电磁场的数学物理基础知识

电磁场的数学物理基础知识2023/4/131第1页，共47页，2023年，2月20日，星期一第一章

电磁场的数学、物理基础知识1-1电磁场与矢量代数

1-2正交曲面坐标系

1-3标量场及其梯度1-4矢量场的通量、散度与高斯散度定理1-5矢量场的环量、旋度与斯托克斯定理1-6亥姆赫兹定理1-7电磁场麦克斯韦方程组1-8矢量场惟一性定理2023/4/132第2页，共47页，2023年，2月20日，星期一1-1电磁场与矢量代数1.1.1矢量及其表示方法1.1.2矢量相加(叠加)1.1.3矢量的乘积运算2023/4/133第3页，共47页，2023年，2月20日，星期一1.1.1

矢量及其表示方法一个由大小和方向共同确定的物理量叫做矢量。

，

2023/4/134第4页，共47页，2023年，2月20日，星期一1.1.2矢量相加(叠加)，

2023/4/135第5页，共47页，2023年，2月20日，星期一1.1.3矢量的乘积运算

A•B=ABcosθ⑴A•B=B•A⑵(A+B)•C=A•C+B•C⑶λ(A

•B)=(λA)•

B=A•(λB)⑷若A⊥B，则A•B=01.矢量的标量积dotproduct，

两个标量a与b相乘，标量参数之间可用“

”号、“

•

”

号或什么符号也不加，都代表二者之间的倍数关系，即2023/4/136第6页，共47页，2023年，2月20日，星期一2.矢量的矢量积crossproduct

⑴A×B≠B×A

A×B

=－B×A⑵C

•(A+B)=C

•

A

+C

•

B⑶λ(A×B)=(λA)×B=

A×(λB)⑷若A∥B，则A×B=0C=A×B=ABsinθec

ec为垂直于A、B平面的单位矢量，A、B、C服从右手螺旋法则。2023/4/137第7页，共47页，2023年，2月20日，星期一

3.矢量的混合积⑴转换性

C

•

(

A×B)=

A•

(

B×C)=B•

(

C×A)

C

•

(

A×B)=|C|•|A×B|cosθ⑶三个矢量共面的条件

C

•

(

A×B)=0

Cx

Cy

Cz

C

•

(

A×B)=Ax

Ay

AzBx

ByBz⑵坐标表示式2023/4/138第8页，共47页，2023年，2月20日，星期一

4.矢量的三重积

A

×

(B×C）⑴A×(B×C）≠（A×B）×C

不满足结合律⑵A×(B×C）=（A•C)B－(A•B)C

2023/4/139第9页，共47页，2023年，2月20日，星期一

矢量代数运算式均为矢量垂直于所在平面并与成右手螺旋关系。2023/4/1310第10页，共47页，2023年，2月20日，星期一矢量代数运算式2023/4/1311第11页，共47页，2023年，2月20日，星期一场的概念

场是一个以空间位置(x,y,z)和时间(t)为自变量的函数。标量场矢量场稳恒场均匀场——描绘场的函数为标量函数φ=φ(x,y,z,t)——描绘场的函数为矢量函数A=A(x,y,z,t)——不随时间变化的场φ(x,y,z),A(x,y,z)——不随空间变化的场φ(t),A(t)2023/4/1312第12页，共47页，2023年，2月20日，星期一

标量体元矢量面元矢量线元矢量积分运算矢量线积分矢量面积分标量体积分2023/4/1313第13页，共47页，2023年，2月20日，星期一1-2正交曲面坐标系矢量线元把长度元与坐标元之比定义为拉梅(Lame)系数2023/4/1314第14页，共47页，2023年，2月20日，星期一

直角坐标系

2023/4/1315第15页，共47页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1316第16页，共47页，2023年，2月20日，星期一

圆柱坐标系2023/4/1317第17页，共47页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1318第18页，共47页，2023年，2月20日，星期一

2023/4/1319第19页，共47页，2023年，2月20日，星期一球坐标系2023/4/1320第20页，共47页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1321第21页，共47页，2023年，2月20日，星期一，

2023/4/1322第22页，共47页，2023年，2月20日，星期一2023/4/1323第23页，共47页，2023年，2月20日，星期一1-3标量场及其梯度标量场u(x,y,z)的等值面U(x,y,z)=const2023/4/1324第24页，共47页，2023年，2月20日，星期一标量场的梯度(gradient)梯度是描述标量场各点最大空间变化率的量——矢量。2023/4/1325第25页，共47页，2023年，2月20日，星期一▽：哈密尔顿算符(del)哈密尔顿算符

——是一个兼有微分运算和矢量运算双重性质的运算符——服从矢量运算的规则；——代表一种微分运算，服从微分运算规则。①▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量

函数时才代表一种运算。②只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的

位置。▽矢量算子2023/4/1326第26页，共47页，2023年，2月20日，星期一梯度的展开式

P82023/4/1327第27页，共47页，2023年，2月20日，星期一

1-4矢量场的通量与散度矢量场A矢量线——曲线上任一点处场的矢量都沿着（位于）

该点的切线方向2023/4/1328第28页，共47页，2023年，2月20日，星期一矢量场的描述有旋场无旋场2023/4/1329第29页，共47页，2023年，2月20日，星期一矢量场的通量2023/4/1330第30页，共47页，2023年，2月20日，星期一矢量场的散度(divergence)散度也是描述矢量场的一种空间变化率，其数值表征矢量场中任一点处场源的流(发)散程度——标量2023/4/1331第31页，共47页，2023年，2月20日，星期一散度展开式P112023/4/1332第32页，共47页，2023年，2月20日，星期一

1-5矢量场的环量与旋度

若在闭合有向曲线l上，矢

量场A的方向处处与线元

dl的方向保持一致，则环

量大于零；若处处相反，

则环量小于零。因此，环

量既可以用来描述矢量场的涡旋特性，又可以根据其正负判断矢量场的大致的旋转方向。如果任意选择一个闭合曲线，其环量总为零，则说明该矢量场为无旋场，否则称为有旋场。若环量大于零，说明矢量场的涡旋方向与有向曲线的方向大体一致，否则旋转方向与有向曲线的方向相逆。2023/4/1333第33页，共47页，2023年，2月20日，星期一矢量场的旋度(curl)也是一种空间最大变化率，描述矢量场中每一点的涡旋（旋转）强弱程度的量——矢量2023/4/1334第34页，共47页，2023年，2月20日，星期一旋度的展开式

P14广义正交曲面坐标系中旋度的展开式为直角坐标系中拉梅系数均为1，故2023/4/1335第35页，共47页，2023年，2月20日，星期一

1-6矢量场中的常用定理梯度场、散度场和旋度场的关系定理矢量场的积分定理矢量场唯一性定理亥姆霍兹定理2023/4/1336第36页，共47页，2023年，2月20日，星期一

⑴标量场的梯度为无旋场;⑵矢量场的旋度为无源(散)场;⑶无旋场必可表示为标量场的梯度；如，则必存在某一标量场ψ，使

得。⑷无源场必可表示为另一矢量场的旋度；如，则必存在某一矢量场，使得。梯度场、散度场和旋度场

的关系定理2023/4/1337第37页，共47页，2023年，2月20日，星期一

⑸如果一个矢量场B为另一个矢量场的旋度，即，则任意选择的值，矢量场的值不受影响。

这说明不论是有源场，还是无源场，或取任何值，对的涡旋性皆无影响。即矢量场的散度和旋度是彼此独立的，不能相互代替。因此，对于一个矢量场只有同时研究它的散度和旋度才能准确的把握场的变化规律。

2023/4/1338第38页，共47页，2023年，2月20日，星期一(1)高斯(散度)定理2.矢量场的积分定理此定理揭示了矢量场的“表里”关系。(2)斯托克斯定理

此定理揭示了矢量场的“边面”关系。2023/4/1339第39页，共47页，2023年，2月20日，星期一设有矢量场，在以S为界面的区域V内，它的散度和旋度及其S面上的法向分量均已知,3.矢量场唯一性定理2023/4/1340第40页，共47页，2023年，2月20日，星期一4.亥姆霍兹定理1)场与源，源与散度、旋度

矢量场是由场源激发出来的,应把源看作是产生场的起因；矢量场的散度对应于一个激发通量的源；矢量场的旋度对应于一个激发涡旋量(环流量)的源。

进一步说,用场的散度可唯一确场中任一点的通量源密度，用场的旋度可唯一确定场中任一点的环量源密度。2023/4/1341第41页，共47页，2023年，2月20日，星期一假如在有限空间τ内,一个场矢量的散度和旋度处处已给定,边界条件也已确定,那么,这个矢量场就是给定的了.进而这个矢量场还可用无旋场,一个标量函数的梯度;无散场,一个矢量函数的旋度之和来表示,即2)定理2023/4/1342第42页，共47页，2023年，2月20日，星期一说明:

无旋场应存在如下关系:

无散场应存在如下关系:2023/4/1343第43页，共47页，2023年，2月20日，星期一

研究一个矢量场时一定要从散度和旋度两个方面进行。

既要导出矢量场散度应满足的关系，又要导出矢量场旋度应满足的关系，这种关系决定了场的基本性质,故又称为微分形式的基本方程。也可用矢量沿闭合面的通量和矢量沿闭合路径的环流去研究，从而得到积分形式的基本方程。3)定理的意义2023/4/1344