2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-22年真题)专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题

专题18最全归纳平面向量中的范围与最值问题

【考点预测】

一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步:得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

5+S|2+|£-BF=2(|£『+|b『)证明：不妨设福=£,而=石，则前=£+B,

DB=a-h

对词=(£+*£『+2£不+件①

|DB|2=DB2=(a-b^=-2a-h+\h[②

①②两式相加得：

时+阿=2帆〜好卜矶研+画)⑵极化恒等式:

上面两式相减，得：；弧+42-(£-@]-------极化恒等式

①平行四边形模式：a-S=l[|AC|2-|£>B|2]

儿何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与“差对角线”平方差

畤

②三角形模式：a-h=\AMf-^DB^为8。的中点）

三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点。是矩形N88与所在平面内任一

点，证明：OA2+OC2=OB2+OD\

【证明】（坐标法）设==以Z8所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy,

则B(a,0),D(0,b),C(a,6),设O(x,y),则

OA2+OC2=(x2+y2)+[(x-a)2+(y-h)2]

OB2+OD2=[(x-i?)3+/]+[x2+(y-h)2]Ofic+OC2=OB2+OD2四.等和线

（1）平面向量共线定理

己知方=2万+〃而，若几+〃=1,则A8,C三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底次,而及任一向量。户，OP=AOA+pOB（A，iieR）,若点尸在直线AB上或者在平行

于AB的直线上，则2+〃=左（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线时，k=l；

②当等和线在O点和直线43之间时，Ze（0,1）；

③当直线Afi在点。和等和线之间时，&€（1,内）；

④当等和线过O点时，无=0；

⑤若两等和线关于O点对称，则定值%互为相反数;

B

B,

【题型归纳目录】

题型一：三角不等式

题型二：定义法

题型三：基底法

题型四：几何意义法

题型五：坐标法

题型六：极化恒等式

题型七：矩形大法

题型八：等和线

【典型例题】

题型一：三角不等式

一一一11111

例1.(2022•河南•洛宁县第一高级中学高一阶段练习)已知向量满足|a|=2,|6|=l,|c-a-勿=1，若

对任意C，(1c-a1)2+(01-%1)2W11恒成立，则Q.R的取值范围是.

【答案】-2,-g

【解析】

【分析】

由条件可得=I+；LD,由向量性质可得卜卜自+⑷水一〃一回用+1+q,从而

pi|-l<|c|<l+|a+l|,然后代入结合：二2-自1]可得出答案.

【详解】

rr、2rr、2rrr、2rrrrr、2rr2rrr

解析：因为(zc-4)+(zc-b)-\zc—a—b\=c2-2ab,则S=(zc=a)zx=l+c2—2a-b,因为

1+*[1,3],

由阳训心鼻心仙胭印+%

由1=|0-(“+6)区卜|+,+q,即卜上1-'+可，由卜+0e[l,3],则卜21-k+4恒成立.

由卜卜卜+4|£°-(“+。)|=1,即k+^-14卜卜1+k+0

贝=1+(1。+例+1)2—24为=1+：+力2+1+2^^^^

=7+2>/5+2a-J<11>

解得又之•力一口电=-2

rr「1'

所以。为£-2,--.

故答案为：一2,-;

例2.(2022•安徽省舒城中学三模(理))已知平面向量.，/，*同=同=1,若同冢+动,2,

B伍-斓21,则山的最小值是.

3

【答案】y##1.5

【解析】

【分析】

令万=1+£,v=e^-e^,即可得至!Jw_L/且|洲2+|>『=4,令q=(2cosa,0),v=(0,2sina),\a\=r,

5=(rsinArcoSy?),根据数量积的坐标表示及三角不等式计算可得；

【详解】

解：令及=q+e2，v-ex-e2,则五•户=同-同=0>故且|肝+|、F=2(|q『+B')=4,

令五=(2cosa,0),v=(0,2sina),\a\=r,a=(rsin/?,/cos/3),

a-u|=2r|cosa-sin/?|>2

所以根据已知条件有《

a-v\=2小ina-cos/?|>1

所以2rN2d8sa・sin/?|+2小ina・cos/?|N3,

3

即

2

当且仅当sina=正，£=g-a，r=；时等号成立，所以1码的最小值是:

3222

故答案为：I3

例3.(2022•浙江湖州•模拟预测)已知平面向量,,瓦湖满足出|•曰|=1,若|3」一(石+或|=|万石卜修1，则

-东+2h2+c2的最小值是.

［答案］叵。

【解析】

【分析】

利用绝对值三角不等式|3疝-|(6+c)\<\3a-(b+c)|,及三角函数的有界性可进行化简分析.

【详解】

设<2,5>=a,<%>=<,S13a-(&+c)|=|a•^|•|c|,根据三角不等式，有

\ia\-\(b+c)|<13a-(5+c)\=\a-5Hd二间而cosa\^c\=\acosa\<\a\,

得|2M|<|*+c|,

^-a2+2^2+c2>--|fe+c|2+2|6|2+|c|2=-|6|2+-|c|2--^,C

4442

=3印_3MBcos夕之2R|5|2［固

442V4422

故答案为：巫二1.

2

例4.(2022•浙江•模拟预测)已知平面内两单位向量冢,，〈冢石〉=5,若满足

c-et—c-e2=c+,则r的最小值是.

【答案】］_旦

26

【解析】

【分析】

设出q=g与卜2=-g,*,-=(x,y)得到“犬+丁，山不得关系得到卜怎+可L之；=/，

从而得到最小值.

【详解】

一’1百1一(1百)一一一2

由题意，可以设4=不二丁，6=一不二丁，1=(%y),则由小4一3自=(?得x=x2+y。

(22J(22J-

山上4+1叫《=上怎+动L《=丁吟’

所以x=d+解得：1_2^<%<1+^

122626

即了的最小值是‘一业.

26

例5.(浙江省绍兴市柯桥区2022届高三下学期5月第二次适应性考试数学试题)已知平面向量入5、c

满足：G与5的夹角为彗，传-1>卜沟=0,同丽=2,记M是卜-”闸的最大值，则M的最小值是

x/3+l

【答案】

2

【解析】

【分析】

设函=万,丽=5,丽=C,E为中点，令mi=x,|,|=y,|AB|=2r,|0E|=t,结合图形,利用向量的线性运

算求出M=R-a-5|而=|函|+|觉转化为函数求最小值即可.

【详解】

如图，

设/=昆丽=尻元=3£：为中点，令

mi=x,|8|=y,|AB|=2〃OE|=r,

2兀

则NA08=7，x+y=2①，

—»1—>—>—>—>—>

因为0E=—（OA+OB）,AB=OB-OA,

2

故有方•丽=|0E『-；|A8/二>-；D=/一户，

无2+y2_4户___vny

cosZAOB=-----------=>-xy=x2+y2-4r2=>4r2=（x+y）2-xy②，由①②得，=1一--,从而

2xy4

*“彳孙=]一]孙孙w（0,l],

因为修一1〉心一5）=0,所以ACJ_BC,即点C在以为直径的圆E匕

\]c-a-b\=\c-（d+b）|=|赤+反一2砺|=|前+或国的|+|反|,

1+

：.M=\c-a-h\max=\EO\+\EC\=t+r=孙+卜；孙>^-,

当且仅当|引=出|=1时，即孙=1时等号成立.

故答案为：叵乂

2

例6.（2022•全国•高三专题练习）已知非零平面向量满足|£+/；|=7兀则同fl的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

把给定等式两边平方，利用平面向量数量积性质转化为同小|的不等式即可得解.

【详解】

依题意，ab>0^\a+l^=a-h<^(a+h)2=(a-b)2+2ab+^^(a-b)2

+\b\2=(a-b)2-2ab<^(\a\-\b\)2+2\a\\b\+\=(a-b-1')2,

当时，上述最后等式不成立，从而有7B>1，

ab-\=7(l«|-|^l)2+2|a|-|^|+l>72|a|-|^l+l>当且仅当5日治时取“=”，

又当且仅当2与B同方向时取“=”，

则有，2|£HH+IMZ石-1痴1•出1-1=>2|£|.出I+1M(|£H山-I)工解得|2|•㈤24,当且仅当时取

“一，，

所以刚砸勺最小值是4.

故选：A

例7.(2022・湖北•华中师大一附中高一阶段练习)已知圆C的半径为2,点/满足|恁|=4,E,尸分别是

C上两个动点，且用=2百，则恁.标的取值范围是()

A.[6,24]B.[4,22]C.[6,22]D.[4,24]

【答案】C

【解析】

【分析】借助于垂径定理处理，结合向量整理可得荏•通=|前+西产-3,再根据向量的加法可得

3<|AC+CW|<5.

【详解】

取£尸的中点M,连接CM,则CM="一的=1，

2222

AE-AF=^AM+ME^AM'+MF^=^AM+ME^AM-ME')=AM-ME=XJ^_3=IAC+CMI-3,

又||衣西|倒亚+而'|\AC\+\CM\,所以同+两]45,

所以64荏•/422，

当且仅当向量衣与两共线同向时，荏.而取得最大值22；向量正与两共线反向时，通.需取得

最小值6,

故选：C.

例8.（2022•浙江•高三专题练习）已知平面向量

A

£,b,"满足忖=忖=乎1=1,"5卜1.若74+入则的最大值是

【答案】4+77

【解析】

【分析】

将之=吕+工代入所求，可得到，q+k+'q,分情况讨论7工，4+石•"同号和异号两种情况，利用向量模

的平方等于向量的平方计算可得和的最大值.

【详解】

,目+忸回=向4+卜,+4=花4+卜+/4=忖臼+|4+/4当7",4+="同号时，

|a-c|+|4+fe-c'|=|a-c+S-c+4|=|^«+^j-c+4|<||a+•|c|+4|,而

+®=\la+b+2a-b<Jl+4+2=不，则卜,c|+忸•4卜4+近.

当£."，4+="异号时，

|a-c|+|4+S-c|=|a-c-^-c-4|=|（a-ij-c-4|<||a-5|-|c|+4|,

而漏一邛=+b-2a-b<Vl+4+2=y/l,则悔4+帜2卜4+>/7.

因此悔4+R同的最大值为4+JF.

故答案为：4+V7.

例9.（2022•全国•图一课时练习）已知在三角形ABC中，BC=4,\AB\=2\AC\,则ABAC的取值范围

是（）

A.„，321B.-y,32C.（0,32）D.[0,32）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据三角形三边关系得到|Aq的取值范围，再利用余弦定理表示出cosNC4B,最后根据平面向量数量积

的定义计算可得：

【详解】

解：因为BC=4,|阴=2同0,所以4cl<4'即LAC/ACIVV解得§<健[<4,由余弦定

AC2+AB2-BC2.

理TL）IcosNCAB=----------------------,所R以RIL

2ACAB

222222

A发B•学AC=IAABRI-L1A^C1cosZ.CAB=1A^B1-lAl^Cl--A--C----+---A--B------B--C---=--A--C----+--A---B------B--C---

IlliIlli2ACAB2

=5“『T6,因为J<[4C|<4,所以所以一必<史史1竺<32,即

23992

uunuum（37、

AB-ACel-y,32l；

故选：A

例10.（2022・全国•高一专题练习）已知同=2,W=l,£与坂的夹角为60',若向量"满足

叫=2折则向的取值范围是（）

A.[4-2A/3,4+2X/3]B.[6,5句

C.[26,66]D.[5-26,5+2白]【答案】C

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积运算性质及三角不等式计算判断.

【详解】

因为1矶=2,|5日,万与5的夹角为60。，

所以/=4,庐=1,无5=2/<0$60。=1,

所以满足120+妨|=2伍+芬|=2-Ja2+4a-b+4-b2=2J4+4J+40=46，

因为鹿|一|。+妨北北-26-访|,

所以|24+4E|-|C-2〃-4b|剜n\2a+4b\+\2a+4b\,

所以2例66，

故选：C

例11.（2022•浙江宁波•高三期末）已知平面向量入b,c,其中2,B是单位向量且满足。力=5，

4c2-4a-c-4b-c=]>若c=xa+出（x,yeR）,则x+y的最小值为.

3-25/3

【答案】

3

【解析】

【分析】

根据已知条件将向量2代入4片-474="=1整理可得关于x、V的二元二次方程，然后通过换元，利用

方程有解△20可得.

【详解】

c=xa+yb4c~-4a-c-4b-c=4c-(c—a—b')=(xa+yb)­[(x-l)a+(y—1)^]

=4[x(x—l)a~+(2孙—x—y)«石+y(y—1)方]乂'b是单位向量且“4=万

，上式=4[(x+y)2-(x+y)-切=1

令x+y=f,y=t—x彳t入上式整理.得：4x2-4rx+4r2-6?-l=0

关于X的方程4x2—4fx+4/2-6f-1=0有实数解

.•.△=16/-16(4/-6—1)20整理得：3--6―140,解得土必巨W三2叵故答案为：土2g.

333

例12.(2022・全国•高三专题练习)已知向量£,各是平面内的两个非零向量，则当|£+)+区一可取最大值

时，£与坂夹角为.

【答案】£##90°

2

【解析】

【分析】

根据4+.-|£-4了20,结合平面向量数量积的运算性质推出忖+q+,-闸42忖丽，再根据题意以

及等号成立条件，即可求解.

【详解】

•.•向量£,B是平面内的两个非零向量，

.•.眄耳干一孙叩+邛+*邛呻+而诽0,当且仅当卜+%*同时取等号,

£+邛+2p一一邛|2东+彳T2+归一邛+2忖+即一'=(|£+耳+忖一植

\^+b\+\a-b\>2\a+b^-b\

(,+0+卜-0)W2,©+2,-0=4忖+4忖，即卜+囚+卜-环42,卜[+忖)当且仅当卜+q=卜_弓

时取等号，即£3=0,则£与各夹角为

.•.当B+.+W取最大值时，£与另夹角为]

TT

故答案为：y.

题型二：定义法

例13.（2022・全国•高三专题练习）己知向量万，5满足同=2,恸=3,则卜+田+卜-.的最大值为

【答案】2小

【解析】

【分析】

先求得|4+5|=j5+4cos9、\a-h\=V5-4cos0,进而平方，计算即得结论.

【详解】

设向量a,Z?的夹角为。，

Id+51=V22+32+2X2X3XCOS6»=J13+12cos。,

\a-b\=V22+32-2X2X3XCOS6»=J13-12cos6»,则,+61+1万叫=J13+12cos，+J13-12cos。,

令y=V13+12cos6＞+J13-12cos（9,

则y2=26+2＞/169-144COS26»e[36,52],

据此可得：（卜+5|+|万一妣「夜=2如，

即1+5|+K-目的最大值是2g

故答案为：2加.

例14.（2022•全国•高三专题练习）在AABC中，角仇C的边长分别为Ec,点。为A4?C的外心，若

uuuUUU

h2+c2=2h,则BC-AO的取值范围是（）

A.B.（0,2）C.-;,+8）D.—,2）

【答案】D

【解析】

【分析】

uuuuun（1\21

作出辅助线，对数量积进行转化得到BCSO=6弓,求出6的取值范围，进而求出答案.

【详解】

取8c的中点O,则or»ABC,所以5&芯=配•（而+力5）=觉•通+肥•诙=元而

=西-砌T国+硝毛网-宿卜;断一/）=如一（2…力=6

因为/=2。-从＞0，则为6-2）＜0,即0＜。＜2.

所以-3反.血＜2,

4

故选：D.

例15.（2022•江苏省江阴高级中学高三开学考试）如图，正六边形A8CQEF的边长为2,动点M从顶点

8出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F,若丽•说的最大值和最小值分别是切，〃，则加+〃=

（）

【答案】D

【解析】

【分析】

连接AC,根据正六边形的特征可得丽=恁，从而可得丽•丽'=衣•丽'=］码|两际（林，而小再

根据当M在BC上运动时，|丽'IHCOS（林，丽'）均逐渐增大，当“从。移动到尸时，|福了|与

cos（前，而0）均逐渐减小，即可求得加，〃，从而得出答案.

【详解】

解：连接AC,在正六边形ABCDE/中，FD=AC，

：.FV-AM=AC-AM=\AC^AM\cos（AC,AM^,

•正六边形A8CDE尸的边长为2,.\|AC|=2x/3,

因为当“在BC上运动时，|而'J与cos（衣，祝）均逐渐增大，当“从。移动到F时，|而］与

cos（正口而）均逐渐减小，

所以当M在8上运动时，|R/cos（点,通］）取得最大值，为26,

当〃移动到点F时，|R/cos（而，丽）取得最小值，为0.

m=2岛2百=12,n=2>/3x0=0./.〃7+〃=12・

故选：D.

知囱=恒=2,点C在线段AB上，且反的最小值为G，则向+r词（reR）的最小值为（）

A.72B.73C.2D.y/5

【答案】B

【解析】

【分析】

由国取得最小值得点C为线段A8的中点，由瓯卜今明得NAOB=q,

2

由|次+tOB^=eoB+2tOA-OB+OA=4产+4r+4配方可得答案.

【详解】

当OC_L他时，历取得最小值，因为苏=丽=2,

所以此时点C为线段A3的中点，

因为西=由明，所以乙4=（,故ZAOB=‘,

则诉砺=网画8$?=2,

因为|oZ+f而『=rOB+2tOA-OB+OA=4t2+4t+4=（2t+\）'+3>3,

故河+f西2反

故选：B.

B

例17.（2022・河南•平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已

知48为圆。:/+丁=4上的两动点，|AB|=2石，点尸是圆C:（x+3尸+（y-4『=1上的一点，则

|丽+丽|的最小值是（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C【解析】

【分析】

根据向量的运算律将题意转化为圆上的点到A8的中点M的距离最值问题即可得解.

【详解】

设A7是的中点，因为|AB|=2行，所以=

即M在以O为圆心，1为半径的圆上，

PA+PB=PM+MA+PM+MB=2PM所以|中+而|=|2M|.

22

又|PC）|,nin=|OC|-1=V3+4-1=4,所以IPM|n,in=|P。kn-1=4-1=3,

所以|丽+而1mbi=2x3=6.

故选：C.

例18.（2022•黑龙江•哈九中二模（理））窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运

用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境.从窗的外形看，常见

的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等.已知圆。是某窗的平面图，。为圆心，点/在圆。的圆周上，

点尸是圆。内部一点，若同=2,且冰而=-2,则你+研的最小值是（）

A.3B.4C.9D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算，结合数量积丽.而=-2，可求得|丽卜一确定其取值范围，再根据

11cosZAOP

I3+西平方后的式子，即可求得答案.

【详解】

因为丽=丽-砺，所以方•丽=丽•（而-丽）=丽•丽-丽匕-2,

所以丽.而=2,即网•〔西cosN4OP=2,则词=31op.

因为点尸是圆。内部一点，所以|丽=——^—<2,所以《<cosNAOP41,

11cosZAOP2

^（OA+OP]^^OA+2OAOP+OP2=8+—」----->9,

\'cos2ZAOP

当且仅当cosNAOP=l时，等号成立，故|方+丽|的最小值是3,

故选：A.

例19.（2022•全国•三模（理））已知平面向量2,b，"均为单位向量，且卜4=1,0-24年-今的取

值范围是（）

A.[-百,6]B.[-2,2]

C.卜",仞D.[-3,3]

【答案】A

【解析】

【分析】

通过数量积与模长的关系可得@-2何2=0,|£-2q=如，再根据数量积的运算律以及概念即可得结果.

【详解】

（a-2b）\a-c）=（a-2b）-a-（a-2b）-c,

因为=所以/_2£4+不=1，所以=

所以（"2W.°=J-2a石=0,|a-2^|=7o--4a-b+4b'=百，

设:-2%与2的夹角为6，

故-2b）.-c）=—y[3cos0y

因为cosOe|-l,l],所以（£一2可.伍一亦[一疯6],

故选：A.

题型三：基底法

例20.（2022•天津河北•二模）已知菱形N5CO的边长为2,/B4O=120。，点E,F分在边BC,CQ上，

______2

丽=入前,DF=JLIDC.若丸+〃=§,则赤.衣的最小值为.

【答案】?4

9

【解析】

【分析】

2

由题意叫出图形，把戏.而:%A8.A。表小，最后转化为含〃的代数式，内结介+〃及基本不

等式求得通.赤的最小值.

【详解】

_____________2

•,BE=ABC，DF=^DC,且2+〃=子

.■,AEAE=(AB+BE)(AD+DF),

2

=(AB+ABC')(AD+^DC)=(AB+AAD)(AD+iuAB)=(\+Ap)ABAD+A\Ab\+p\AB^

1Q

=(1+x2x2x(——)+4(/1+4)=-2(1+~.

由题意可得，4,〃>0,

12

=g,则一2(1+办)…一”，

.-2(l+〃,)+*q(当且仅当2=〃=g时等号成立)，

4

AE・AF的最小值为

4

故答案为：

TT7T

例21.(2022•山西省长治市第二中学校高三阶段练习(理))菱形A8CQ中，AB=l,Ae，点£是

线段4。上的动点(包括端点)，则而•丽的最小值为.

【答案】-!##-0.25

4

【解析】

【分析】

设荏=AAD，运用向量的线性运算和数量积运算得EDEB=(l-/l)AD-(AB-AE)

=22-(1+COS/1)/1+COSA,设"cos4e0,1,利用二次函数的性质可求得丽•丽的最小值.

【详解】

解：不妨设荏=2而，则而=而-荏=(1<)而，丽=通-通，

所以说.方=(1-㈤彳万(回耳-理)=(1—幻而.(福-AAD)=(l-/l)^DA5-/l(l-X)AD

—(1—A)cosA—4(1—A)——(1+cosA)丸+cosA,

■jrITI

因为Ac,所以COSAE0,-,

设f=cosAe0,；,贝lj舒•丽=/(团=万一++

对称轴为几€—,—,

所以fwmin=八与)=一%1)2":，

所以丽•丽的最小值为T

故答案为：一二.

4

例22.(2022・全国•高一)在矩形ABCE(中，AB=2BC=2,动点M在以点C为圆心且与BO相切的圆

上，则初■•丽的取值范围为()

A.[-5,-1]B.[-5,1]C.1-3+75,-1]D.[-3+6,3-石]

【答案】A

【解析】

【分析】

先求出圆C的半径，由说=*+两，结合向量数量积运算律将丽••丽的最大值转化为求器.品的

最大值，即可求出结论.

【详解】

1x22石

由题意|AC|=|3O|=6,设C到30的距离为d,则1=

AB

UUULILK1LILKlUUUUUtlUUUUUtlUUULUU

故AM•3。=(AC+CW)•3D=AC3。+CM•3。，

皿叫UUUUUUIUUULIUllUUUUUUUUULUUUUUUUULILBI

其中ACBD=(AD+AB)(AD-AB)=-3，设CM,BD的夹角为，，CM•8。=|CM||80vos。e[-2,2].

当且仅当CM与而反向或同向时取得端点值;

综上，丽7.丽的范围为［-5,-1］.

故选：A.

例23.（2022•全国•高三专题练习）在△/8C中,〃为边8c上任意一点，N为AM中点、,且满足

AN=AAB+uAC,则外+的最小值为（)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给定条件探求出2=；-〃，结合储+*转化为二次函数并求函数的最小值即可.

【详解】

在△/8C中，〃为边8c上任意•点，则的==而，

于是得丽=3丽=；（而+丽7）=子而+；而，而丽=彳而+〃/，且丽与衣不共线，

即有/='_〃，因此，万+〃2=（\一〃）2+〃2=2〃?_〃+J=2（〃-：）,J,

222244oo

当且仅当2=〃=!时取"=",此时M为BC中点，

4

所以尤+*的最小值为］

O

故选：c

例24.（2022・全国•高三专题练习）已知在AMC中，AB=AC=2,BC=3,点E是边BC上的动点，则

当丽・丽取得最小值时，|丽卜（）

口后「M

Ax/37nV14

4222

【答案】A

【解析】

【分析】

利用“插点法”，重新表述函.丽，结合向量的数量积运算，将其转化为||的二次函数形式进行求解.

【详解】

4+9-43

在△然（7中，AB=AC=2,BC=3,cosZABC=.

2x2x34

E4-EB=EB-（EB+BA）=EB2+EB-BA=EB2+|£B|-|BA|COS（^-ZABC）=EB2-||^|

=Q丽卜qj-得，则当।而卜:时，丽・丽取得最小值此时

IE4|2=4+--2x2x-xcosZ/1BC=—,同=亘,

II16416II4

故选：A.

例25.（2022・全国•高三专题练习）如图，已知两个模都为10的向量方,而，它们的夹角为1，点C在以

。为圆心，10为半径的A3上运动，则Gi•丽的最小值为（）

,A.100700夜B.-100C.100^-100D.—100我

a----------^5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量的运算及数量积的运算性质化简，问题转化为求（砺+砺）•反的最大值，由模为定长知同向时最

大求解即可.

【详解】

CACB=（,OA-OC）（OB-OC）=OAOB-（OA+OByOC+dC2=0+100-（方+9）•比要使5.而最

小，即（况+0加•反最大

而1。4+。月=100为定值，I反I为定值10

只要画+画与无同向即可使（函+函.反最大

丽的最小值为100-10（h/L

故选：A

例26.（2022•吉林长春•模拟预测（理））已知AABC中，A=pAC=2,AB=5,点P为边45上的动

点，则方.无的最小值为（）

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A【解析】

【分析】

结合向量运算以及二次函数的性质求得正确答案.

【详解】

设方=2画04441),

PBPC=PS(PB+BC)=AAB(/lAB+AC-AB)=A(>l-l)AB2+/lAB-AC=252(A-l)+/l-5-2--

=2522-202,

所以当石一具;4时，丽.而取得最小值为25x⑶-20xZ=-4.

2x255⑸5

故选：A

例27.（2022•全国•高三专题练习）在凸四边形ABCD中，AB=BC=2,ZABC=120\且AACO为等边

三角形，若点E在四边形ABC。上运动，则丽・丽的最小值是（）

A.-4C.-1D.3

【答案】B

【解析】

分别讨论E点在每条边上运动时，向量点积的最小值，即可得到最小值.

【详解】

如图所示，

四边形4BCO关于直线8。对称，故点E在四边形A8CD上运动时，只需考虑点E

在边BC,8上的运动情况即可，易知BCLCD,则丽・丽=0，

①当点E在边8C上运动时，设丽=2而（04241）,则觉=（/一1）丽,

/.EBED=EB（EC+CD）=£BEC=ACB（A-l）CB=42（A-l）,

当/=；时，丽.诙的最小值为T;

②当点E在边8上运动时，设而=左前（0VZ41）,则反=（%-1）②,

EBEb=(EC+CB]ED=ECED=[k-\)CDkCD=nk(k-\},当a=；时，丽.丽的最小值为

-3；

综上，丽•丽的最小值为-3；

故选：B.

【点睛】

方法点睛：根据向量定义把向量点积转化为函数问题来求解最值.

题型四：几何意义法

例28.(2022・全国•高三专题练习(理))已知平面向量人2满足75=-3，卜-4=4,二]与[很

的夹角为?，则的最大值为.

【答案】1+2百

【解析】

【分析】

利用向量的模的运算求得|£+母=2,设平面向量b，工都是以。为起点，终点分别是48,c,求得平面

向量Z+B的终点N的轨迹，由与2-另的夹角为?，得到C的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的

最大值，即为所求.

【详解】

解：S=-3»卜/一.=4,’+,=彳+44•,=2,

如图所示，设平面向量2,5，2都是以。为起点，终点分别是4民。，

则平面向量£+石的终点N到O的距离为2,

设的中点为M则|MN]=1".N在以M为圆心，半径为1的圆周上.

由与的夹角为?，.•.点C在以Z8为弦的圆周角为？的优弧上，

当GMN共线，且C,N在直线的两侧，并且CA/J_48时，|C网最大，也就是，-£-目取得最大值，

此时|CM|=2为㈣=1,|CW]=1+20，

C

A

故答案为：1+2道.

例29.（2022•上海市建平中学高一阶段练习）已知平面向量满足网=2,且a与的

夹角为135，则同的取值范围是.

【答案】（。，2应]

【解析】

【分析】

画出图形，表示出而=2，AC=Z?.从而确定NABC=45。，利用正弦定理得到同=20sinC，结合

Ce（0,%）,求出同的取值范围.

【详解】

设通=2，/如图所示，

则与。=彳一£,

因为g与，-a的夹角为1351

所以NABC=45°,

因为AC=/|=2,所以由正弦定理得：

|«|同_2一年

碇=而杳=正"，所以同=2血sinC，

T

因为。£（0,：九），所以冏=20§山0£（0,2a]

BC

故答案为：(。，20]

例30.(2022・全国•高三专题练习)在平面内，若有团=无万=1,忖=2,(3-0(21-1-5)=0,则己5的

最大值为_______.

[答案]

4

【解析】

【分析】

由条件可以求得<1出>=(,从而可作方=&，砺=5,并连接AB,取AB的中点D,连接OD,则有

/=字，根据条件可以得到g-Z)_LC-字)，可作诙=八并连接AC,DC,从而可以得到

AC1DC,即点C在以AO为直径的圆上，从而得出当方在砺卜.的投影最大时，最大.通过计

算，即得出反在函上的投影最大值，从而得出小5的最大值.

【详解】

解：根据条件，M・5=|万1151cos<",5>=2COS<M,5>=1；

-1

cos<a,b>=—!

2

<a,b>=^,如图，作砺=],砺=5,则NAOB=1,连接AB,取AB的中点。，连接QD,则

而=生也；

2

由(^一少)«2己_汗_5)=0得，(c-dXc-^^-)=0；

2

./一八।/j日+6、

••(c-a)±(c———)；

2

作诙=C，连接AC,CD,则而=3-4配=

2

:.AC.LDC；

「.C点在以AO为直径的圆上；

•••当C运动到圆的最右侧时，丽在丽上的投影最大，即d石最大；又OG=O4cosg=g,

13

:.GB=2——=-,

22

又ABWSABAG,且AE=-AB,

4

1133

所以G”=—G3=—x_=_,

4428

所以反在而上的最