第一讲定解问题

第一讲定解问题第1页，共35页，2023年，2月20日，星期一第一章绪论第一节引言1.数理方程发展历史、与其他学科的关系、研究现状2.数理方程及其定解问题的求解方法经典解、数值解、广义解。第2页，共35页，2023年，2月20日，星期一第二节基本概念微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式分类按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程；按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非线性微分方程；线性微分方程按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程，按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程；按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。第3页，共35页，2023年，2月20日，星期一微分方程的基本概念例题第4页，共35页，2023年，2月20日，星期一第三节三类典型方程的导出一、波动方程均匀弦的微小横振动方程推广二、热传导方程热传导方程推广三、稳定场方程第5页，共35页，2023年，2月20日，星期一一、波动方程的建立条件：均匀柔软有弹性的细弦，受初始小扰动在平衡位置附近做振幅极小的横振动。不受外力影响。例1、弦的振动研究对象：线上某点在t时刻沿纵向的位移。第6页，共35页，2023年，2月20日，星期一简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：第7页，共35页，2023年，2月20日，星期一其中：其中：第8页，共35页，2023年，2月20日，星期一………一维波动方程令：------非齐次方程自由项------齐次方程忽略重力作用：第9页，共35页，2023年，2月20日，星期一设作用在该弧段上的外力密度函数为，那末该弧段在时刻所受沿轴方向的外力近似地等于，于是纵向方程为由微分中值定理得消去

并取极限得即第10页，共35页，2023年，2月20日，星期一推广:三维情况--位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数,忽略外力作用,此时方程第11页，共35页，2023年，2月20日，星期一二、热传导问题所谓热传导就是由于物体内部温度分布的不均匀,热量要从物体内温度较高的点处流向温度较低的点处.热传导问题归结为求物体内部温度分布规律

第12页，共35页，2023年，2月20日，星期一设物体在Ω内无热源.在Ω中任取一闭曲面S，以函数u(x,y,z,t)表示物体在t时刻,M=M(x,y,z)处的温度.根据Fourier热传导定律,在无穷小时段dt内流过物体的一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt、曲面面积dS以及物体温度u沿曲面dS的外法线n的方向导数三者成正比,即三维热传导方程的导出第13页，共35页，2023年，2月20日，星期一

对于Ω内任一封闭曲面S，设其所包围的空间区域为V，那么从时刻t1到时刻t2经曲面S流出的热量为设物体的比热为c(x,y,z)，密度为ρ(x,y,z)，则在区域V内，温度由u(x,y,z,t1)变化到u(x,y,z,t2)所需的热量为第14页，共35页，2023年，2月20日，星期一其中k=k(x,y,z)是物体在M(x,y,z)处的热传导系数，取正值。我们规定外法线方向n所指的那一侧为dS的正侧。上式中负号的出现是由于热量由温度高的地方流向温度低的地方。故当时，热量实际上是向-n方向流去。第15页，共35页，2023年，2月20日，星期一根据热量守恒定律，有即假设函数u(x,y,z,t)关于x,y,z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，那么由高斯（Gauss）公式得第16页，共35页，2023年，2月20日，星期一由于时间间隔[t1,t2]及区域V是任意的，且被积函数是连续的，因此在任何时刻t，在Ω内任意一点都有方程(1.2.6)称为非均匀的各向同性体的热传导方程，如果物体是均匀的，此时k,c及ρ均为常数(1.2.6)第17页，共35页，2023年，2月20日，星期一令，则方程(1.2.6)化为它称为三维热传导方程。若考虑物体内有热源，其热源密度函数为F(x,y,z,t)，则有热源的热传导方程为(1.2.7)(1.2.8)其中第18页，共35页，2023年，2月20日，星期一推广1情况：当考虑的问题是一根均匀细杆,如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,那么温度u只与x,t有关方程：cρut=kuxx+F

ut=a2uxx+f，f=F/(cρ)第19页，共35页，2023年，2月20日，星期一推广2情况：扩散问题分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律方程：ut=Duxx+F标准方程：ut

=a2uxx+F第20页，共35页，2023年，2月20日，星期一推广3情况：三维情况分析：温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数方程：第21页，共35页，2023年，2月20日，星期一三、稳定场方程当研究物理中各种现象(如振动、热传导、扩散)的稳定过程时,由于表示该过程的物理量u不随时间t而变化,因此ut=0.无外界作用情况拉普拉斯方程：

Δu=utt+uyy+uzz=0第22页，共35页，2023年，2月20日，星期一有外界作用情况泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用静电场方程：Δu=-ρ/ε稳定温度分布：Δu=-F/k第23页，共35页，2023年，2月20日，星期一第四节、定解条件与定解问题定解条件初始条件边界条件定解问题初值问题边值问题混合问题第24页，共35页，2023年，2月20日，星期一同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。定解条件其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。第25页，共35页，2023年，2月20日，星期一初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件描述稳恒状态的,与时间无关,所以不提初始条件只含边界条件A、波动方程的初始条件1、初始条件——描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度第26页，共35页，2023年，2月20日，星期一2.边界条件意义：反映特定环境对系统的影响分类：按条件中未知函数及其导数的次数分为线性边界条件和非线性边界条件；线性边界条件中，按给出的是函数值或导数值分为第一、二、三类边界条件；按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非齐次边界条件。第27页，共35页，2023年，2月20日，星期一(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用,其为：

A、波动方程的边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k的弹簧的支承,其为:或第28页，共35页，2023年，2月20日，星期一B、热传导方程的边界条件(1)给定温度在边界上的值S——给定区域v的边界(2)绝热状态(3)热交换状态牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。交换系数；周围介质的温度第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件第29页，共35页，2023年，2月20日，星期一第30页，共35页，2023年，2月20日，星期一第31页，共35页，2023年，2月20日，星期一边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/ρ一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a

绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k第32页，共35页，2023年，2月20日，星期一定解问题定解问题的组成定解条件：描述具体对象的特殊性。泛定方程：反映同一类现象的普遍性；定解问题的分类初值问题(CauchyProblem)：无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计）第一边值问题(DirichletProblem)第二边值问题(NeumannProblem)第三边值问题(RobinProblem)混合问题：同时有边界条件和初始条件。第33页，共35页，2023年，2月20日，星期一定解问题的适定性适定性的意义定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。适定性的内容存在