时间序列预测方法

时间序列预测方法第1页/共107页市场营销2012---1/2/3Bequiet!Shutyourmouth!!第2页/共107页

Marketsurvey&Forecast

市场调查与预测主讲：雷思友系主任/副教授/硕导安徽理工大学经济与管理学院工商管理系

2014年8月第3页/共107页

在我们的生活中，有时候需要对未来的经济现象进行预测。而预测的依据就是已经发生的经济现象，当把历史数据按照时间顺序排列进行分析、归纳、总结，就可从中得到一些规律东西，并利用这些规律进行预测。而时间序列预测法是市场预测中一个重要方法之一。时间序列是指各种各样的社会、经济、自然现象的数量指标依时间秩序排列起来的统计数据(动态)。例如，大学的每年招生人数是依时间变化的，这就是一种时间序列。第六章时间序列预测方法第4页/共107页时间序列预测法是根据历史资料和数据，按照时间序列所反映的经济现象的发展过程、方向和趋势、将时间序列外推或延伸，以预测经济现象未来可能达到的水平。时间序列预测法特点

在时间序列中，数据的大小受到各种因素的影响。数据的变化趋势也表现出各种形状，通常根据这些影响因素将数据的变化趋势分为四大类：长期趋势、季节趋势、循环趋势、和不规则变动。

对于前三种数据趋势预测问题，由于数据呈现某种规律性，因此能够将数据进行简化、分析，从而使预测成为可能；而不规则变动是指由某种偶然因素引起的突然变动，如战争的发生、政权的更迭、重大的自然灾害（地震、海啸）等，预测的难度就大，有的甚至无法预测。第5页/共107页一、时间序列分析时间序列一般用：y1,y2,…,yt

…;表示，其中t—时间在时间序列中，每个时期变量数值的大小，都受到许多不同因素的影响。例如，手机销售量受到居民的收入、质量，功能、价格等因素的影响。因此，时间序列按性质不同分成以下四类：第一节时间序列概述

时间序列预测法早在国外应用，国内是在二十世纪60年代初应用于水文预测，随计算机的广泛应用，在许多领域已经应用，并取得了很好的效果。目前，已成为世界各国进行市场预测的基本方法。第6页/共107页1、长期趋势(Long-termTend)

指受某种根本性因素的影响，时间序列在较长时间内朝着一定的方向持续上升或下降，以及停留在某一水平上的倾向。如图6-1所示。时间时间时间销售额销售额销售额（a）上升变动趋势图(b)下降变动趋势图(c)水平变动趋势图

图6-1时间序列数据长期趋势变化曲线.....第7页/共107页2、季节变动(SeasonsVariety)

指由于自然条件和社会条件的影响，时间序列在一年内随着季节的转变而引起某一因子呈周期性的变动。例如，农作物的生长季节影响，导致农产品加工业的季节变动。季节变动的周期比较稳定，一般，周期为一年。季销售额年销售额时间时间图6-2时间序列数据季节变化曲线图6-3时间序列数据循环变化曲线第8页/共107页3、循环变动(Alternationvariety)

如图4-3所示。循环变动与季节变动有相似之处，时间序列都会在周期内有波动，而季节波动的时间序列周期长短固定；而循环变动的时间序列波动较长、周期长短不一，少则一两年，多则数年甚至是数十年，周期不好预测。4、不规则变动(IrregularVariety)

它是由各种偶然性因素引起的无周期变动。又可分为突然变动和随机变动。例如，战争、自然灾害、地震、意外事故的改变所引起的变动都属于突然变动；而随机变动是由随机因素所产生的影响。（前两天，日本地震）二、时间序列的组合形式

时间序列是由长期变动、季节变动、循环变动和不规则变动四类因素组成。四类因素的组合形式，常见的有以下几种类型：第9页/共107页

对于一个具体的时间序列，由哪几类变动组合，采用哪种组合形式，应根据所掌握的资料、时间序列、及研究的目的来确定。下面，我们将要分别介绍这类问题的预测方法。第10页/共107页

平均数法是一种传统的趋势变动分析预测法，它通过计算时间序列一定项数的平均数，来估计模型参数，建立趋势变动分析预测模型进行外推预测。一、全列算术平均法

是移动平均法的一种，它含有算术平均法、几何平均法、加权平均法等。1、算术平均法设时间序列为：第二节平均数预测法第11页/共107页（2）预测值可用最后一年的每月平均值或数年的每月平均值；（3）当观察期的长短不同，预测值也随之不同（误差）若误差过大，就会使预测失去意义，因此，预测时应确定合理的误差，误差公式为：（4）当时间序列波动较小时，预测期可短一些；反之，可长一些。用此公式应注意：

（1）时间序列波动较小的情况下使用；第12页/共107页1、显著性水平（α）—本来正确的数据却被错误的否定掉，即犯弃真错误，犯此错误的概率称为显著性水平。β—本来错误的数据却被认为是正确的而被保留下来，即犯存伪错误，犯此错误的概率记作β。(n-m-1)—自由度。其中：n—时间序列的个数

m—自变量的个数2、标准差（S）—实质上是平均差，它反映个体与平均值差别的程度。补充资料第13页/共107页

请你根据食盐在2001年-2004年的每月销售量见表6-1所示，预测2005年的每月销售量。月年2001年2003年2003年2004年132833029833523313243173213360348328346431836033036353243273233296294342348327734236034236883483573513509357321318341103212973363121133031835432712348354358351全年平均4001403840034070表6-1食盐的销售量及平均值算术平均预测法举例1第14页/共107页解：由表6-1可知，方法（1）以2001年~2004年的4年的月平均值作为2005年的预测值，则有：第15页/共107页

在95%的置信度下，确定2005年每月预测区间为：方法（2）

以2004年每月的平均值作为1998年的每月预测值结论比较(1)、(2)可知：方法(1)精确度高。第16页/共107页

某商店汗衫的销售量如表6-2所示，试预测第第五年每月的销售量。月年2001年2002年2003年2004年116.017.320.117.8219.021.022.020.7321.323.025.023.1425.027.029.225.7532.836.038.535.8665.270.277.070.8799.0107.0118.0108.08131.0140.2152.8141.3980.587.294.087.21038.041.445.041.51122.224.026.024.11218.419.822.520.2全年平均47.451.255.8表6-2某商店汗衫的销售量统计表单位：百元问题第17页/共107页由表6-2可知：（1）1~12月内出现季节波动，特别是在6~8月份，要比淡季高出2~3倍。（2）汗衫销售量还出现长期变动趋势（每一年的销售量逐年增加）在这种情况下，用算术平均法求第四年每月的平均值，显然误差较大,就不能用这种方法第18页/共107页2、几何平均(1)n个变量值乘积的n次根;(2)适用于对比率数据的平均;(3)主要用于计算平均增长率;(4)G的确定方法：①根据公式直接计算②(5)可看作是平均数的一种变形。第19页/共107页问题1

某水泥厂1999年的水泥产量为100万吨，2000年与1999年相比增长率为9%，2001年与2002年相比增长率为16%，2002年与2001年相比增长率为20%，求各年的平均增长率。解：第20页/共107页问题2

一位投资者购有一种股票,在2000,2001,2002,2003年收益率分别为4.5%,2.1%,25.5%,1.9%,计算其平均收益率。第21页/共107页适用条件：具有对比或近似对比关系的时间序列。几何平均预测法第22页/共107页观察期（年）9192939495969798990001020304销售额（万元）718183908987929610095145105120142

某企业1991~2004年的销售额资料如表6-3所示，预测该企业2005年的销售额表6-3某企业1991~2004年的销售额问题3第23页/共107页解:

（方法一）由预测公式直接计算(略)(方法二)由环比指数进行预测预测步骤如下：（1）以上年度的基数分别求各年的环比指数。

1991年的环比指数=81/71×100%=114.08%2004年的环比指数=83/81×100%=102.47%,

同理可得出各年的环比指数，见表（2）求环比指数的几何平均数，即发展速度。可用两种方法：①直接用所求得的环比指数，求平均发展速度。第24页/共107页②采用对数运算，求得的环比指数的几何平均数，见表。

G=arclg∑lgxi/n=arclg2.0231=105.46

平均发展速度为5.52%。两种方法所得结果梢有差异，是由于计算中四舍五如的原因。（3）求环比指数几何平均数的简便算法。以1991年销售额为x0（基数），……，2004年销售额为xn（当前期），那么其环比指数的几何平均数为：第25页/共107页观察期实际销售额环比指数（x）lgx（1）（2）（3）（4）199171.00199281.00114.082.0572199383.00102.472.0106199490.00108.432.0352199589.0098.891.9951199687.0097.751.9901199792.00105.752.0243199896.00104.352.01831999100.00104.172.0177200095.0095.001.97772001145.00153.6320072.411.85982003120.00114.292.05802004142.00118.332.0727∑/n2.0231

表6-4

1991~2004年销售额及几何发展速度单位：万元第26页/共107页

是在求平均数时，根据观察期各资料重要性的不同，分别赋予不同的权重，然后再平均的方法。特点：加权后的平均值包含了长期趋势变动。3、加权平均法

第27页/共107页ω的选择原则:

由表达式可知,ω的选择不同,近期数据的数据权重选择大一些;远期数据权重选择小一些。有三种形式:(1)当

xt

变动不大时,采用等差级数的形式,1,2,…,n(2)当xt变动较大时,采用等比级数的形式,1,2,4,8…,(3)当xt变动不大时,采用0.2,0.3,0.5,…等。第28页/共107页

某商店近几年的资料如表6-5所示，试预测1998年的销售额。

表6-5

1993~1997年销售额及赋权权值单位：万元观察期销售额Xi权重ωiωiXi1993401401994602120199555316519965543001997755425∑315151050问题:第29页/共107页

是将观察期的数据，按时间先后顺序排列，由远及近，以一定的跨越期进行移动的平均，求得的平均值,即：x1,x2,…,xn，方法：

每次移动平均总是在上次移动平均的基础上，去掉一个最远的数据，增加一个紧挨跨越期后面的新数据新数据，保持跨越期不变，每次只向前移动一步，逐项移动，滚动前移。下面具体介绍如下：二、移动平均法分析:由表可知,随着时间的推移,销售额逐年稳步的增加,若用算术平均或几何平均,其预测值较小,不能刻化时间序列的长期趋势.而加权平均法只要ω选取的好,就能较好的反映长期趋势,故选用加权平均法进行预测。第30页/共107页

（一）一次移动平均法1、原理第31页/共107页第32页/共107页

某城市汽车配件销售公司某年1月至12月的化油器销售量如表6-6所示，请预测明年1月的销售量。

问题：

移动平均法中n的大小比较月份123456789101112

销售量423358434445527429426502480384427446第33页/共107页月三期移动平均预测注：右图,

兰线为n=3,

红线为n=5.图6-4解：

（1）分别取N=3，和N=5

由预测公式：其结果作图分别为：第34页/共107页1、由图6-4可知：销售量的随机波动较大，经过平均移动法计算后，随机波动显著减少，即较大程度消除了随机因素的影响。2、n的取值愈大，修匀的程度也愈大，因此波动也愈小。但对实际销售量的真实变化趋势反应也愈迟钝；反之，N的取值愈小，对实际销售量的真实变化趋势反应也愈灵敏。

讨论1第35页/共107页讨论2

由前面的讨论可知：1、N的取值大小，决定了对实际情况描述误差的大小。故N的取值很重要。N应取多大，才能基本反应真实情况应视具体情况而定。2、在实际应用中，是取几个N值进行试算，比较他们的预测误差的大小。具体方法如下：第36页/共107页

其计算结果表明：应取N=5。第37页/共107页移动平均法特点:

所求得的各序列平均值，不仅构成了新的时间序列，而且新的时间序列与原时间序列相比较，削弱了季节变动、周期变动和不规则变动的影响，具有明显的修复效果，同时又保持了原时间序列的长期趋势变动,正是它具有这种特点，因此，移动平均法在市场预测这被非常广泛的应用。第38页/共107页2、一次平均移动值的位置由的表达式可知：是时间序列的中间值，即放在中间的位置。但实际上是放在跨越期末的位置。这就出现了偏差，即使得预测值落后与实际值n-1/2,为了纠正这种误差，规定将放在n+1/2的位置上。3、一次移动平均法预测的步骤

(1)绘制散点图（根据收集的资料）(2)选择跨越期并计算移动平均值(3)计算趋势变动值(4)当年趋势变动值=当年移动平均值—上年的移动平均值

=n+1/2n

一次移动产生滞后偏差的原因第39页/共107页注意：在以下情况，趋势变动情况可分别处理：①当各年的趋势变动值比较平稳时，可直接采用最后一年的趋势变动值进行预测。②当各年的趋势变动值波动较大时，可采用下面两种方法：（a）趋势变动值=算术平均值（b）趋势变动值=各年的趋势变动值求移动平均，并以最后一个移动平均值作为趋势变动值。（5）计算绝对误差、平均绝对误差绝对误差=（6）建立预测模型第40页/共107页应用1

我国1985~2003年的发电总量基本呈直线上升趋势，具体资料如表所示，请你预测2004年和2005年的发电总量？我国发电总量及一次移动平均值计算表第41页/共107页年份发电总量ytN=7时趋势变动值移动平均趋势变动值1985676198482519857741986716★924.8619879401046.00121.14198811591166.43120.43198913841279.00130.57199015241474.43177.43★146.84199116681630.29155.86155.98199216681783.86153.57166.08199319581952.71168.86176.16199420312137.86185.15177.73199522342329.00191.14185.73199625662530.14201.14195.14199728202718.57188.43227.4219983006293043211.86199930933149.86219.43200032773370.00220.14200135142002377020034107第42页/共107页t500040003000200010000yt19851990199520002005

图我国1985~2003发电量及一次移动平均值的散点图解：（1）绘制散点图由散点图可以看出，发电量基本呈直线上升趋势，可用移动平均法进行预测。N=7时移动平均曲线观察值曲线（2）选择跨越期取N=7。第43页/共107页第44页/共107页第45页/共107页

由上可知，趋势变动值采用不同的算法，其结果很不一样，这三答案都是对的。那么在实际的预测中到底采用哪一个预测值呢？只有决策才能最后选定。第46页/共107页1、二次移动平均法原理

二次移动平均法是对一组时间序列数据先后进行两次移动平均，即在一次的基础上，再进行第二次移动的平均，并根据最后的两个移动平均值的结果建立预测模型，求得预测值。

二次移动平均法与一次移动平均法关系密切。第一，一次移动平均法，存在滞后偏差，使移动平均值滞后于实际观察值的期，而二次移动平均法正是利用这一滞后偏差，把一次、二次移动平均值置于跨越期末的水平上，并建立预测模型，求得预测值。第二，二次移动平均法不是一种独立的方法，它必须在一次移动平均值的基础上再进行第二次移动平均，同时，要与一次移动平均值（最后一项的一次移动平均值）一起才能建立预测模型进行预测。（二）二次移动平均法第47页/共107页2、二次移动平均值计算方法第48页/共107页（1）选择跨越期一般情况下，求二次移动平均时，采用与一次相同的跨越期。（2）计算一次移动平均值（★的第一个放在n=7上

）（3）计算二次移动平均值（★的第一个放在n=7上

）（4）建立二次移动平均法预测模型二次移动平均法预测步骤第49页/共107页应用3

时间序列的数据资料如应用2，试用二次移动平均法预测2006年、2007年的发电量。解：（1）选择跨越期n=7。（2）计算、（3）建立二次预测模型见表第50页/共107页观察期观察值N=7,N=7，196567619668251967774196871619699401970115919711384★924.86197215241046.00197316681166.43197416681279.00197519581474.43197620311630.29197722341783.86★1331.84197825661952.711478.67197928202137.861634.65198030062329.001800.74198130932530.141976.90198232772718.572145.63198335142930432340.37198437703149.863535.51198541073370.002737.98一次、二次移动计算表第51页/共107页

前面介绍的移动平均法存在两个不足之处，一是存储数据数量较大，二是对最近的N期数据等权看待，而对t-T期以前的数据则完全不考虑。因此，预测的结果准确度不高。指数平滑法却有效的克服了这两个缺点。它既不需要存储大量的历史数据，又考虑了各期数据的重要性，而且使用了全部历史资料。因此，指数平滑移动平均法的改进和发展，应用极为广泛。

指数平滑法根据平滑的次数不同，可分为一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等。分别介绍如下：第三节指数平滑第52页/共107页（一）一次指数平滑原理（Onceindexgloss）设时间序列为x1,x2,……xt…一次指数平滑公式为：

（2）（1）（3）（4）一、一次指数平滑第53页/共107页对（1）进行展开，有：第54页/共107页（5）由（5）可知一次指数平滑特点：（1）（2）由于加权系数符合指数规律，又具有平滑功能，故称为指数平滑。第55页/共107页3、权重之和为1，即：令误差et=xt-Ft在指数递推公式（4）中，第56页/共107页

α的选择，既是指数平滑法的灵魂所在，又是应用指数平滑法的难点之一，迄今没有从理论上完全解决，它的确定带有一定的经验性。

通常α取值方法应遵循下列原则：1、当xt波动较大时，取α=

0.1~0.3

（滤去季节波动、不规则变动，使预测模型不易受它们的影响，保留长期趋势描述实际观察值）2、当xt波动较小时，取α=

0.6~0.8，（加大近期数据的比重，提高修正误差程度使预测模型保留长期趋势来描述实际观察值）3、在实际应用中，可取若干个α值进行比较，选择一个误差最小的α。（二）α的选择

第57页/共107页

用一次指数平滑进行预测，除了选择α的值外，还要确定初始值初始值是预测者估计或指定的。1、当时间序列N≥10时，此时的对以后预测值的影响较小，故可直接选用第一个观察值即：2、当时间序列N＜10时，此时的对以后的预测值的影响较大，这时一般采用最初几期的观察值的算术平均值作为初始值。（三）初始值的确定第58页/共107页（四）一次指数平滑预测步骤1、确定初始值2、选定平滑系数：α（若不能确定，可选不同的α

）3、计算一次指数平滑值4、计算预测值：5、计算各标准差S，选择一个Smin，6、确定预测值：第59页/共107页

某商店1995~2004年销售额资料如表所示。试预测2005年销售额为多少万元？并已知：α=0.2,α=0.3,α=0.8,S0=x=400年份1995199619971998199920002001200220032004销售额400450503551602657709758809862表1995~2004年商品销售额及一次指数平滑法计算表一次指数平滑预测法举例第60页/共107页

2、α的取值∵历年的销售额都是逐年稳步上升，故可取

α的值小一些，本题取α=0.23、为了对α值有一个较深刻的认识不妨，取α=0.5和α=0.8进行比较。年销.售额

α=0.5

α=0.2实际实际观察值图一次指数平滑思考：第61页/共107页第62页/共107页1995~2004年商品销售额及一次指数平滑法计算表年份销售额

α=0.2α=0.5α=0.8α=0.2α=0.5α=0.8199540040040040000019964504104254404025101997503428.6464490.474.43912.61998551453.1507.5538.997.943.512.11999602482.9554.8589.4119.147.212.62000657517.7605.9643.5139.351.113.52001709556.0657.4659.9153.051.613.12002758596.4707.7745.6161.650.312.42003809638.9758.4796.3170.150.612.72004862683.5810.2848.9178.551.813.1第63页/共107页（4）预测值

（5）计算标准差S，确定预测值当α=0.2时，S1=106062.9α=0.5时，S2=1931.4α=0.8时，S3=140.4∵S3=140.4

最小，∴预测值为：第64页/共107页1、二次指数平滑原理

一次指数平滑虽然克服了移动平均法的缺点，但当时间序列的变动出现直线趋势时，用一次指数平滑发法进行预测，仍存在明显的滞后偏差。因此，必须加以修正。修正的方法与趋势移动平均法相同，即再作二次指数平滑，利用滞后偏差的规律建立直线趋势模型。与一次指数平滑公式基本相似，二次指数平滑基本公式为：2、二次指数平滑预测模型为二、二次指数平滑第65页/共107页

某公司1990~2004年销售收入yt如表所示，试用二次指数平滑法预测2005年和2006年的销售收入各为多少万元？年份199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004销售额6768257747169401159138415241468166819582031223425662820

表4-11历年销售收入数据单位：万元二次指数平滑预测法举例第66页/共107页思考1、确定初始值∵表中的历年实际销售收入可知变化不大，随时间的推移，销售收入逐年增加，并且N=15＞10∴===6762、确定平滑指数α∵历史资料表明基本上是长期稳定的增加的，∴α应取小一些，令α=0.3注意：二次指数平滑预测可用线性趋势数据的方法进行预测。第67页/共107页第68页/共107页年t19901676676676676.00—19912825720.7689.4652.013.4676.019923774736.7703.6769.814.2765.419934716730.5711.7749.38.1784.019945940793.3736.2850.424.5757.4199561159903.0786.21019.850.1874.91996713841047.3864.51230.178.31069.91997815421190.3962.31418.397.71308.41998914681273.61055.71491.593.41516.019991016681391.91156.51627.3100.91584.920001119581561.81278.11845.5121.61728.220011220311702.51405.41999.6127.31967.120021322341862.01542.42181.6137.02126.920031425662073.21701.62444.8159.32318.620041528202297.21880.32714.1178.72604.1表4-11历年销售收入数据单位：万元第69页/共107页

趋势外推法是根据某一事件的历史规律，寻求该事件的变化规律，从而推出事件未来状况的一种比较常见的预测方法。利用趋势外推法进行预测，主要包括六阶段：（1）选择所需的预测的参数（2）收集必要的数据（3）利用数据拟和曲线（最小二乘法）（4）趋势外推（直线、对数、曲线）（5）预测说明（6）研究预测结果在进行决策中应用的可能性。

第四节线性外推预测法第70页/共107页

1、拟合直线方程法的数学模型依据的是最小二乘法，是将时间序列拟合成一条直线趋势，使该直线上的预测值与实际值之间的离差和为最小。设n(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)它们的位置如图，代求的拟合直线AB，它使n个观察值对该直线的离差分别为e1,e2,…,en。其中在AB上方一侧的离差为正离差，下方一侧的离差为负离差。若简单的以离差代数和的大小来反映该直线是否是最佳拟合直线，则可能出现正、负离差的相互抵消使离差的代数和变小，甚至出现完全抵消的情况，即：，这时的拟合直线并非没有偏差。(x1,y1)(x2,y2)(x4,y4)(x3,y3)ei

(x5,y5)eiei图拟合直线方程原理一、直线趋势外推法第71页/共107页（1）最小二乘法原理(Least–SquareMethod)

在Q中，描述了直线方程yt=a+bx与n个观察点的接近程度。误差的大小随直线的位置变化而变化。即误差的值会随着a和b不同而变化。即是a和b的二元函数。第72页/共107页

为了使误差最小，即Q为最小值;可分别对a,b求偏导,并令其为0.则有:注意：在确定直线方程时，时间序列为奇数时，取中间数（n+1/2）的编号为0，那么x的编号就构成了以0中心,的正、负数对称的编号。例如,当n=9时,9+1/2=5,那么就可以编成-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,这时由于∑x=0,可简化计算。（2）（4）（5）（3）第73页/共107页(6)(7)2、拟合直线方程的步骤(1)绘制散点图(2)列表计算求待定系数所需的数据(3)确定待定系数a、b,建立预测模型(4)用拟合直线方程求预测值第74页/共107页

某家用电器厂1994年~2004年利润数据资料如表4-14所示，试预测2005、2006年利润各为多少？年份19941995199619971998199920002001200220032004销售额2003003504005006307007508509501020解：（1）画散点图并观察各个点变化趋势是否可用直线方程来拟合。（2）列表计算求待定系数所需要的数据资料，由于时间序列为11个，即n+1/2=11+1/2=6。故以1990年为中点编号：-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5。19941995199619971998199912001000800600400200图直线绘制图表某家用电器厂1985年~1995年利润及拟合直线方程法计算表单位：万元线性外推趋势预测法举例中心第75页/共107页表的以左边∑x=0,∑yt=6650,∑x²=110;∑xyt=9100.表的右边以0，1，…，10对自变量x进行编号，并求得：∑x=55，∑x²=385；∑xyt=42350(3)确定待定系数，建立预测模型

①按表的左边x编号，有：a=∑

yt/n=6650/11=604.3b=∑xy/∑x²=9100/110=82.7

故左边预测的直线方程为：②按表右边的x编号方法有：第76页/共107页年份利润yixx²xyt

左边xx²xyt

右边1994200-525-1000191.0000191.01995300-416-2000273.711300273.71996350-39-1050356.424700356.41997400-24-800439.1391200439.11998500-11-500521.84162000521.81999630000604.55253150604.5200070011700687.26364200687.22001750241500769.97495250769.92002850392550852.68646800852.620039504163800935.39818550935.32004102052551001018.010100102001018.0∑6650011091005538542350

表某家用电器厂1994年~1904年利润及拟合直线方程法计算表

单位：万元第77页/共107页（4）用拟合直线方程求预测值分别按左、右边直线方程进行预测结果相同，故拟合直线有效。见表3、特点（1）拟合直线方程的一阶差分为一常数，即：（2）直线外推法只适用时间序列呈直线趋势预测。（3）无论远、近的数据不考虑权重。（4）用最小二乘法拟合直线方程消除了不规则的影响，使内插值和外推值都落在拟合的直线上。第78页/共107页原理拟合直线方程根据最小二乘法原理，使观察期对于估计值的离差平方和，再求偏导并令其等于0，求出a,b,最后建立直线方程进行预测。但这种方法的问题是在拟合直线过程，对时间的近期和远期的数据同等对待，求出的预测方程不够精确。而加权拟合法就较好的解决了这个问题。(例题略)二、加权拟合直线方程

第79页/共107页规律，利用对数规律及最小二乘法确定指数方程。然后在进行趋势外推。(1)(2)(3)三、对数预测法是指时间序列的观察值长期趋势呈指数曲线变化(4)第80页/共107页

某公司1992～2004年商品销售额额如表所示，试预测2005年的销售额多少万元？对数预测法举例第81页/共107页年份1992199319941995199619971998199920002001200220032004销售额18729021027039057090015002310405048005400思考：1、根据历年利润额数据表可知：历年利润额基本呈指数曲线，故可用对数趋势外推法。2、∵N=13年，∴取13+1/2=7，即（-7～7）可简化计算。3、确定a和b，得出拟合对数曲线方程。4、根据拟合曲线方程进行预测。表某公司历年销售额表资料第82页/共107页填入表观察期销售额ytxx²lgytx·lgyt

199218-6361.2553-7.531637.31199372-5251.8573-9.286758.52199490-4161.9542-7.817091.791995210-392.3222-6.9667143.981996270-242.4314-4.8627225.841997390-112.59112.5911354.241998570002.75592.7559555.651999900112.95422.9542871.5720001500243.17613.17611367.1020012310393.35363.36362144.37200240504163.60753.60753363.57200348005253.68123.68125275.94200454006363.73243.73248275.61∑20580018235.682435.6824解:(1)列表计算求待定系数,x的编号为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6.根据拟合直线方程(4),列表计算∑lgyt,∑xlgyt,∑x²,并将计算第83页/共107页(2)建立数学模型,计算预测值第84页/共107页

在实际预测中，我们常常碰到的不是我们前面所介绍的形式，而是其他的曲线形式。在这样的情况下，就要用到曲线外推趋势法。这种方法仍然是利用二乘法来拟合曲线方程。介绍如下：设曲线预测模型为：第五节曲线外推预测法第85页/共107页一、二次曲线外推法（一）二次曲线外推法数学模型二次曲线方程为：（1）利用最小二乘法得：（2）第86页/共107页

季节指数法是指某一事件在一年内以季节为周期循环发生，可通过季节指数进行预测。

季节指数可将三至五年资料按月展开或按季展开，然后，考虑它是否受长期趋势波动的影响；还是受随机因素的影响。下面，分两种情形介绍。一、不考虑长期变动趋势的季节指数法（一）按月（季）平均法1、计算历年同月平均数

设每年的月平均数为

ri,i=1,2,…,12

第六节季节指数预测r1=1/n(y1+y13+…+y12n-11)r2=1/n(y2+y14+…+y12n-10)(n-年份)……r12=1/n(y12+y24+…+y12n)(1)第87页/共107页2、计算各年月平均值3、计算各月的季节指数(2)(3)第88页/共107页4、调整各月的季节指数从理论上讲，1至12个月各季节指数之和应等于1200百分点，但在计算季节指数的过程中的近似会使各月季节指数之和（大于或小于）1200点，因此，须调整。即：5、利用季节指数法求预测值第89页/共107页

某商店2001年~2004年电风扇的销售量资料如表，已知2002年4月份销售量为23台，试预测同年5、6月份的销售量为多少？表某商店电风扇销售量及季节指数法计算表单位：台季节指数预测法举例1月份2001年2002年2003年2004年月平均值季节指数调整后季节指数1523237.687.6824453410.2310.23310812101025.5925.594252220212256.2956.2954564806062159.28159.286106110102105106270.58270.5879490959393237.95237.9589081879488225.16225.1696052625858148.40148.4010201218141640.9440.94115546512.7912.7912512025.125.12∑4694514904664691200.011200.01第90页/共107页解：（1）计算历年同月的平均数（2）计算各月平均值第91页/共107页（3）计算各月的季节指数（4）调整各月的季节指数∵k=1200/∑αi=1200/1200.01F1=αik

=7.68%×1200/1200.01=7.68%F2=10.23%×1200/1200.01=10.23%……依次填入表中。第92页/共107页（5）利用季节指数法求预测值∵∴=23

×159.28/56.29=65.08(台)

=23

×270.57/56.29=110.55(台)（二）全年比率平均法是将历年各月（或季节）数值同全年（或季节）平均值之间的比率再加以平均求得季节指数，并用它进行预测的方法。即:其中:yi-历年各月（或季节）数值;y-全年（或季节）平均值,其余与季节指预测法相同.第93页/共107页季节指数预测法举例2

某超市2002~2004年A品牌饮料销售量如表所示：当2005年5月份销售额为330箱时，试预测2005年6、7、8月份的销售量为多少？第94页/共107页

月份单位123456789101112年合计月平均2002箱25124176185300335590610555250741632402702003箱30130180190310340600620560240802033002752004箱28132170200315330590635610245802533602802002月比率%9466569111124219226206932762003年月比率%11476569113124218225204872972004年月比率%1047617111311821122721888299季节指数%1046.763.769.7112.3122.0216.0226.0209.389.328.37.3∑=1200.6调节后季节指数%1046.763.769.7112.2121.9215.9225.9209.289.228.37.3∑=1200.0年份某超市A品牌饮料2002~2004年月销售量及季节指数计算表单位：箱第95页/共107页解（1）计算历年平均月销售量

ŷ2002=1/12×（25+124+…+16）=270（箱）

ŷ2003=1/12×（30+1130+…+20）=275（箱）

ŷ2004=1/12×（28+132+…+25）280（箱）（2）计算历年各月的比率ri。即历年各月销售量同该年平均销售量比的百分数。r2002.1=25/270×100%=9%r2002.1=124/270×100%=46%

……r2002.12=16/270×100%=6%r2003.1=30/275×100%=11%r2003.2=130/275×100%=47%……第96页/共107页r2003.12=20/275×100%=7%r1003.1=28/280×100%=10%r2003.2=132/280100%=47%

……r2004.12=25/280×100%=9%第97页/共107页第98页/共107页二、考虑长期趋势的季节指数法（一）长期趋势的季节指数模型将移动平均值置于跨越期中间位置上，即：n+1/2=6.5上。则预测模型为：第99页/共107页

某企业2000~2004年共有20个季度的销售量Q如表所示，试预测2005年1、2、3、4季度销售量为多少？解：季节指数预测法举例3第100页/共107页观察期9（年、季）期数（x）销售量（Q）4个季度的移