近世代数题库

群1.设f(x)=x4是复数集到复数集的一个映射,则f一1(1)={_______}.2.设T=(134),G=(13)(24),则TG=____________________._____.4.设<a>是任意一个循环群.若|a|=w，则<a>与________________同构；若|a|=n，则<a>与______________同构.A系，如果“~”满足_________________，则称“~”是A510.一个群G的非空子集H做成一个子群的充分必要条件是.12.n次对称群S的阶是____________. 的元素(12)H＝{}.ijijAIA=. 20.设G=<a>是12阶循环群,则G的生成元集合为{}. 21.一个群G的一个子群H的右陪集(或左陪集)的个数叫做H在G中的. 25.一个有限非可换群至少含有____________个元素.GppG__个. 27.一个有限群中元素的个数叫做这个群的. 29.设H是群G的子群，a,b=G，则aH=bH一.SH.元素a的阶只可能是___________.BBGan，则ak的阶等于n的充分必要条件是.n40．设τ＝(1243)(235)=S，那么T一1＝____.T是(奇、偶)置换.541.设~是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：则a所在的等价类a={}.40．设τ＝(1243)(235)=S，那么T一1＝____.T是(奇、偶)置换.541.设~是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：则a所在的等价类a={}.48.设(是集合A到集合B的一个映射,则存在B到A的映射T,使T(=1一(A为;存在B到A的映射T,使(T=1一(为.A49.若群G中的每个元素的阶都有限,则称G为群.若群G中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G为群.50.n阶循环群有个生成元,有且仅有个子群.54.非交换群G的每个子群都是其正规子群,则称G为群.55.n元置换(ii^i)的阶为，[(ii^i)(jj^j)]一1=.二、选择题12k12k12m().A)满射而非单射;B)单射而非满射;C)一一映射;D)既非单射也非满射.2.S中可以与(123)交换的所有元素有().3A)(1),(123),(132);B)(12),(13),(23);C)(1),(123);SD)中的所有元素.333.设Z是以15为模的剩余类加群，那么Z的子群共有()个.3A)2A)2B)4C)6D)8.5.设f是复数集到复数集的一个映射.如果对任意的复数x，有f(x)=x4，则ABiiCi-i};D)空集.AA)x)10xB)x)2xC)x)xD)x)一x.的单位元e和元x的逆元分别是().8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是().A)全体整数对于普通减法;B)全体不为零的有理数对于普通乘法;9.设G是群,a,b,c是群G中的任意三个元素,则下面阶数可能不相等的元素对为().aRR的元素间的四个关系如下,()是R的等价关系.G是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件().GGGD)在G中两个消去律成立.333A)1B)2C)3D)414.设Z是以15为模的剩余类加群，那么，Z的子群共有()个。A)2A)2B)4C)6D)815.指出下列那些运算是二元运算()o在Z中().17.设f:G)G是一个群同态映射，那么下列错误的命题是().A)fA)f的同态核是G的不变子群；B)G的不变子群的逆象是G的不变子群；21C)G的子群的象是G的子群；D)G的不变子群的象是G的不变子群.18.设G,G是两个带有乘法的非空集合，且18.设G,G是两个带有乘法的非空集合，且G~G，则下列结论不正确的是().到B的().A)满射而非单射;B)单射而非满射;C)一一映射;D)既非单射也非满射.则S关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为(则S关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为().25.p(素数)阶有限群的子群个数为().A)0B)1C)2D)p26.6元置换(23)(1356)的阶数为()A)2B)4C)5D)8分别是().N21.设N是群G的正规子群，且G关于N的商群G为五阶群.如果子群N的阶是6，NA)6B)36C)30D)25.22.设集合A含有n个元素，那么A的子集共有()个.A)n!B)n2C)2nD)n(n+1).22bcc27.M是正有理数集合，下列规定不是M的关系的是()aca+c28.设集合A含有n个元素，那么A的代数运算共有()个.A)n!B)n2C)nnD)nn2()4.群G的任意个子群的交仍是G的一个子群.()5.四次交代群中存在6阶子群.()6.设M是非空集合，则M人M到M的每个映射都叫作M上的二元运算.()7.f是A到A的单射，则f有唯一的逆映射f一1.()9.如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群.()10.群G的子群H是正规子群的充要条件为gG,hH;g1HgH.G()16.有限群G的任一子群N的阶都能整除G的阶．()18.在一个群G中，消去律不一定成立.()19.任何一个k循环置换的阶是k.()20.集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系；反之，集合A的元间的一个等价关系也决定A的一个分类.()21．阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数.()23．设为集合A到A的满射，则：若S是S的逆象,S一定是S的象;若()24．N是群G的正规子群，H是N的正规子群，则H是群G的正规子群.()25．一个群同它的每一个商群同态.()26．一个群G的子群H的左陪集个数和右陪集个数不一定相同.G个正规子群的交集还是正规子群.()28．循环群的子群也一定是循环群.()29．全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群.()30.设G为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群.()31.一个循环群一定是一个交换群.()32.一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群.()33.有理数加群与非零有理数乘群同构.()34.无限循环群可与任何循环群同构.()35.设是集合X到集合Y的任意一个映射,A为X的非空子集,则1((A))A.(1(B))B.XY任意一个映射,A，B为X的两个非空子集,则(1)(AB)(A)(B);(2)(AB)(A)(B).()38.G为一个群,aG,bG为有限阶元,abba,则abab.()40.G为一个群,aG,bG为有限阶元,则ab为有限阶元.()41.在一个有限群里,阶大于2的元素个数必为偶数.()42.偶数阶群必有2阶元.()45.交换群中所有有限阶元作成一个子群.()46.群G中所有有限阶元作成一个子群.()47.任何群都不能是两个真子群的并.()48.任何群都不能是三个真子群的并.()49.有限群的元素的阶都有限.()50.无限群至少有一个无限阶元.()51.集合M的变换群G含有M的单射变换,则G必为双射变换群.()52.集合M的变换群G可能既含有M的双射变换,又含有M的非双射变换.()53.M之2,集合M的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群.()54.互不同构的n阶群只有有限个.()55.不相连的置换相乘可交换.()97.置换(ii)(iii)的阶为[2,3]=6.G关于H的一个右陪集代表系.()60.G为n阶群,kn,则G必有k阶子群.)61.pq阶(p,q为互异素数)交换群必为循环群.G()63.设G与G各有一个代数运算,且G~G,G是群,则G也是群.()64.素数阶群是单群.QGGGkerQG的子群之间存在一一对应关系.()67.任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.()68.存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系.()69.两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等.()70.设G为群，它的两个子群的交和乘积还是子群.()71.有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元.()72.一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半.()74.整数加群和它的任意一个非零子群同构.()75.在同构意义下,无限循环群只有一个.()76.在同构意义下,n阶循环群只有一个.2.设R是有单位元的环,a是R中任一元素,则由a2.设R是有单位元的环,a是R中任一元素,则由a生成的主理想<a>=_____.3.模8的剩余类环Z上的二次多项式x2-1在Z内的所有根为____________.884.设R是交换环，a是R的任意一个元素，则由a所生成的主理想<a>的元素表达形式为______.i667.若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么RI是一个域当且仅当I是.8.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那是______.9.除环的理想共有____________个.称为整环.U没有U没有包含U的理想.15.一个交换除环叫做一个.16.实数域R的全部理想是.RS分必要条件.R的.Fp个元的域，则F的特征是.ZS,3},则S的单位元是____________.29.R是一个单环，则R有时，R是一个域.30.N是环R的理想，RN是单环的充分必要条件是.则R有子环与模p剩余类环同构。1.下列集合关于所给的运算不作成环的是().A)整系数多项式全体Z[x]关于多项式的加法与乘法;B)有理数域Q上的n阶矩阵全体Q关于矩阵的加法与乘法;2.设f:R)R是环同态满射，f(a)=b，那么下列结论错误的为().C)若a不是零因子，则b不是零因子；D)若R是不交换的，则R不交换.A)1个B)2个C)4个D)无限个.4.设F是一个四元域,则域F的特征为().A)1B)2C)4D)0.5.下面的四个群中,不是循环群的是().A2的剩余类加群;B)整数加群;C)U(Z);D)U(Z).).).A)整数环;B)Z;C)Z;D)四元数除环.107.模10的剩余类环Z上二阶全阵环M(z)中以下元素可逆的是()．02108.以下命题中，正确的是().A意一个环R，必含有单位元;BR中至多有一个单位元;CR元，则它的子环也有单位元;D)一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同.9.下列理想不是偶数环R的素理想的是()A)〈4〉;B)〈6〉;C){0};D)R.10.下列命题正确的个数为()A)1;B)2;C)3;D)4.②整数环Z上的一元多项式环Z[x]的非平凡素理想都是极大理想；③数域F上的一元多项式环F[x]的主理想〈x〉是极大理想；NN()1.除环是单环.()2.有限除环必为域.()4.域和其子域有相同的单位元.()5.除环R是无零因子环.()7.若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子.()8．一个环的理想必是一个子环，子环未必是理想.()9．一个环没有零因子，则它的同态象也没有零因子． ()17．R是偶数环，R的理想{4rr=R}等于由4生成的主理想〈4〉. ()18．设R是整数环，则<2，x>是R[x]的一个主理想． ()19．设R是有理数环，则<2，x>是R[x]的一个主理想． ()20．除环F的所有非零元集关于F的乘法构成一个群．()23.除环或域里一定没有零因子.()24.一个除环一定是一个整环.()27.<x>是Q[x]的极大理想.()28.<x>是Z[x]的极大理想.()29.R是有单位元的交换环,则R中方阵A在R中可逆的充要条件是A在R中可逆.RR()34.R为偶数环,R的极大理想只有<2p>,p为素