2022-2023学年吉林省长春市南关区博硕学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2022-2023学年吉林省长春市南关区博硕学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共8小题，共24分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在数轴上表示下列四个数中，在0和−1之间的数是(

)A.−112 B.−13 C.2.预计到2025年，中国5G用户将超过460000000.将460000000用科学记数法表示为(

)A.4.6×109 B.46×107 C.3.如图是某个几何体的三视图，该几何体是(

)A.三棱柱

B.圆柱

C.六棱柱

D.圆锥

4.下列计算正确的是(

)A.a⋅a2=a2 B.a5.不等式3x+3≤0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.6.如图，沿AC的方向开山修路，为了加快速度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B，取∠ABD=148°，已知BD=600米，∠D=58°，点A，C，E在同一直线上，那么开挖点E离点D的距离是(

)

A.600sin58°米 B.600cos58°米 C.600tan58°米 D.600cos7.已知▱ABCD，根据图中尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是(

)

A.∠DAE=∠BAE B.∠DEA=12∠DAB

C.DE=BE8.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y=2x(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于A.2 B.3 C.4 D.6二、填空题（本大题共6小题，共18分）9.比较大小：5

2(填入“>”或“<”号)10.分解因式：2a2−8=

11.一元二次方程x2−2x+1=0根的判别式的值为______．12.已知l1//l2，一个含有30°角的三角板按照如图所示位置摆放，则∠1+∠2的度数为

．

13.如图，等边△ABC中，点E、F分别在边BC、AB上，把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在边AC上.若∠AFD=90°，CD=1，则BC的长为______．

14.已知二次函数y=x2+2x−2，当时，函数值y的最大值为1，则a的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6分）15.以下是小鹏化简代数式(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)的过程．

解：原式=a2−2a+4+a2−1−2a2+6a…………①

=(a2+a2−2四、解答题（本大题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题分)

甲、乙两个不透明的袋子中分别装有三个标有数字的小球，小球除数字不同外，其余均相同，甲袋中三个小球上分别标有数字1、2、7，乙袋中三个小球上分别标有数字4、5、6，小明分别从甲、乙口袋中通随机摸出一个小球，用画树状图(或列表)的方法，求小明摸出两个小球上的数字之和为4的倍数的概率．17.(本小题分)

为迎接五⋅一国际劳动节，某商店准备采购一批服装，经调查，用1000元采购A种服装的件数与用800元采购B种服装的件数相等，A种服装每件的进价比B种服装多10元，求B种服装每件的进价．18.(本小题分)

如图，BC为⊙O直径，点A是⊙O上任意一点(不与点B、C重合)，以BC、AB为邻边的平行四边形ABCD的顶点D在⊙O外．

(1)当AD与⊙O相切时，求∠B的大小．

(2)若⊙O的半径为2，BC=2AB，直接写出AC的长．19.(本小题分)

如图，在4×4的格点图中，△ABC为格点三角形，即顶点A、B、C均在格点上，利用无刻度直尺按要求完成下列各题，并保留作图痕迹；

(1)请在图①中AB边上找一点M，使S△BCM=12S△ABC；

(2)请在图②中△ABC内部(不含边界)20.(本小题分)

如图(1)，A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道(看成两条互相平行的线段).甲是一名游泳运动健将，乙是一名游泳爱好者，甲在赛道A1B1上从A1处出发，到达B1后，以同样的速度返回A1处，然后重复上述过程；乙在赛道A2B2上以1.5m/s的速度从B2处出发，到达A2后以相同的速度回到B2处，然后重复上述过程(不考虑每次折返时的减速和转向时间).若甲、乙两人同时出发，设离池边B1B2的距离为y(m)，如图2表示甲到池边B1B2的距离y(m)与运动时间t(s)的函数图象．

(1)赛道的长度是______21.(本小题分)

【探究】在一次数学课上，老师出示了这样一道题目：“如图，在矩形ABCD中，AC：为对角线，AB<AD，E、F分别为边BC、AD上的点，连结AE、CF，分别将△ABE和△CDF沿AE、CF翻折，使点B、D的对称点G、H都落在AC上，求证：四边形AECF是平行四边形．”以下是两名学生的解题方法：

甲学生的方法是：首先由矩形的性质和轴对称的性质证得AB=CD，AD//BC，∠AHF=90°，∠CGE=90°，易得AH=CG，可得△AFH≌△CEG(ASA)，由平行四边形的判定定理可得结论．

乙学生的方法是：不利用三角形全等知识，依据平行四边形的定义证明．

(1)甲学生证明四边形AECF是平行四边形所用的判定定理的内容是______．

(2)用乙学生的方法完成证明过程．

【应用】当学生们完成证明后，老师又提出了一个问题：

若四边形AECF是菱形，则tan∠DAC的值为______．22.(本小题分)

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点P从A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.当点P不与点A、C重合时，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，以PC、PQ为边作矩形PQHC.点H恰好落在直线BC上，设矩形PQHC与△ABC重叠部分的图形面积为S(平方单位)，点P的运动时间为t(秒)．

(1)证明矩形PQHC的周长是一个定值．

(2)当矩形PQHC为正方形时，求t的值．

(3)在整个运动过程中，存在全等三角形时，求S的值．

(4)矩形PQHC的对角线PH和CQ的交点为M，作点Q关于直线AB的对称点N，当MN与△ABC的边平行或者垂直时，直接写出此时的t值．23.(本小题分)

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c(b、c为常数)经过点A(0,−3)和点B(3,0)，点M在此抛物线，点M的横坐标为m，点M不与A、B重合．

(1)求此抛物线所对应的函数表达式．

(2)当S△OAM=2S△AOB，求点M的坐标．

(3)作点A关于抛物线对称轴的对称点为点C，当点M到直线AC的距离是点M到x轴距离2倍时，求m的值．

(4)设点E的坐标为(−m−2,m)，点F的坐标为(2m−2,m)，连接EF.当抛物线在B、M两点之间的部分(包含B、M两点)与线段EF答案和解析1.【答案】B

解：−112<−1<−13<0<14<123，

∴在0和−1之间的数是2.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可解答．

【解答】

解：将460000000用科学记数法表示为4.6×1083.【答案】C

【解析】【分析】

由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

【解答】

解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图及左视图分析可知为六棱柱，

故选C．

4.【答案】C

解：A、a⋅a2=a3，故原题计算错误；

B、a3÷a=a2，故原题计算错误；

C、(ab2)2=5.【答案】B

解：3x+3≤0，

3x≤−3，

x≤−1，

在数轴上表示为：．

故选：B．

首先解出不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．

此题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画).在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．

6.【答案】B

解：∵∠DBE=180°−∠ABD=180°−148°=32°，

∴∠E=180°−32°−58°=90°，

∴△BDE是直角三角形，

∵BD=600米，

∴开挖点E离点D的距离DE=600cos58°米．

故选：B．

根据邻补角的定义求出∠DBE=32°，然后判断出△BDE是直角三角形，再根据余弦定理列出算式，求出点E离点D的距离即可．

本题考查了解直角三角形，用到的知识点是邻补角的定义和余弦定理，判断出△BDE是直角三角形是解题的关键．

7.【答案】C

解：A、由作法可知AE平分∠DAB，所以∠DAE=∠BAE，故本选项不符合题意；

B、∵CD//AB，∴∠DEA=∠BAE=12∠DAB，故本选项不符合题意；

C、无法证明DE=BE，故本选项符合题意；

D、∵∠DAE=∠DEA，∴AD=DE，∵AD=BC，∴BC=DE，故本选项不符合题意．

故选：C．

根据角平分线的性质与平行四边形的性质对各选项进行逐一分析即可．

本题考查的是作图8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA的长是解题关键．过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，得出CEBD=AEAD=ACAB，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根据三角形面积公式求解即可．

【解答】

解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，

∴CEBD=AEAD=ACAB，

∵OC是△OAB的中线，

∴CEBD=AEAD=ACAB=12，

设CE=x，则BD=2x，9.【答案】>

【解析】【分析】

根据被开方数越大，算术平方根越大，可得答案．

本题考查了实数比较大小，被开方数越大，算术平方根越大．

【解答】

解：5>2，5>2，

10.【答案】2(a+2)(a−2)

解：2a2−8

=2(a2−4)

=2(a+2)(a−2)，

故答案为：2(a+2)(a−2)11.【答案】0

解：∵a=1，b=−2，c=1，

∴△=(−2)2−4×1×1=0．

故答案为0．

把a=1，b=−2，c=1代入△=b2−4ac中计算即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与12.【答案】90°

解：如图，过直角顶点作l3//l1，

∵l1//l2，

∴l1//l2//l3，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，13.【答案】2+解：∵把△BEF沿直线EF翻折，使点B的对应点D恰好落在AC上．若∠AFD=90°，

∴∠BFE=∠EFD=45°，

∵等边△ABC，

∴∠B=∠C=60°，

∴∠FEB=∠FED=180°−45°−60°=75°，

∴∠DEC=180°−75°−75°=30°，

∴∠EDC=180°−30°−60°=90°，

∵CD=1，

∴CE=2，BE=DE=3，

∴BC=CE+BE=2+3．

故答案时：2+3．

根据等边三角形的性质和翻折得出∠DEC=30°，进而得出△CDE是直角三角形，利用含30°的直角三角形的性质解答即可．

14.【答案】−3

解：∵y=x2+2x−2=(x+1)2−3，

∴抛物线开口向上，顶点坐标为(−1,−3)，

当x=时，y=+1−2=−，

∴x=a时，y=a2+2a−2=1，

解得a=−3或a=1(舍)，

故答案为：−3．

15.【答案】①

完全平方公式运用错误

解：(1)小鹏在第①步开始出错，(a−2)2≠a2−2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．

故答案为：①，完全平方公式运用错误．

(2)(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)

=a2−4a+4+a2−1−2a2+6a

=2a+3．

∴当a=−16.【答案】解：如图所示：

，

P(小明摸出的两个小球上的数字之和为4的倍数)=29．【解析】画树状图得出所有9种等可能的结果数，然后根据概率公式求解．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．

17.【答案】解：设B种服装每件的进价为x元，由题意可得：

1000x+10=800x，

解得：x=40，

经检验得：x=40为原方程的解，且符合题意，

答：B【解析】直接根据题意表示出采购A、B种服装的件数，进而得出等式求出答案．

此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．

18.【答案】解：(1)连接OA，如图1所示：

∵AD与⊙O相切，

∴AD⊥OA，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴OA⊥BC，

∵OA=OB，

∴△OAB是等腰直角三角形，

∴∠B=45°；

(2)连接AC，如图2所示：

∵BC为⊙O直径，

∴∠BAC=90°，

∵BC=2AB，

∴∠ACB=30°，

∴∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

∴AC的长=120⋅π×2180=【解析】(1)连接OA，由切线的性质得出AD⊥OA，由平行四边形的性质得出AD//BC，得出OA⊥BC，则△OAB是等腰直角三角形，即可得出∠B=45°；

(2)连接AC，由圆周角定理得出∠BAC=90°，证出∠ACB=30°，得出∠B=60°，由圆周角定理得出∠AOC=2∠B=120°，再由弧长公式即可得出答案．

本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．

19.【答案】解：(1)如图①中，点M即为所求；

(2)如图②中，点N即为所求．

【解析】(1)利用网格特征作出AB的中点M，连接CM即可；

(2)利用网格特征作出AB，AC的中点E，F，连接EF，在EF上取一点N，连接BN，CN即可．

本题考查作图−应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

20.【答案】50

2

解：(1)由图象，得赛道的长度是：50米，

甲的速度是：50÷25=2m/s．

故答案为：50，2．

(2)当50<t≤75时，设y甲=pt+q，

将(50,50)，(75,0)代入，

得50=50p+q0=75p+q，

解得p=−2q=150，

则y甲=−2t+150(50<t≤75)．

(3)设经过x

s后两人第三次相遇，则(1.5+2)x=250

得x=5007，

∴第三次相遇时，两人距池边B1B2有150−5007×2=507m.

(1)由函数图象可以直接得出赛道的长度为50米，由路程÷时间21.【答案】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

3解：【探究】(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，AD//BC，

由翻折可知：∠AHF=∠CGE=90°，AG=AB，CD=CH，

∴AG=CH，

∴AH=CG，∵∠FAH=∠ECG，

∴△AFH≌△CEG(ASA)，

∴AF=EC，∵AF//EC

∴四边形AECF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．

故答案为一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

(2)∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴AF//CE，

∵AB//CD，

∴∠BAC=∠ACD，

∵∠EAG=12∠BAC，∠ACF=12∠ACD，

∴∠EAG=∠ACF，

∴AE//CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【应用】∵四边形AECF是菱形，

∴∠DAC=∠EAC，

由翻折可知：∠BAE=∠EAC，

∴∠BAE=∠EAC=∠CAD，

∵∠BAD=90°，

∴∠DAC=30°

∴tan∠DAC=tan30°=33．

故答案为33．

【探究】(1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；

(2)22.【答案】解：(1)∵线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，

∴PQ=AP，

∴矩形PQHC的周长=2(PC+PQ)=2(PC+AP)=2AC=8，

故矩形PQHC的周长是一个定值，值为8；

(2)矩形PQHC为正方形时有：PQ=PC．

∵PQ=AP，

∴AP=PC，

∴AP=12AC=2，

∵点P从A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．

∴t=2(3)令PQ与AB交点为D，HQ与AB交点为E，

∵线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴tan∠A=BCAC=34，

∵AP=t，

∴PD=tan∠A⋅AP=34t，PC=AC−AP=4−t，

∵四边形PQHC为矩形

∴PQ=CH=AP=t，∠CPQ=∠Q=90°，

∴DQ=PQ−PD=t−34t=14t，∠APD=90°=∠Q，

∵∠ADP=∠EDQ，

∴△APD∽△EQD，

∴APEQ=PDQD=3t414t=3，

∴EQ=13AP=13t，

∴S=S矩形PQHC−S△DQE=PQ⋅PC−12DQ⋅QE=(4−t)⋅t−12×14t⋅13t=4t−2524t2(0<t<4)①

当△APD≌△EHB时，

∵△APD≌△EHB，

∴HB=PD=34t，

∴CH=CB−HB=3−34t，

∴3−34t=t，解得t=127，

把t=127代入S=4t−2524t2中，得S=18649②.

当△APD≌△EQD时

∵△APD∽△EQD，APEQ=3，

∴该种情况舍去．

③当△DQE≌△BHE时，

∵△DQE≌△BHE，

∴BH=DQ=14t，

∴CH=CB−BH=3−14t=t，

解得t=125代入S=4t−2524t2中得S=185．

综上当t=127时，S=18649；当t=125时，S=185；

(4)当MN⊥AB时，如下图，

∵点Q关于直线AB的对称点是N，

∴当MN⊥AB时，点Q、N、M三点共线，令NQ与AB交点为O，

∵四边形PQHC为矩形，

∴PH=CQ、CM=12CQ、MH=12PH，

∴CM=MH，

∴∠PHC=∠MCH，

∵MN⊥AB，

∴∠AOC=90°，

∴∠A+∠ACQ=90°，

∵∠MCH+∠ACQ=90°，

∴∠MCH=∠A，

∴∠PHC=∠A，

∵∠PCH=∠BCA，

∴△PCH∽△BCA，

∴PCHC=BCAC=34，

∴根据(3)可知4−tt=34解得t=167，

当MN⊥AC时，如下图，

连接NQ交AB于点O，延长NM交AC于点K、延长MN交AB于点F，则有KF⊥AC，

∵四边形PQHC为矩形，

∴∠CPQ=∠PQH=∠PKF=90°，

∴四边形PKFQ为矩形，

∴QF=PK，∠PKM=90°，

∴∠CKM=90°，

∵∠PCQ=∠KCM，∠CPQ=∠CKM=90°，

∴△CKM∽△CPQ，

∴CKCP=CMCQ=12，

∴CK=12CP=PK，

∴QF=PK=12(4−t)，

∵点Q关于直线AB的对称点为N，

∴NQ⊥AB，

∴∠QOE=90°=∠ACB，

∵四边形PQHC为矩形，

∴PC//QH，

∴AC//QE，

∴∠A=∠OEQ，

∴△OEQ∽△CAB，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=AC2+BC2=5，

∴OQQE=CBBA=35，

∵EQ=13t见(3)

∴OQ=35×13t=15t，

∵点Q关于直线AB的对称点为N，

∴QN=2OQ=25t，

∵△OEQ∽△CAB，

∴∠OQE=∠CBA，

∵∠NFQ=∠ACB=90°，

∴△NFQ∽△ACB，

∴NQFQ=ABCB=53【解析】(1)矩形PQHC的周长=2(PC+PQ)=2(PC+AP)=2AC=8；

(2)矩形PQHC为正方形时有PQ=PC，根据题意即可解答；

(3)注意分类讨论，先求出关于S的函数，再分别解当△APD≌△EHB时、当△APD≌△EQD时、当△DQE≌△BHE时t的值，代入函数中即可求解；

(4)注意分类讨论，当MN⊥AB时、当MN⊥AC时、当MN⊥BC时，分别列出关于t的等式，解出方程即可．

本题属于四边形综合题，考查了三角函数、勾股定理、三角形全等的性质、三角形相似的判定及性质、矩形的判定及性质、二次函数等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．

23.【答案】解：(1)把点A(0,−3)和点B(3,0)代入到抛物线y=x2+bx+c中得：9+3b+c=0c=−3，

∴b=−2c=−3，

∴抛物线解析式为y=x2−2x−3；

(