离散变量的优化方法

离散变量的优化方法第1页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.1引言一.变量类型：

工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是各种类型变量的混合。有：连续变量确定型整型变量离散变量随机变量不确定型混合变量所以需要相应的优化方法。第2页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.1引言（续）二.工程实际设计的需要：

例：决定修建一条防洪堤坝。根据历年的水文资料，台风的年最大风速：

现在需要设计堤坝的截面尺寸b和h，在保证不受灾害的概率不低于99.9%，堤坝不受冲压损坏的概率不低于99.0%的要求下，使投资最小。第3页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.1引言（续2）三.传统方法的局限：

例，求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到离散值上。弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是离散最优解。●x*●X(1)●X(2)●X(3)x*是连续变量最优点；

x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；

x(2)是最近的可行离散点，但不是离散最优点；

x(3)是离散最优点。x10x2第4页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.2

离散变量优化设计的基本概念一.设计空间：1、一维离散设计空间：

在xi坐标轴上有若干个相距一定间隔的离散点，组成的集合称为一维离散设计空间。2、P维离散设计空间：

P个离散设计变量组成P维离散设计空间。每个离散变量可取有限个（l）数值，这些数值可用矩阵Q来表达。注：①因为离散变量是有限个，所以离散空间是有界的。②某个离散变量的取值不足l个，其余值可用预先规定的自然数补齐。qij-1

●qij

●qij+1

●Xi第5页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.2离散变量优化设计的基本概念(续）3、N-P维连续设计空间：N个设计变量中有P个离散变量，此外有个N-P连续变量。N-P维连续设计空间:4、N维设计空间：其中：离散设计空间为：连续设计空间为：若Rp为空集时，Rn为全连续变量设计问题；若Rp-n为空集时，Rn为全离散变量设计问题。第6页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.2离散变量优化设计的基本概念二.整型变量和连续变量的离散化：——是均匀离散1、整型变量的离散：

整型变量可看作为是离散间隔恒定为1的离散变量。是离散变量的特例。2、连续变量的离散化：

有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转化为拟离散变量。

方法：第7页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.3离散变量优化设计的数学模型注：设计空间有离散空间部分。但约束面不离散，也不一定分布有离散点。K-T条件不再适用。D第8页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.4离散变量优化设计的最优解及收敛条件一、离散单位邻域UN(x)和坐标邻域UC(x)：例，二维离散空间中，离散单位邻域共3n个点，UN(x)={x,A,B,C,D,E,F,G,H}；离散坐标邻域共2n+1个点：UC(x)={x,B,D,E,G}。

x●

B●●GD●E●A●●FC●●

Hεiεi0x1x2第9页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.4离散变量优化设计的最优解及收敛条件(续)二、离散最优解：三、收敛准则：

设当前搜索到的最好点为x(k)，需要判断其是否收敛。在x(k)的单位邻域中查3n–1个点，若未查到比x(k)的目标函数值更小的点，则收敛，x*=x(k)。DDD第10页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.4离散变量优化设计的最优解及收敛条件(续2）四、伪离散最优解和拟离散最优解：1、伪离散最优解：

在判断x(k)是否收敛时，只在x(k)的坐标邻域中查点，所得到的最优点是伪离散最优点。2、拟离散最优解：

用以连续变量优化设计方法为基础的“拟离散法”、“离散惩罚函数法”等，先求得连续变量最优解（A点），再圆整到可行域内最近的离散点（C点）,是拟离散最优点。B点才是离散最优点。第11页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.5随机变量优化设计的基本概念一、随机变量的概率特性（略）：二、随机变量：

随机现象的每一个表现，通称为随机事件。随机事件可用数值表示，随着观察的重复，可获得一组不同的数值。对随机现象作观察，测量的变化量称为随机变量。例如，加工了3000根直径为的轴。抽取测量了300根轴的直径，直径值的分布情况如图，在公差范围内的有297根轴。

加工直径为d的轴，是一个随机事件；直径d为随机变量；加工3000根轴，是事件的总体；测量300根轴的直径，是事件的样本空间。合格99%是事件的概率。第12页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.5随机变量优化设计的基本（续）三、随机参数：

已知分布类型和分布参数（或特征参数），且相互独立的随机变量。在优化过程中，随机参数的分布类型及分布参数是不随设计点的移动而变化的。随机参数的向量表示如下：TTTT第13页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.5随机变量优化设计的基本概念（续2）四、随机设计变量：

在优化过程中，随机变量的分布类型及分布参数（或特征参数）需要通过调整变化来求得最优解，而且是相互独立的随机变量，称为随机设计变量。随机设计变量的向量表示方法如下：五、分布类型及其参数的确定：

方法一：由试验或观察，测量得到随机变量的相关数据，作出样本的直方图，然后选择分布类型，进行假设检验和分布参数的估计。T第14页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.5随机变量优化设计的基本概念（续3）

方法二：根据样品试验、同类事件的数据或以往积累的经验，先推断一种分布类型，再调整分布参数或特征值。

一般认为：加工误差服从正态分布；寿命服从指数分布或威布尔分布；合金钢的强度极限服从对数正态分布。若已知离差系数cx，则可根据直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和离差系数求得最优解。②若xi服从正态分布，一般容差同样可直接在优化过程中迭代均值，通过调整均值和容差求得最优解。第15页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.6随机变量优化设计的数学模型一、随机设计特性：

当设计特性或技术指标表示为随机设计变量和随机参数的函数时，称为随机设计特性。二、目标函数：由随机设计特性定义优化准则函数。注：工程问题的优化设计中，根据工程实际情况选择目标函数的类型。第16页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.6

随机变量优化设计的数学模型（续）三、约束函数：四、随机型优化设计数学模型：说明：①min.和s.t.只能从概率空间的意义来理解；②采用不同的样本组，最优点x*(ω)是不同的；③模型的类型有很多种，最有实际意义的是概率约束型。TTT第17页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.7

随机变量概率约束问题的优化

设计模型及最优解一、概率约束问题的优化设计模型：T第18页，共20页，2023年，2月20日，星期一§7.7随机变量概率约束问题的优化设计

模型及最优解二、概率约束模型的最优解：在概率空间（Ω，T，P）内，存在一个用均值表示的设计点x*，x*=μx*∈X∈Da，使不等式E{f(x*,ω)}<E{f(x,ω)}对于某个邻域Nδ(x)内的所有x都成立，则称x*为概率约束问题的最优点，E{f(x*,ω)}为最优均值。三、概率约束模型的几何解释1、概率约束的几何解释：p{gu(x,ω)≤0}–αu=0是概率约束超曲面。p{g