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第四章一元函数的变化性态（II）编辑ppt今天主要内容:有界变差函数、绝对连续函数

(1)有界变差函数的定义、性质；(2)单调函数、有界变差函数关系；(3)绝度连续函数的定义;(4)绝度连续函数与有界变差函数的关系；(5)一些例子.(6)小结.编辑ppt1.引入曲线的求长编辑ppt编辑ppt2有界变差函数为f(x)对分点组T的变差.定义2.1.设f(x)是[a,b]上的有限函数，在[a,b]上任取一分点组T编辑ppt为f(x)对分点组T的负变差.为f(x)对分点组T的正变差.编辑ppt称编辑ppt例2.1.闭区间上的单调函数一定是有界变差函数[]编辑ppt例2.2.连续函数不一定是有界变差函数.1/41/21/6编辑ppt对[0,1]取分划1/41/21/6编辑ppt定理2.2编辑ppt定理2.3编辑ppt3Jordan分解定理定理2.4.

f(x)是有界变差函数当且仅当f(x)可表成两个单调不减函数的差.编辑ppt注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数的不连续点为一可数集，故Riemann可积;f几乎处处有有限导数且编辑ppt定理2.5编辑ppt例2.5编辑ppt编辑ppt有界变差函数与不定积分不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor函数（是有界变差函数，后面介绍）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？编辑ppt4绝对连续函数则称F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.设F(x)是[a,b]上的有限函数，若使对[a,b]中的任意有限个互不相交的开区间编辑ppt注：绝对连续函是一致连续函数，当然是连续函数，也是有界变差函数.绝对连续函数f几乎处处有有限导数、导函数L-可积且编辑ppt例1利用积分的绝对连续性即可编辑ppt小结（1）有界变差函数可以表示成两个单增函数（或两个单调减函数）的差；（2）有界变差函数有界，不连续点全体至多可数；（3）有界变差函数是Riemann可积的；（4）有界变差函数几乎处处存在有限导数；（5）绝对连续函数是

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