第三讲抽样误差与区间估计

第三讲抽样误差与区间估计第1页，共28页，2023年，2月20日，星期一第一节均数的抽样误差与标准误抽样误差(samplingerror

)：由个体变异产生的、抽样造成的样本统计量与样本统计量之间、样本统计量与总体参数的差异。

无倾向性、不可避免第2页，共28页，2023年，2月20日，星期一100份样本的均数和标准差第3页，共28页，2023年，2月20日，星期一

将这100份样本的均数看成新变量值，按第二章的频数分布方法，得到这100个样本均数得直方图见图3-1。图3-1随机抽样所得100个样本均数的分布第4页，共28页，2023年，2月20日，星期一

100个样本均数的抽样分布特点：①μ=4.83≠

②100个样本均数中，各样本均数间存在差异，但各样本均数在总体均数周围波动。③样本均数的分布曲线为中间高，两边低，左右对称，近似服从正态分布。

④样本均数的标准差明显变小：第5页，共28页，2023年，2月20日，星期一即样本均数的标准差，可用于衡量抽样误差的大小。因通常σ未知，计算标准误采用下式：标准误(standarderror,SE)

通过增加样本含量n来降低抽样误差。第6页，共28页，2023年，2月20日，星期一3个抽样实验结果图示第7页，共28页，2023年，2月20日，星期一抽样实验小结均数的均数围绕总体均数上下波动。

均数的标准差即标准误与总体标准差相差一个常数的倍数，即

从正态总体N(m,s2)中抽取样本，获得均数的分布仍近似呈正态分布N(m,s2/n)

。第8页，共28页，2023年，2月20日，星期一标准差与标准误的区别与联系1、概念不同：标准差是描述样本中个体值的变异程度的指标，其值越小，表示变量值围绕均数的波动越小；标准误是描述样本均数间变异度的指标，其值越小，表示样本均数围绕总体均数波动越小。2、用途不同：标准差用于表示变量值对均数波动的大小，当资料呈正态分布时，与均数结合可估计正常值范围，计算变异系数等；标准误用于表示样本统计量（样本均数、样本率）对总体参数（总体均数、总体率）的波动情况，可估计参数的可信区间，进行假设检验。第9页，共28页，2023年，2月20日，星期一3、与样本例数关系不同：样本量足够大时，标准差趋向稳定，标准误随例数增加而减小，甚至趋近于0，若样本量趋向总例数，则标准误接近0；4、二者联系：均为变异指标，若把总体中各样本均数看作一个变量，则标准误可称为样本均数的标准差，当样本量不变时，均数的标准误与标准差成正比。二者均可与均数结合运用，但描述的内容各不相同。第10页，共28页，2023年，2月20日，星期一第二节

t分布(t-distribution)随机变量XN（m，s2）标准正态分布N（0，12）Z变换均数标准正态分布N（0，12）Studentt分布自由度：n-1第11页，共28页，2023年，2月20日，星期一t分布的特征

①以0为中心，左右对称的单峰分布；②t分布曲线是一簇曲线，其形态变化与自由度的大小有关。自由度越小，则t值越分散，曲线越低平；自由度逐渐增大时，t分布逐渐逼近Z分布(标准正态分布)；当趋于∞时，t分布趋近Z分布，Z分布是t分布的特例。第12页，共28页，2023年，2月20日，星期一图4-2不同自由度下的t分布图第13页，共28页，2023年，2月20日，星期一t界值表1.8122.228-2.228tf(t)ν=10的t分布图t0.05/2,10=t0.025,10=2.228第14页，共28页，2023年，2月20日，星期一t界值表中的变化规律

相同自由度时，∣t∣值越大，概率P越小；在相同∣t∣值时，同一自由度的双侧概率是单侧概率的两倍，t0.05/2,10=t0.025,10

。第15页，共28页，2023年，2月20日，星期一参数估计：用样本指标值（统计量）推断总体指标值（参数）。包括点估计和区间估计第三节总体均数的可信区间估计第16页，共28页，2023年，2月20日，星期一

总体均数的点估计（pointestimation）与区间估计（intervalestimation）参数的估计点估计：由样本统计量直接估计总体参数区间估计：在一定可信度（Confidencelevel）下，同时考虑抽样误差按预先给定的概率(1)，确定一个包含未知总体参数的范围。这一范围称为参数的可信区间或置信区间(confidenceinterval,CI)第17页，共28页，2023年，2月20日，星期一

(1)称为可信度或置信度（confidencelevel），常取95％。置信区间通常两个数值即置信限(confidencelimit，CL)构成，较小的称为置信下限（lowerlimit，L），较大的称为置信上限（upperlimit，U），一、置信区间的有关概念第18页，共28页，2023年，2月20日，星期一二、总体均数置信区间的计算s未知，且n较小，按t分布s已知，或s未知但n足够大，按Z分布第19页，共28页，2023年，2月20日，星期一中心极限定理设从均值为μ，方差为的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大（通常n≥50），样本均值的抽样分布服从均数为μ，方差为/n

的正态分布。第20页，共28页，2023年，2月20日，星期一单一总体均数的置信区间第21页，共28页，2023年，2月20日，星期一例3-2已知某地27名健康成年男子血红蛋白含量=125g/L，S=15g/L，试估计该地健康成年男子血红蛋白平均含量的95%和99%置信区间。

n=27，ν=27-1=26，查t界表,α=0.05，t0.05/2,26=2.056，α=0.01，t0.01/2,26=2.779，按公式计算第22页，共28页，2023年，2月20日，星期一Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645总体均数μ的单侧（1-α）置信区间为：μ>-Zαμ

<+Zα第23页，共28页，2023年，2月20日，星期一第24页，共28页，2023年，2月20日，星期一Z0.05/2=1.96Z0.05=1.645总体均数μ的单侧（1-α）置信区间为：μ>-Zασμ<+Zασ第25页，共28页，2023年，2月20日，星期一三、置信区间的确切含义如果能够进行重复抽样试验，平均有（1-α）的可信区间包含了总体参数，而不是总体参数落在该范围的可能性为（1-α）。在实际工作中，只能根据一次试验结果计算一个可信区间，就认为该区间包括了相应的总体参数，该结论错误的概率为α。可信区间一旦形成，它要么包含总体参数，要么不包含总体参数，二者必居其一，无概率可言，可信度是事前规定的。第26页，共28页，2023年，2月20日，星期一四、可信区间估计的优劣

一是可信度1（准确度），