第五讲命题逻辑上

第五讲命题逻辑上第1页，共42页，2023年，2月20日，星期一第一节基本的有效推理式问题：下列推理是否有效？（1）如果张珊是中国公民并且她有选举权，那么她年满18岁。（2）张珊是中国公民，但是她还没满18岁。所以，张珊没有选举权。一个推理的有效性是有其形式决定的(p∧q)→rp∧r∴q第2页，共42页，2023年，2月20日，星期一（1）如果这种商品价格低廉并且品质优良，那么它就能够畅销。（2）该商品确实价格低廉，但是它不畅销。所以，这种商品品质不优良。(p∧q)→rp∧r∴q第3页，共42页，2023年，2月20日，星期一内容各异的种种具体推理则只是推理形式的代换实例，简称为例示。一个具体推理是某个推理形式的代换例示，那么代换必须是处处进行。所谓代换处处进行是指，用一个具体命题对一个变元进行代换，对该变元的每一处出现都必须用这同一个命题来代换。

第4页，共42页，2023年，2月20日，星期一什么是一个有效的推理？如果前提真时结论必然是真的，我们就称前提和结论之间有必然的逻辑联系。前提和结论之间具有必然逻辑联系的推理就是有效推理。

第5页，共42页，2023年，2月20日，星期一什么是无效推理？如果前提和结论之间不具有必然的逻辑联系，那么前提真时结论是否为真不能确定，即不能由前提的真有效地推导出结论真，这样的推理就是无效推理。第6页，共42页，2023年，2月20日，星期一有效推理的定义

设命题序列Γ=〈p1，p2，…，pn，q〉是一个推理形式，其中p1，p2，…，pn是前提，q是结论。Γ是一个有效的推理式，当且仅当，Γ的每一代换实例都使得：如果p1，p2，…，pn真那么q真。Γ是无效推理式，如果至少有一个Γ的代换实例使得：p1，p2，…，pn真但q假。第7页，共42页，2023年，2月20日，星期一如何判定一个推理是无（有）效式？(p∧q)→rp∧q∴r（1）如果李司是中国公民并且他有选举选，那么他年满18岁。（2）李司是中国公民，但是他没有选举权。所以，李司还没满18岁。第8页，共42页，2023年，2月20日，星期一2．2基本的有效推理式1简化式（简记为∧-）p∧q∴p组合式（简记为∧+）

pq∴p∧q第9页，共42页，2023年，2月20日，星期一“菊花可以观赏。菊花可以入药。所以，菊花既可观赏又可入药。”“当事人订立的合同既有书面形式又有口头形式。所以，当事人订立的合同有书面形式。”第10页，共42页，2023年，2月20日，星期一2选言三段论（简记∨-）

p∨qp

∴q附加式（简记∨+）

p

∴p∨q第11页，共42页，2023年，2月20日，星期一（1）拍卖的物品是委托人所有的或者是委托人依法可以处分的。（2）该拍卖物品不是委托人所有的。所以，该拍卖物品是委托人依法可以处分的。”第12页，共42页，2023年，2月20日，星期一3分离式（简记MP）

p→qp∴q（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪动机。（2）王武是犯罪嫌疑人。所以，王武有犯罪动机。第13页，共42页，2023年，2月20日，星期一逆分离式（简记MT）

p→q

q∴p（1）如果天在下雨，那么地是湿的。（2）外面的地不是湿的。所以，天没有下雨。第14页，共42页，2023年，2月20日，星期一假言三段论（简记HS）

p→qq→r∴p→r（1）如果这种商品定价过高，那么将使企业丧失部分销售市场。（2）如果企业丧失了这部分销售市场，那么企业销售额将受到严重影响。所以，如果这种商品定价过高，那么企业销售额将受到严重影响。第15页，共42页，2023年，2月20日，星期一如下推理式是无效的：

p→q

p

∴qp→qq∴p第16页，共42页，2023年，2月20日，星期一4.二难推理（简记CD）

(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第17页，共42页，2023年，2月20日，星期一二难推理的破坏式：

(p→q)∧(r→s)

q∨s∴p∨r第18页，共42页，2023年，2月20日，星期一“半费之讼”说明，要推出正确的结论，首先要求推理形式是有效的，形式无效的推理其结论一定不正确。但是，形式有效的推理结论是否正确还有赖于前提，如果前提象关于学费的契约那样是有问题的，结论也不一定正确。

第19页，共42页，2023年，2月20日，星期一总结:我们讨论了八个基本的有效推理式。显然，构成推理式的基本命题公式的逻辑特征决定了这八个推理式的有效性。

第20页，共42页，2023年，2月20日，星期一第二节推理有效性的形式证明

2．1推理有效性与命题演算逻辑研究的目的是判定一个推理是否有效及分析其根据，有了以上八个基本的有效推理式之后，我们就能判定一个由复合命题构成的推理是否有效了。第21页，共42页，2023年，2月20日，星期一对于简单的由复合命题推理，我们可以直接根据这些基本有效式来判定推理是否有效。（1）如果是犯罪嫌疑人，那么必有犯罪动机。（2）王武有犯罪动机。所以，王武是犯罪嫌疑人。第22页，共42页，2023年，2月20日，星期一（1）如果商品短缺日益严重，那么物价会上涨。（2）如果存在生产过剩，那么物价不会上涨。（3）如果存在通货膨胀威胁，那么财政控制将继续。（4）如果政府改组，那么财政控制将取消。（5）或者存在生产过剩，或者政府改组。因此，商品短缺不会日益严重，或者不再存在通货膨胀威胁。第23页，共42页，2023年，2月20日，星期一建立命题演算系统有两种方法，一是公理化方法，一是自然演绎方法。公理化的命题演算系统是在形式语言基础上增添公理和变形规则建构起来的。公理是推演的出发点，由公理根据推理规则推演出的是定理。在公理化系统中，所有定理的可靠性依赖于公理是否成立和推理规则是否可靠。

第24页，共42页，2023年，2月20日，星期一自然演绎系统与公理系统有何不同？自然演绎系统没有公理，只有一系列推理规则。它引入特定前提为假设，根据推理规则推演出结论而建构起来的演算系统。由于这个系统描述的推演关系比较直接而自然地反映了人们的思维过程，因而被称作自然演绎系统。在自然演绎系统中，所有定理的可靠性则只依赖于推理规则是否可靠。

第25页，共42页，2023年，2月20日，星期一2．2有效推理的形式证明

在命题演算系统中对推理有效性的证明称作形式证明。形式证明的定义一个形式证明是一个命题公式序列A1，A2，…，An。其中的任一Ai（1≤i≤n）或者是前提，或者是由前面的公式根据推理规则得到的。序列的最后一个公式An恰好是结论。第26页，共42页，2023年，2月20日，星期一自然演绎系统形式证明是建立在推理规则基础之上的。这些规则大约可分为四部分：一、基本推导规则，二、等值替换规则，三、条件证明规则，四、间接证明规则。

第27页，共42页，2023年，2月20日，星期一一、基本推导规则1组合规则（∧+）

pq∴p∧q2简化规则（∧-）

p∧q∴p第28页，共42页，2023年，2月20日，星期一3否定消去规则（∨-）

p∨qp∴q4附加规则（∨+）

p∴p∨q第29页，共42页，2023年，2月20日，星期一5分离规则（MP）

p→qp∴q

6逆分离规则（MT）

p→qq∴p第30页，共42页，2023年，2月20日，星期一7假言三段论（HS）

p→qq→r∴p→r8二难推理（CD）(p→q)∧(r→s)p∨r∴q∨s第31页，共42页，2023年，2月20日，星期一如何运用规则建立形式证明？（1）如果商品短缺日益严重，那么物价会上涨。（2）如果存在生产过剩，那么物价不会上涨。（3）如果存在通货膨胀威胁，那么财政控制将继续。（4）如果政府改组，那么财政控制将取消。（5）或者存在生产过剩，或者政府改组。因此，商品短缺不会日益严重，或者不再存在通货膨胀威胁。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D⑥（C→B）∧（F→E）

②④∧+⑦B∨E⑥⑤CD⑧（A→B）∧（D→E）

①③∧+⑨A∨D⑦⑧CD第32页，共42页，2023年，2月20日，星期一首先将该推理形式化，在此基础上建立该推理有效性的形式证明。①A→BP②C→BP③D→EP④F→EP⑤C∨FP/∴A∨D第33页，共42页，2023年，2月20日，星期一2．3等值替换规则为什么要引入等值替换规则？例如：（A∨B）→C\∴A→C第34页，共42页，2023年，2月20日，星期一

等值替换规则9、交换律（COM）

(p∧q)(q∧p)(p∨q)(q∨p)

10、结合律（Ass）((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))((p∧q)∧r)(p∧(q∧r))第35页，共42页，2023年，2月20日，星期一11、德摩根律

（DeM）

(p∧q)(p∨q)(p∨q)(p∧q)

12、分配律（Dist）(p∧(q∨r))((p∧q)∨(p∧r))(p∨(q∧r))((p∨q)∧(p∨r))第36页，共42页，2023年，2月20日，星期一13、实质蕴涵（Impl）

(p→q)(p∨q)

14、假言易位（Tran）(p→q)

(q→p)第37页，共42页，2023年，2月20日，星期一15、移出律（Esp）

((p∧q)→r)(p→(q→r))16、实质等值（Equi）

(pq)((p→q)∧(q→p))第38页，共42页，2023年，2月20日，星期一17双否律（DN）p

p18重言律

（Taut）

p(p∧p)p(p∨p)第39页，共42页，2023年，2月20日，星期一（A∨B）→C\∴A→C解：①（A∨B）→CP\∴A→C②（A∨B）∨C①Impl③(A∧B)∨C②DeM④(