，2月20日，星期二方阵的行列式的运算规律第17页，共33页，2023年，2月20日，星期二

=第18页，共33页，2023年，2月20日，星期二3逆矩阵的求法A可逆再证明B是A的逆第19页，共33页，2023年，2月20日，星期二例3定理1n阶方阵A可逆的充要条件是|A|≠0，且当A可逆时，有

第20页，共33页，2023年，2月20日，星期二例4第21页，共33页，2023年，2月20日，星期二例4注意课本例1的结构第22页，共33页，2023年，2月20日，星期二第23页，共33页，2023年，2月20日，星期二乘法一般不满足交换律，

第24页，共33页，2023年，2月20日，星期二4逆矩阵的运算性质证(3)推广：若A1,A2,…,Am

为同阶可逆矩阵

则A1

A2…Am可逆且(A1

A2…Am

)1=Am1…A21

A11.第25页，共33页，2023年，2月20日，星期二4逆矩阵的运算性质证证第26页，共33页，2023年，2月20日，星期二5矩阵方程利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵可求出其解。第27页，共33页，2023年，2月20日，星期二例5第28页，共33页，2023年，2月20日，星期二例65矩阵方程注：矩阵方程中一般要用到逆矩阵的运算，因此在求解之前要判断矩阵是否可逆.

第29页，共33页，2023年，2月20日，星期二5矩阵方程例6第30页，共33页，2023年，2月20日，星期二例7第31页，共33页，2023年，2月20日，星期二1法：定义对于n阶矩阵A

如果存在n阶矩阵B

使得ABBAE则矩阵A可逆而且A1=B

3法：推论设A

、B为同阶方阵，若ABE（或BAE）

则矩阵A可逆且A1

B

方阵可逆的判别方法