精选有限元法及应用总结讲义

（优选）有限元法及应用总结现在是1页\一共有83页\编辑于星期二1.有限元的作用是什么？1）减少模型试验的数量；计算机模拟允许对大量的假设情况进行快速而有效的试验。2）模拟不适合在原型上试验的设计；例如：器官移植，比如人造膝盖。3）节省费用，降低设计与制造、开发的成本；4）节省时间，缩短产品开发时间和周期；5）创造出更可靠、高品质的设计。现在是2页\一共有83页\编辑于星期二2.有限元的基本概念有限元：通俗的讲就是对一个真实的系统用有限个单元来描述。有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特性和复杂的边界条件。再加上它有成熟的大型软件系统支持，使其已成为一种非常受欢迎的、应用极广的数值计算方法。现在是3页\一共有83页\编辑于星期二有限元模型与有限元分析有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。有限元分析：是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。并利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。现在是4页\一共有83页\编辑于星期二3.有限单元法的特点有哪些？1）把连续体划分成有限个单元，把单元的交界结点（节点）作为离散点；2）不考虑微分方程，而从单元本身特点进行研究。3）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。4）具有灵活性和适用性，适应性强。（它可以把形状不同、性质不同的单元组集起来求解，故特别适用于求解由不同构件组合的结构，应用范围极为广泛。它不仅能成功地处理如应力分析中的非均匀材料、各向异性材料、非线性应力、应变以及复杂的边界条件等问题，且随着其理论基础和方法的逐步完善，还能成功地用来求解如热传导、流体力学及电磁场领域的许多问题。）5）在具体推导运算过程中，广泛采用了矩阵方法。现在是5页\一共有83页\编辑于星期二4.有限元法涉及的内容有哪些？有限元法在数学和力学领域所依据的理论；单元的划分原则；形状函数的选取及协调性；有限元法所涉及的各种数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性；计算机程序设计技术；向其他各领域的推广。现在是6页\一共有83页\编辑于星期二

5.有限元法的分类

有限元法可以分为两类，即线弹性有限元法和非线性有限元法。其中线弹性有限元法是非线性有限元法的基础，二者不但在分析方法和研究步骤上有类似之处，而且后者常常要引用前者的某些结果。现在是7页\一共有83页\编辑于星期二线弹性有限元线弹性有限元是以理想弹性体为研究对象的，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应力与应变也是线性关系，线弹性问题可归结为求解线性方程问题，所以只需要较少的计算时间。如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。现在是8页\一共有83页\编辑于星期二非线性有限元非线性问题与线弹性问题的区别：1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解；2）非线性问题不能采用叠加原理；3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。以上三方面的因素使得非线性问题的求解过程比线弹性问题更加复杂、费用更高和更具有不可预知性。现在是9页\一共有83页\编辑于星期二1）材料非线性问题有限元求解非线性问题可分为以下三类：1）材料非线性问题材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。现在是10页\一共有83页\编辑于星期二2）几何非线性问题几何非线性问题是由于位移之间存在非线性关系引起的。当物体的位移较大时，应变与位移的关系是非线性关系。研究这类问题一般都是假定材料的应力和应变呈线性关系。它包括大位移大应变及大位移小应变问题。如结构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题，橡胶部件形成过程为大应变问题。现在是11页\一共有83页\编辑于星期二3）非线性边界（接触问题）在加工、密封、撞击等问题中，接触和摩擦的作用不可忽视，接触边界属于高度非线性边界。平时遇到的一些接触问题，如齿轮传动、冲压成型、轧制成型、橡胶减振器、紧配合装配等，当一个结构与另一个结构或外部边界相接触时通常要考虑非线性边界条件。实际的非线性可能同时出现上述两种或三种非线性问题。现在是12页\一共有83页\编辑于星期二*6.有限元的基础理论包括哪几部分？1.加权余量法加权余量法：是指采用使余量的加权函数为零求得微分方程近似解的方法称为加权余量法。（WeightedresidualmethodWRM）加权余量法是求解微分方程近似解的一种有效的方法。显然，任何独立的完全函数集都可以作为权函数。按照对权函数的不同选择得到不同的加权余量计算方法，主要有：配点法、子域法、最小二乘法、力矩法和伽辽金法。其中伽辽金法的精度最高。现在是13页\一共有83页\编辑于星期二里兹方法：如果微分方程具有线性和自伴随的性质，那么它不仅可以建立它的等效积分形式，并利用加权余量法求其近似解，而且还可以建立与之相等效的变分原理，从而得到的另一种近似求解方法。自然变分原理：原问题的微分方程和边界条件的等效积分的伽辽金法等效于它的变分原理，即原问题的微分方程和边界条件等效于泛函的变分为零，亦即泛函取驻值。反之，如果泛函取驻值则等效于满足问题的微分方程和边界条件。而泛函可以通过原问题的等效积分的伽辽金法而得到，我们称这样得到的变分原理为自然变分原理。2.里兹方法现在是14页\一共有83页\编辑于星期二对于具有线性、自伴随性质的微分方程在得到与它相等效的变分原理以后，可以用来建立求近似解，这一过程即里兹方法。它的实质是从一族假定解中寻求满足泛函变分的“最好的”解。显然，近似解的精度与试探函数（形函数或试函数）的选择有关，如果知道所求解的一般性质，那么可以通过选择反映此性质的试探函数来改进近似解，提高近似解的精度。2.里兹方法（续）现在是15页\一共有83页\编辑于星期二3.虚功原理

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式虚功原理包含虚位移原理和虚应力原理，是虚位移原理和虚应力原理的总称。他们都可以认为是与某些控制方程相等效的积分“弱”形式。虚功原理：变形体中任意满足平衡的力系在任意满足协调条件的变形状态上作的虚功等于零，即体系外力的虚功与内力的虚功之和等于零。虚位移原理是平衡方程和力的边界条件的等效积分的“弱”形式；虚应力原理是几何方程和位移边界条件的等效积分“弱”形式。现在是16页\一共有83页\编辑于星期二虚位移原理的力学意义：如果力系是平衡的，则它们在虚位移和虚应变上所作的功的总和为零。反之，如果力系在虚位移（及虚应变）上所作的功的和等于零，则它们一定满足平衡方程。所以，虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分条件。一般而言，虚位移原理不仅可以适用于线弹性问题，而且可以用于非线性弹性及弹塑性等非线性问题。但是否适用所有的问题呢？3.虚功原理（续）

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式现在是17页\一共有83页\编辑于星期二虚应力原理的力学意义：如果位移是协调的，则虚应力和虚边界约束反力在他们上面所作的功的总和为零。反之，如果上述虚力系在他们上面所作的功的和为零，则它们一定是满足协调的。所以，虚应力原理表述了位移协调的必要而充分条件。虚应力原理可以应用于线弹性以及非线性弹性等不同的力学问题。但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理，他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问题。3.虚功原理（续）

——平衡方程和几何方程的等效积分“弱”形式现在是18页\一共有83页\编辑于星期二

4.最小位能原理和最小余能原理明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移使系统总位能取最小值。总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使系统的总余能取最小值。总余能是指弹性体余能和外力余能总和。现在是19页\一共有83页\编辑于星期二一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界，即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模型偏于柔软。当分别利用这两个极值原理求解同一问题时，我们将获得这个问题的上界和下界，可以较准确地估计所得近似解的误差，这对工程计算具有实际意义。4.最小位能原理和最小余能原理（续）现在是20页\一共有83页\编辑于星期二*7.单元划分原则是什么?梁、杆单元划分的原则

两个节点之间的杆构成一个单元，节点可按以下原则划分：1）杆件的交点一定要选为节点(梯子）；2）阶梯形杆截面变化处一定取为节点（阶梯轴）；3）支撑点与自由端要选为节点（悬臂梁）；4）集中载荷作用处最好选为节点；5）欲求位移的点要选为节点；6）单元长度最好基本相同。

现在是21页\一共有83页\编辑于星期二平面单元划分原则1.单元形状：常用单元形状有三角形单元、矩形单元和等参数单元。他们的特点是单元的节点数越多，其计算精度越高，三角形单元与等参数单元可适应任意边界。

2.划分原则：1）划分单元的个数，视计算机要求的精度和计算机容量而定，单元分得越多，块越小其精度越高，但需要的计算机容量越大，因此，须根据实际情况而定。

2）划分单元的大小，可根据部位不同有所不同，在位移或应力变化大的部位取得单元要小；在位移或应力变化小的部位取得单元要大，在边界比较平滑的部位，单元可大。

现在是22页\一共有83页\编辑于星期二3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响求解精度。5）尽量把集中力或集中力偶的作用点选为节点。6）尽量利用对称性，以减少计算量（有限元法的最大优点在于使用了矩阵的方法）。平面单元划分原则（续）现在是23页\一共有83页\编辑于星期二*8.有限元法分析过程有限元法分析过程大体可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。对实际的连续体经过离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元的前处理过程。在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，要生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。现在是24页\一共有83页\编辑于星期二有限元分析过程主要包括：单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。有限元法包括三类：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。在有限元位移法中，选节点位移作为基本未知量；在有限元力法中，选节点力作为未知量；在有限元混合法中，选一部分基本未知量为节点位移，另一部分基本未知量为节点力。*8.有限元法分析过程（续）现在是25页\一共有83页\编辑于星期二有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是有限元位移法。有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。*8.有限元法分析过程（续）现在是26页\一共有83页\编辑于星期二9.有限元法的收敛性概念与收敛条件有限元法是一种数值分析方法，因此应考虑收敛性问题。有限元法的收敛性是指：当网格逐渐加密时，有限元解答的序列收敛到精确解；或者当单元尺寸固定时，每个单元的自由度数越多，有限元的解答就越趋近于精确解。现在是27页\一共有83页\编辑于星期二有限元的收敛条件包括如下四个方面：1）单元内，位移函数必须连续。多项式是单值连续函数，因此选择多项式作为位移函数，在单元内的连续性能够保证。2）在单元内，位移函数必须包括常应变项。每个单元的应变状态总可以分解为不依赖于单元内各点位置的常应变和由各点位置决定的变量应变。当单元的尺寸足够小时，单元中各点的应变趋于相等，单元的变形比较均匀，因而常应变就成为应变的主要部分。为反映单元的应变状态，单元位移函数必须包括常应变项。9.有限元法的收敛性概念与收敛条件（续）现在是28页\一共有83页\编辑于星期二3）在单元内，位移函数必须包括刚体位移项。一般情况下，单元内任一点的位移包括形变位移和刚体位移两部分。形变位移与物体形状及体积的改变相联系，因而产生应变；刚体位移只改变物体位置，不改变物体的形状和体积，即刚体位移是不产生变形的位移。空间一个物体包括三个平动位移和三个转动位移，共有六个刚体位移分量。由于一个单元牵连在另一些单元上，其他单元发生变形时必将带动单元做刚体位移，由此可见，为模拟一个单元的真实位移，假定的单元位移函数必须包括刚体位移项。9.有限元法的收敛性概念与收敛条件（续）现在是29页\一共有83页\编辑于星期二4）位移函数在相邻单元的公共边界上必须协调。对一般单元而言，协调性是指相邻单元在公共节点处有相同的位移，而且沿单元边界也有相同的位移，也就是说，要保证不发生单元的相互脱离开裂和相互侵入重叠。要做到这一点，就要求函数在公共边界上能由公共节点的函数值唯一确定。对一般单元，协调性保证了相邻单元边界位移的连续性。但是，在板壳的相邻单元之间，还要求位移的一阶导数连续，只有这样，才能保证结构的应变能是有界量。9.有限元法的收敛性概念与收敛条件（续）现在是30页\一共有83页\编辑于星期二总的说来，协调性是指在相邻单元的公共边界上满足连续性条件。前三条又叫完备性条件，满足完备条件的单元叫完备单元；第四条是协调性要求，满足协调性的单元叫协调单元；否则称为非协调单元。完备性要求是收敛的必要条件，四条全部满足，构成收敛的充分必要条件。在实际应用中，要使选择的位移函数全部满足完备性和协调性要求是比较困难的，在某些情况下可以放松对协调性的要求。9.有限元法的收敛性概念与收敛条件（续）现在是31页\一共有83页\编辑于星期二需要指出的是，有时非协调单元比与它对应的协调单元还要好，其原因在于近似解的性质。假定位移函数就相当于给单元施加了约束条件，使单元变形服从所加约束，这样的替代结构比真实结构更刚一些。但是，这种近似结构由于允许单元分离、重叠，使单元的刚度变软了，或者形成了（例如板单元在单元之间的绕度连续，而转角不连续时，刚节点变为铰接点）对于非协调单元，上述两种影响有误差相消的可能，因此利用非协调单元有时也会得到很好的结果。在工程实践中，非协调元必须通过“小片试验后”才能使用。9.有限元法的收敛性概念与收敛条件（续）现在是32页\一共有83页\编辑于星期二10.应力的单元平均或节点平均处理方法?最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕节点各单元应力的平均值。1.取相邻单元应力的平均值这种方法最常用于3节点三角形单元中。这种最简单而又相当实用的单元得到的应力解在单元内是常数。可以将其看作是单元内应力的平均值，或是单元形心处的应力。由于应力近似解总是在精确解上下振荡，可以取相邻单元应力的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。现在是33页\一共有83页\编辑于星期二如2单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均，即平均应力=（单元1的应力+单元2的应力）/2。也可以采用精确一些的面积加权平均，即平均应力=[单元1应力×单元1的面积+单元2应力×单元2面积]/（单元1面积+单元2面积）当相邻两单元面积相差不大时，两者的结果基本相同。在单元划分时应避免相邻两单元的面积相差太多，从而使求解的误差相近。10.应力的单元平均或节点平均处理方法?（续）现在是34页\一共有83页\编辑于星期二一般而言，3节点三角形单元的最佳应力点是单元的中心点，此点的应力具有1阶的精度。2.取围绕节点各单元应力的平均值首先计算围绕该节点（i）周围的相关单元在该节点出的应力值，然后以他们的平均值作为该节点的最后应力值，即其中，1~m是围绕在i节点周围的全部单元。取平均值时也可进行面积加权。10.应力的单元平均或节点平均处理方法?（续）现在是35页\一共有83页\编辑于星期二*11.有限元法求解问题的基本步骤1.结构离散化对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；

2.求出各单元的刚度矩阵

是由单元节点位移量求单元节点力向量的转

移矩阵，其关系式为现在是36页\一共有83页\编辑于星期二3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为，此即为总体平衡方程。

现在是37页\一共有83页\编辑于星期二4.引入支撑条件，求出各节点的位移节点的支撑条件有两种：一种是节点n沿某个方向的位移为零，另一种是节点n沿某个方向的位移为一给定值。5.求出各单元内的应力和应变。

现在是38页\一共有83页\编辑于星期二12.单元刚度矩阵的特性

单元刚度矩阵无论在局部坐标系中还是在整体坐标系中都具有相同的三个特性：1）

对称性由材料力学中的位移互等定理可知，对一个构件，作用在点j的力引起点i的绕度等于有同样大小而作用于点i的力引起的点j的绕度，即，表明单元刚度矩阵是一个对称矩阵。

现在是39页\一共有83页\编辑于星期二2）

奇异性无逆阵的矩阵就叫做奇异矩阵，其行列式的值为0，即，这一点可以从例题直接得到验证。其物理意义是引入支撑条件之前，单元可平移。

12.单元刚度矩阵的特性（续）

现在是40页\一共有83页\编辑于星期二3）

分块性有前面所讲的内容可以看出，矩阵可以用虚线分成四块，因此可写成如下的分块形式，式中——局部坐标系中单元(e)按局部码标记的节点m、n之间的刚度子矩阵。

12.单元刚度矩阵的特性（续）

现在是41页\一共有83页\编辑于星期二**13.求图中所示刚架中各单元在整体坐标系中的单元刚度矩阵(1)。

设两杆的长度与截面尺寸彼此相等。（空心杆）其中，L=200cm,D=5cm,d=4cm,E=2×107N/cm2。

现在是42页\一共有83页\编辑于星期二**13：求图所示结构的节点位移向量。

已知节点1处承受外载，其余条件同前例。

现在是43页\一共有83页\编辑于星期二*14.刚架结构中非节点载荷的处理的方法

在刚架结构以及其他较复杂的结构上，他们所受的载荷可以直接作用在节点上，又可以不直接作用在节点上而作用于单元节点间的其他位置上。后一种情况下的载荷称为非节点载荷。有限元分析时，总体刚度方程中所用到的力向量是节点力向量。因此在进行整体分析前应当进行载荷的移植，将作用于单元上的力移植到节点上。移植时按静力等效的原则进行。

现在是44页\一共有83页\编辑于星期二处理非节点载荷一般可直接在整体坐标系内进行，其过程为：1）将各杆单元看成一根两端固定的梁，分别求出两个固定端的约束反力。其结果可直接利用材料力学的公式求得；2）将各固定端的约束反力变号，按节点进行集成，获得各节点的等效载荷

*14.刚架结构中非节点载荷的处理的方法（续）

现在是45页\一共有83页\编辑于星期二**15.总体刚度矩阵的集成法

使用刚度矩阵获得的方法获得总体刚度矩阵。在此将其扩展到由整体坐标系中的单元刚度矩阵的子矩阵集成总体刚度矩阵。步骤如下：1）对一个有n个节点的结构，将总体刚度矩阵[K]划分为n×n各子区间，然后按节点总码的顺序进行编号；

现在是46页\一共有83页\编辑于星期二2）将整体坐标系中单元刚度矩阵的各子矩阵根据其下标的两个总码对号入座，写在总体刚度矩阵相应的子区间；3）同一子区间内的子矩阵相加，成为总体刚度矩阵中的相应的子矩阵。

**15.总体刚度矩阵的集成法（续）

现在是47页\一共有83页\编辑于星期二16.总体刚度矩阵的特性

1）对称性：因为由此特性，在计算机中只需存储其上三角部分；2）奇异性：物理意义仍为在无约束的情况下，整个结构可做刚体运动；3）稀疏性：[K]中有许多零子矩阵，而且在非零子矩阵中还有大量的零元素，这种矩阵称为稀疏矩阵。大型结构的总体刚度矩阵一般都是稀疏矩阵；4）分块性：这个性质已经利用过，在此不再叙述。了解刚度矩阵的这些特性非常有用，它可以大大减少计算机的内存和计算工作量。

现在是48页\一共有83页\编辑于星期二**17.平面问题离散化时的规定1）单元之间只在节点处相连；2）所有的节点都为铰接点；3）单元之间的力通过节点传递；4）外载荷都要移植到节点上；5）在节点位移或某一分量可以不计之处，就必须在该节点安置一个铰支座或相应的连杆支座。通过以上的规定来建立平面有限元分析模型。现在是49页\一共有83页\编辑于星期二**18.平面离散化的一些定性的规律1）结构对称性的利用2）对称结构的网格布局3）划分网格要兼顾精度和经济性4）不连续出的自然分割5）几何形状的近似与过渡圆角的处理6）单元形态的选择7）边界条件的确定8）单元和节点编号现在是50页\一共有83页\编辑于星期二19.结构对称性的利用规律一般来说，作用在对称结构上的载荷系统分为对称的、反对称的和一般的三种情况。1.结构对称，载荷对称或反对称这种情况下，对称面上的边界条件可按一下规则确定：A.在不同的对称面上，将位移分量区分为对称分量和反对称分量；B.将载荷也按不同的对称面分别区分为对称分量和反对称分量；C.对于同一个对称面，如载荷是对称的，则对称面上位移的反对称分量为零，如载荷是反对称的，则对称面上位移的对称分量为零。现在是51页\一共有83页\编辑于星期二结构对称，载荷一般的情况如果所分析的结构对称，但载荷是不对称的，也不是反对称的，这时可以将这种结构系统简化成载荷为对称和/或反对称情况的组合，仍可以简化分析过程，提高分析的综合效率。如图a所示，结构对称，载荷一般，可将其载荷分解为图b和图c的组合。图b为对称结构，载荷对x、y轴均为对称，图c为结构对称，载荷对x轴反对称、对y轴对称，此时可取相同的四分之一进行研究，分别施加对称面上节点的边界条件，进行两次分析计算，并将计算结果迭加起来，即可得到原结构四分之一的解答，进而得出整个结构的解答。现在是52页\一共有83页\编辑于星期二对称性利用中的特殊问题利用结构的对称性取某一部分建立有限元模型时，往往会产生约束不足现象。例如，若取上例中图c的四分之一建立有限元时，根据上述分析，在两对称面上应加水平放置的滚动铰支座，因此模型在垂直方向存在刚体位移。对这种约束不足问题，利用有限元分析时，必须增加附加约束，以消除模型的刚体位移。在本例中，垂直方向可以用刚度很小的杆单元或边界弹簧单元连接到模型某节点上，使得既消除了模型的刚体位移，又不致于因附加的杆单元或边界弹簧单元刚度太大而影响结构原有的变形状态。现在是53页\一共有83页\编辑于星期二20.单元形态的选择原则单元形态包括单元形状、边中节点的位置、细长比等，在结构离散化过程中必须合理选择。一般来说，为了保证有限元分析的精度，必须是单元的形态尽可能的规则。对于三角形单元，三条边长尽量接近，不应出现大的钝角、大的边长。这是因为根据误差分析，应力和位移的误差都和单元的最小内角的正弦成反比。因而，等边三角形单元的形态最好，它与等腰直角三角形单元的误差之比为sin45°:sin60°=1:1.23。但是为了适应弹性体边界，以及单元由小到大逐渐过渡，不可能是所有的三角形单元都接近等边三角形。实际上，常常使用等腰直角三角形。现在是54页\一共有83页\编辑于星期二对于矩形单元来说，细长比不宜过大。细长比是指单元最大尺寸和最小尺寸之比。最优细长比在很大程度上取决于不同方向上位移梯度的差别。梯度较大的方向，单元尺寸要小些，梯度小的方向，单元尺寸可以大一些；如果各方向上位移梯度大致相同，则细长比越接近1，精度越高。有文献推荐，一般情况下，为了得到较好的位移结果，细长比不应超过7；为了获得较好的应力结果，细长比不应超过3。一般情况下，正方形单元的形态最好。对于一般的四边形单元应避免过大的边长比，过大的边长比会导致病态的方程组。20.单元形态的选择原则（续）现在是55页\一共有83页\编辑于星期二*21.边界条件的确定确定边界条件是建立有限元模型的重要一环，合理确定有限元模型的边界条件是成功地进行结构有限元分析的基本要求。一般情况下，建模对象的边界条件是明确的。根据力学模型的边界条件可以很容易确定其有限元模型的边界条件。例如电线杆插入地基的一端为固定端，桥梁一端为固定铰支座，另一端为滚动较支座。但是，在机械工程中，建模对象往往是整个结构中的一部分，在建立有限元模型，确定其边界条件时，必须考虑其余部分的影响。这方面主要考虑如下两类问题。现在是56页\一共有83页\编辑于星期二1.边界位置的确定在建立连续弹性体局部区域的有限元模型时，往往取该局部区域为隔离体，取其隔离边界条件为零位移约束，并通过试探校正确定零位移边界条件的位置。例如，进行齿轮齿有限元分析时，取一个轮齿的局部区域为隔离体，如图所示，设定PQRS的边界条件为零位移约束，通过改变边界深度PQ和边界宽度PS研究边界位置对齿根最大拉应力的影响，最后确定合理的边界条件。现在是57页\一共有83页\编辑于星期二2.边界条件的确定有些分析对象的边界位置是零部件的连接部位。在建立有限元模型时，必须研究如何给定边界位置上的边界条件，以反映相连接结构的影响。确定这种问题的边界条件是用简单支撑连杆替代相连接结构的作用，使替代后结构的系统刚度等价于原结构的系统刚度。如分析机床主轴和传动轴时，可以利用等刚度的杆单元替代轴承和支座的作用，使轴的分析中包含有轴承和支座的影响。现在是58页\一共有83页\编辑于星期二**22.单元和节点编号规则当利用整体刚度矩阵的带状特征进行存贮和求解方程组时，单元节点编号直接影响系统整体刚度矩阵的半带宽，也就是影响在计算机中存贮信息的多少、计算时间和计算费用。因而，要求合理的节点编号使带宽极小化。半带宽的计算公式：半带宽d=（单元节点号的最大差值+1）×节点自由度由此，进行网格节点编号时应使网格中单元节点号的最大差值最小，这样才能保证半带宽最小。试比较下图。现在是59页\一共有83页\编辑于星期二图所示网格的四种编号方案中，单元节点标号的最大差值分别为5，3，5，9。显然，图2方案要合理。由此得出结论：沿着短边方向按列-列-列-列地顺序编号比沿着长度方向按行-行-行-行地顺序要合理（半带宽小）**22.单元和节点编号规则（续）现在是60页\一共有83页\编辑于星期二然而，对于具有中间节点的单元或空间问题，须借助于带宽极小化的优化程序来对节点重新编号，先进的有限元程序包一般都配备有这样的程序。对单元的编号只影响整体刚度矩阵的装配时间。由于这一时间在有限元运算时间中只占很小的比例，因而对于单元的编号并无特殊的要求。**22.单元和节点编号规则（续）现在是61页\一共有83页\编辑于星期二**23.掌握分析三角形单元的位移模式求解方法

如图所示，在局部坐标系中，三角形平面单元的三个节点分别为1、2、3，其编号按逆时针方向进行，节点坐标分别为

现在是62页\一共有83页\编辑于星期二24.求解平面问题中局部坐标系中的单元刚度矩阵

将几何方程和弹性方程代入虚功方程经整理后得：局部坐标系中

式中—单元刚度矩阵

其中t——三角形单元平板的厚度，—三角形单元的面积

现在是63页\一共有83页\编辑于星期二25.平面问题中非节点载荷转换为等效节点载荷

由于三角形单元复杂的力学性质，不能像分析刚架时那样简单地利用材料力学公式来求解，而要用虚功方程将加在结构上的非节点载荷转换为等效节点载荷。掌握以下两种常见的非节点载荷的移植结果。

现在是64页\一共有83页\编辑于星期二

设Q平行于x方向，如图4-14所示，则等效节点载荷为若Q平行于y方向，结果与此相仿。

1）作用在单元一条侧边上的集中力现在是65页\一共有83页\编辑于星期二1）作用在单元一条侧边上的集中力现在是66页\一共有83页\编辑于星期二2）作用在单元一条侧边上呈三角形分布的载荷

设载荷平行于x方向，如图4-15所示，则等效节点载荷为

若分布载荷为集度是q的均布载荷，则

其余分量为零。

现在是67页\一共有83页\编辑于星期二2）作用在单元一条侧边上呈三角形分布的载荷

现在是68页\一共有83页\编辑于星期二**26.例：求例4-7图所示结构节点的位移量。已知现在是69页\一共有83页\编辑于星期二ANSYS软件基本知识1.ANSYS图形用户界面（GUI）有哪几部分组成？2.比较对话框中的:“OK”与“Apply”的区别；3.熟悉单元类型的含义；4.ANSYS文件及工作文件名的含义.5.应用ANSYS软件计算,如图所示的平面桁架，长度单位为m，求支座反力和各杆内力。设弹性模量为2e+11，泊松比0.3，杆件截面面积为0.01m2.6.给定一个简单的物理现象，能够使用ANSYS创建一个2D的有限元模型.7.熟练运用将几何模型划分网格后,进行加载与求解及结果的后处理

.现在是70页\一共有83页\编辑于星期二有关软件的几个问题的处理1.载荷与载荷分类ANSYS中的载荷可分为:自由度DOF-定义节点的自由度（DOF）值(结构分析_位移、热分析_

温度、电磁分析_磁势等)集中载荷

-点载荷(结构分析_力、热分析_

热导率、电磁分析_magneticcurrentsegments)面载荷

-作用在表面的分布载荷(结构分析_压力、热分析_热对流、电磁分析_magneticMaxwellsurfaces等)体积载荷

-作用在体积或场域内(热分析_

体积膨胀、内生成热、电磁分析_

magneticcurrentdensity等)惯性载荷

-结构质量或惯性引起的载荷(重力、角速度等)现在是71页\一共有83页\编辑于星期二2.添加载荷应遵循的原则简化假定越少越好。使施加的载荷与结构的实际承载状态保持吻合；如果没法做得更好，只要其它位置结果正确也是可以认为是正确的，但是你必须忽略“不合理”边界的附近一定区域内的应力。加载时，必须十分清楚各个载荷的施加对象及定义载荷。除了对称边界外，实际上不存在真正的刚性边界。不要忘记泊松效应；添加刚体运动约束,但不能添加过多的（其它）约束。实际上，集中载荷是不存在的；

轴对称模型具有一些独一无二的边界特性。现在是72页\一共有83页\编辑于星期二3.求解时模型是否准备就绪?在求解初始化前，应进行分析数据检查，包括下面内容:1.统一的单位;2.单元类型和选项;3.材料性质参数:考虑惯性时应输入材料密度;热应力分析时应输入材料的热膨胀系数;4.实常数(单元特性);5.单元实常数和材料类型的设置;6.实体模型的质量特性(Preprocessor>Operate>CalcGeomItems);7.模型中不应存在的缝隙;8.壳单元的法向;9.节点坐标系;10.集中、体积载荷面力方向;11.温度场的分布和范围;12.热膨胀分析的参考温度。现在是73页\一共有83页\编辑于星期二在求解过程中，应将OUTPUT窗口提到最前面。ANSYS求解过程中的一系列信息都将显示在此窗口中，主要信息包括:模型的质量特性-模型质量是精确的-质心和质量矩的值有一定误差。单元矩阵系数-当单元矩阵系数最大/最小值的比率>1.0E8时将预示模型中的材料性质、实常数或几何模型可能存在问题。当比值过高时，求解可能中途退出。模型尺寸和求解统计信息。汇总文件和大小。有必要注意：现在是74页\一共有83页\编辑于星期二

往往是求解输入的模型不完整或存在错误，典型原因有:约束不够!(通常出现的问题)。当模型中有非线性单元(如缝隙gaps、滑块sliders、铰hinges、索cables等），整体或部分结构出现崩溃或“松脱”。材料性质参数有负值,如密度或瞬态热分析时的比热值。未约束铰接结构，如两个水平运动的梁单元在竖直方向没有约束。屈曲-当应力刚化效应为负（压）时，在载荷作用下整个结构刚度弱