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第三节估计量的评选标准第1页，共11页，2023年，2月20日，星期一注:在科学技术中称为以作为的估计的系统误差。则无偏估计即无系统误差。无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。它是用数学期望衡量其靠近真值的程度。用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在“0”的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。

例如：第2页，共11页，2023年，2月20日，星期一例1.设总体X的均值,方差都存在，若证明:的两个估计量前者是有偏的，后者是无偏的。证明:第3页，共11页，2023年，2月20日，星期一是有偏的.数学期望的性质第4页，共11页，2023年，2月20日，星期一（样本方差）是无偏的。第5页，共11页，2023年，2月20日，星期一结论:样本均值、样本方差作为总体均值、总体方差的估计量是无偏的，它要比矩估计法，极大似然估计法出来的统计量更接近于真值。所以：一般可取样本均值与方差作为总体均值与方差的估计量。二.有效性注意到，一个参数往往有不止一个无偏估计,若和都是参数的无偏估计量，又由于，这就引出有效

性这个评选标准。较和的大小来决定二者谁则可通过比更优。第6页，共11页，2023年，2月20日，星期一定义：的估计，且两个样本的容量相等。若：设与都是的无偏则称较

有效。注:有效性指的是在同是的无偏估计量的前提下,希望估计值与真值的偏离程度越小越好。一般称方差愈小的估计量愈有效。第7页，共11页，2023年，2月20日，星期一例2.求:与哪个作为的无偏估计更有效？解:且显然，若总体X的均值为方差，但均为未知，现有两个的无偏估计量：用作为的估计量更有效。第8页，共11页，2023年，2月20日，星期一

三.一致性(相合性)注意到，前面介绍的无偏性和有效性都是在样本容量n固定的前提下提出的。当样本容量n增大时自然希望估计量对未知参数的估计更精确；

再注意到，在无偏估计类中所讨论的是以估计量的方差的大小作为衡量估计量为“最优”的准则。但是无偏估计类中方差为最小或较小的估计量不一定比某个有偏的估计量的方差来的小；另外，有偏与无偏是反映估计量的数学期望是否等于被估计的参数的真值；方差的大小是反映估计量的观测值与被估计的参数的真值的离散程度。如果希望在偏差性与离散性两者兼顾的原则下建立估计量为“最优”的准则，这就引出相合性的概念。第9页，共11页，2023年，2月20日，星期一则称为的一致估计量(相合估计量)注:一般，一致性（相合性）是要在样本容量相当大时才能显示出其优越性。但这在实际中很难做到。因此在工程中经常使用的是无偏性和有效性这两条衡量估计量为“最优”的准则。定义：设为参数的估计量，若对于任意的当时依概率收敛于但值得指出的是：若估计量不具有相合性，那么不论将样本容量n取的多大，都不能使得待估计量估计的足够准确。即：第10页，共11页，2023年，2月20日，星期一似然函数为令解例设为总体

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