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例析线段的垂直平分线如图直线PQ⊥AB于点O，且平分线段AB则PQ是线段AB的垂直平分线，线段的垂直平分线有什么性质呢？我们在PQ上任取一点C，连结AC、BC，会得什么结论呢？由上述条件可证出△ACO≌△BCO（SAS）从而推出AC=BC，AC、BC分别是点C到线段AB的两个端点的距离，归纳为。定理：线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。反过来，将定理的条件与结论对换，得到的命题为：和线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题吗？如图点C到线段AB两端点的距离为AC和BC若AC=BC，过点C作CD⊥AB于D根据等腰三角形的性质，所以CD也平分AB。∴点C在AB的垂直平分线上，此命题是真命题。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。综合上述定理及逆定理：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有的点的集合。例题分析例1已知：如图△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点O是AD上一点，求证：OB=OC。此题证法很多，用垂直平分线性质证明很简单。证明：∵AB=AC，AD平分∠BAC（已知）∴AD⊥BC于DBD=DC（等腰三角形顶角平分线平分底边垂直于底边）∴AD是BC的垂直平分线。∵点O在AD上（已知）∴OB=OC（垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）例2已知：△ABC中，AB=AC=8cm,∠A=50°，BC=3cm，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，求：（1）∠EBC的度数；（2）△BEC的周长？解：（1）∵ED是AB的垂直平分线（已知）∴EA=EB（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴∠A=∠1=50°（等边对等角）又∵AB=AC∴∠ABC=∠C=65°（等边对等角）∴∠EBC=∠ABC-∠1=65°-50°=15°解：（2）∵AC=8cmBC=3cm∴C△BEC=BC+BE+E

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