2018年陕西省咸阳市第二次模拟理数试题(解析版)

2018年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】求解指数不等式可得： ，则：.本题选择D选项.2.若复数（为虚数单位，）是纯虚数，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】令，则：，据此可得：.本题选择B选项.3.等差数列前项和为，若，是方程的两根，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由韦达定理可得：，结合等差数列的性质可得： ，则： .本题选择 D选项.4.已知两个单位向量 和夹角为 ，则向量 在向量 方向上的投影为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得： ，且： ，，则向量 在向量 方向上的投影为： .本题选择 D选项.5.有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】B【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，选出一人排在左侧，有： 种方法，另外一人排在右侧，有 种方法，余下两人排在余下的两个空，有 种方法，综上可得：不同的站法有 种.本题选择 B选项.6.双曲线 的一条渐近线与直线 平行，则它的离心率为（ ）A.

B.

C.

D.【答案】【解析】

A由双曲线的渐近线方程可得双曲线的渐近线方程为：

，其斜率为：

，其中一条渐近线与直线

平行，则：

，则双曲线的离心率：

.本题选择

A选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率 (或离心率的取值范围 )，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于

a，b，c的齐次式，结合

b2＝c2－a2转化为

a，c的齐次式，然后等式

(不等式)两边分别除以

a或

a2转化为关于

e的方程

(不等式

)，解方程

(不等式)即可得

e(e的取值范围

)．7.已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为

，则该几何体的体积为（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是一个正方体挖去一个半圆柱形成的组合体，其中正方体的棱长为 ，半圆柱的底面直径为 ，高为 ，据此可得，几何体的体积为： .本题选择 B选项.8.已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民 .若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是（ ）甲是军人，乙是工人，丙是农民甲是农民，乙是军人，丙是工人甲是农民，乙是工人，丙是军人甲是工人，乙是农民，丙是军人【答案】A【解析】丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人；乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人 .本题选择 A选项.9.执行如图所示的程序框图，输出的 值为B.D.【答案】B【解析】程序流程图执行如下：首先初始化数据： ，进入循环体执行循环：第一次循环：，不满足，执行：；第二次循环：，不满足，执行：；第三次循环：，不满足，执行：；第四次循环：，满足，此时跳出循环，输出.本题选择B选项.10.已知实数，满足，若，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为可行域内的点与点之间距离的平方，如图所示数形结合可得，当目标函数过点时取得最小值，最小值为：.本题选择C选项.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．A． B ． C ． D ．11.已知定义在

上的函数

的导函数为

，且

，

，则不等式

的解集是（ ）A.

B.

C.

D.【答案】A【解析】令由题意可知：且

，则：，则函数，

在R上单调递增，

，不等式 即 ，即： ，结合函数的单调性可得不等式的解集为：表示为区间形式即： .本题选择 A选项.

，点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的。根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。第Ⅱ卷二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置 .12.计算定积分 __________．【答案】【解析】由题意结合微积分基本定理可得：.故答案为： ．13.一只蚊子在一个正方体容器中随机飞行，当蚊子在该正方体的内切球中飞行时属于安全飞行，则这只蚊子安全飞行的概率是 __________．【答案】【解析】设正方体的棱长为 ，其体积 ，内切球直径为 ，其体积： ，利用几何概型公式结合题意可得这只蚊子安全飞行的概率是： .点睛：很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．14. 的展开式中 的系数为__________（用数字作答）．【答案】【解析】展开式的通项公式为：

，令 ，则展开项为：

，令 ，则展开项为：

，据此可得展开式中 的系数为 .15.具有公共 轴的两个直角坐标平面 和所成的二面角 轴 大小为，曲线 在平面 内射影的方程 ，则 的值是__________．

，已知在

内的曲线

的方程是【答案】【解析】【详解】结合题中所给的示意图可知：曲线 的方程是 ，由于平面

和所成的二面角

轴 大小为

，平面 内投影的方程为故在投影过程中

y值无变化，

，即

故

.故答案为：4．三、解答题：本大题共

6小题，共

70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

.16.如图，在圆内接四边形

中，

，

，

.（1）求的大小；（2）求面积的最大值.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）在

中，由余弦定理得

，则

，结合圆的内接四边形的性质可得

.（2）法

1：在 中，由余弦定理得

，结合均值不等式的结论有，则 . .当且仅当 ， 面积的最大值为.法2：由几何关系可知，当 为弧 中点时，，据此可得 面积的最大值为试题解析：（1）在 中，由余弦定理得

.

上的高最大，此时

是等腰三角形，此时

上的高，解得

，注意到

，可得

.（2）法1：在 中，由余弦定理得，即

，∵

，∴

，即

.∴

.当且仅当 ，△BCD为等腰三角形时等号成立，即 面积的最大值为 .法2：如图，当 为弧 中点时， 上的高最大，此时 是等腰三角形，易得 ，作 上的高 ，在 中，由 ， ，得 ，可得 ，综上知，即 面积的最大值为 .17.如图，在四棱锥 中，四边形 为正方形， 平面 ， ，是 上一点，且 .（1）求证： 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正弦值 .【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 ，由线面垂直的性质定理可得 ，且 ，故 平面 ， ，又，利用线面垂直的判断定理可得 平面 .（2）法1：由（1）知 平面 ，即 是直线 与平面 所成角，设 ，则， ， ，结合几何关系计算可得 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 .法2：取为原点，直线，的结论可得平面得法向量

， 分别为 ，，轴，建立坐标系 ，不妨设，而 ，据此计算可得直线 与平面

，结合(1)所成角的正弦值为.试题解析：（1）连接，由平面，平面得，又，，∴平面，得，又，，∴平面.（2）法1：由（1）知平面，即是直线与平面所成角，易证，而，不妨设，则，，，在中，由射影定理得，可得 ，所以 ，故直线 与平面 所成角的正弦值为 .法2：取 为原点，直线 ，， ， ，由（1）知平面 得法向量

， 分别为 ，，轴，建立坐标系，而 ，

，不妨设

，则∴ .故直线 与平面 所成角的正弦值为 .18.（本小题满分12分）针对国家提出的延迟退休方案，某机构进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“”、“”“支持保留和不支持”态度的人数如下表所示：支持 保留 不支持岁以下岁以上（含 岁）（1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 个人，已知从持 “不支持”态度的人中抽取了 人，求的值；（2）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取 人看成一个总体，从这 人中任意选取 人，求岁以下人数 的分布列和期望；（3）在接受调查的人中，有 人给这项活动打出的分数如下： ， ， ， ， ， ， ，， ，

，把这

个人打出的分数看作一个总体，从中任取一个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过

概率．【答案】（1） ；（2）分布列见解析， ；（3） ．【解析】试题分析：（1）由题意可知参与调查的总人数为 ，结合分层抽样的概念计算可得 .（2）由题意可知抽取的 人中， 岁以下与 岁以上人数分别为 人，人，则 ，计算相应的概率值有 ， ， ， ，据此可得分布列，计算相应的期望为 .（3）总体的平均数为 ，则与总体平均数之差的绝对值超过 的数有 ， ， ，由古典概型计算公式可得满足题意的概率值为 .试题解析：（1）参与调查的总人数为 ，其中从持“不支持”态度的人数中抽取了 人，所以 .（2）在持“不支持”态度的人中， 岁以下及 岁以上人数之比为 ，因此抽取的 人中， 岁以下与 岁以上人数分别为 人， 人， ，， ，， ，.（3）总体的平均数为 ，那么与总体平均数之差的绝对值超过 的数有 ， ， ，所以任取 个数与总体平均数之差的绝对值超过 的概率为 .19.已知 ， ，点 是动点，且直线 和直线 的斜率之积为 .（1）求动点 的轨迹方程；（2）设直线与（1）中轨迹相切于点 ，与直线 相交于点 ，判断以 为直径的圆是否过 轴上一定点？【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）设 ，则依题意得 ，利用斜率的定义计算可得轨迹方程为 .（2）法1：设直线 ： ，与椭圆方程联立有 ，由判别式等于零可得，且 ，故 ， ，计算可得 ，而，可得圆的方程为 ，讨论可得 为直径的圆过 轴上一定点 .法2：设 ，则曲线 在点处切线方程为 ，令 ，得 ，据此可得圆的方程为，讨论可得 为直径的圆过 轴上一定点 .试题解析：（1）设 ，则依题意得 ，又 ， ，所以有，整理得 ，即为所求轨迹方程 .（2）法1：设直线 ： ，与 联立得，即 ，依题意 ，即 ，∴ ，得 ，∴ ，而 ，得 ，又 ，设 为以 为直线的圆上一点，则由 ，得 ，整理得 ，由 的任意性得 且 ，解得 ，综上知，以 为直径的圆过 轴上一定点 .法2：设 ，则曲线 在点处切线 ： ，令 ，得，设 ，则由 得，即 ，由 的任意性得 且 ，解得 ，综上知，以 为直径的圆过 轴上一定点 .点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；（2）若函数 有两个零点 ， ，且 ，证明： .【答案】（1）当 时，知 在 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由函数的解析式了的 ， ，分类讨论有：当 时，知 在 上递减；当 时，在 上递减，在 上递增；（2）由（1）知，，，且，故，，原问题等价于，结合单调性转化为即可，而，，构造函数，令，，结合导函数的性质可得，即，则结论得证.试题解析：（1），，当时，，知在上是递减的；当时，，知在上是递减的，在上递增的.（2）由（1）知，，，依题意，即，由得，，，，由及得，，即，欲证，只要，注意到在上是递减的，且，只要证明即可，由得，所以， ，令 ， ，则 ，知 在 上是递增的，于是 ，即 ，综上， .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做， 则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.选修4-4：坐标系与参数方程21.在平面直角坐标系中，曲线的方程是：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设过原点的直线与曲线交于，两点，且，求直线的斜率.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直角坐标方程转化为极坐标方程可得曲线的极坐标方程为.（2）法1：由圆的弦长公式可得圆心到直线距离，由几何关系可得直线的斜率为.法2：设直线：（为参数），与圆的直角坐标方程联立，利用直线参数的几何意义可得直线的斜率为.法3：设直线：，与圆的方程联立，结合圆锥曲线的弦长公式可得直线的斜率为.法4：设直线：，结合弦长公式可得圆心到直线距离，利用点到直线距离公式解方程可得直线的斜率为 .试题解析：（1）曲线 ： ，即将 ， 代入得曲线 的极坐标方程为（2）法1：由圆的弦长公式