全等三角形证明判定方法分类总结

./全等三角形〔一SSS[知识要点]1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形．2．全等图形的性质：〔1全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等〔2全等图形的面积相等3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形〔1表示方法：两个三角形全等用符号"≌"来表示,读作"全等于"如全等,记作≌〔2符号"≌"的含义："∽"表示形状相同,"="表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等．〔3两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角．〔4证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．ABABCDEF如图,在和中≌ABDCABDC例1．如图,≌,点B与点D是对应点,,且,,求的度数及的面积．ABECFD例2．如图,≌,,求ABECFD例3．如图,已知：AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证：AABECD例4．如图AB=DE,BC=EF,AD=CF,求证：ABCDFABCDFE〔2AB//DE,BC//EF例5．如图,在D、E分别为AC、AB上的点,且BE=BC,DE=DC,求证：〔1；AEBCAEBCD[巩固练习]1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形,则它们的大小一定相同,其中正确的是〔A、①④B、①②C、②③D、③④2．如图,≌,且AB和CD是对应边,下面四个结论中ABABDCA、的面积相等B、的周长相等C、D、AD//BC且AD=BCABCD第3题图3．如图,≌,A和B以及C和D分别是对应点,如果,则的度数为〔ABCD第3题图A、B、C、D、4．如图,≌,AD=8,BE=2,则AE等于〔ACACEBFD第6题图第5题图A第5题图ABCDEBACEFD第4题图5．如图,要使≌,则下列条件能满足的是〔A、AC=BC,AD=CE,BD=BEB、AD=BD,AC=CE,BE=BDC、DC=EC,AC=BC,BE=ADD、AD=BE,AC=DC,BC=EC6．如图,≌,点A和点D、点E和点F分别是对应点,则AB=,,AE=,CE=,AB//,若,则DF与BC的关系是．EFDBCA第9题题图BACDE第7题图EFDBCA第9题题图BACDE第7题图第8题图第8题图ABDEC8．如图,若AB=AC,BE=CD,AE=AD,则,所以,,．9．如图,≌,,则下列说法错误的是〔A、B、C、D、ABCDFE10．如图,≌,,求ABCDFE11．如图,在中,AC=BD,AD=BC,求证：≌AADCB全等三角形〔一作业1．如图,≌,AC=7cm,AB=5cm.,则AD的长是〔A、7cmB、5cmC、8cmD、无法确定2．如图,≌,,点B、C、E在同一直线上,则的度数为〔A、B、C、D、3．如图,≌,AF=2cm,CF=5cm,则AD=．ABCDE4．如图,≌,,求的度数．ABCDE5．如图,已知,AB=DE,BC=EF,AF=CD,求证：AB//CDAABCDEF6．如图,已知AB=EF,BC=DE,AD=CF,求证：①≌②AB//EFBBACEFD7．如图,已知AB=AD,AC=AE,BC=DE,求证：AABECD.全等三角形〔二[知识要点]定义：SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成"边角边"或"SAS",几何表示AABCEDF如图,在和中,≌[典型例题][例1]已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：BE=CD.AADBECABDEC1ABDEC12[例3]如图已知：AE=AF,AB=AC,∠A=60°,∠B=24°,求∠BOE的度数.BBEAFCO[例4]如图,B,C,D在同一条直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,求证：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°.EEABCD[例5]如图,已知△ABC、△BDE均为等边三角形。求证：BD＋CD=AD。DDABCE[巩固练习]1．在△ABC和△中,若AB=,AC=,还要加一个角的条件,使△ABC≌△,那么你加的条件是〔A．∠A=∠B.∠B=∠C.∠C=∠D.∠A=∠2．下列各组条件中,能判断△ABC≌△DEF的是〔A．AB=DE,BC=EF；CA=CDB.CA=CD；∠C=∠F；AC=EFC．CA=CD；∠B=∠ED.AB=DE；BC=EF,两个三角形周长相等3．阅读理解题：如图：已知AC,BD相交于O,OA=OB,OC=OD.那么△AOD与△BOC全等吗？请说明理由.△ABC与△BAD全等吗？请说明理由.SASOA=SASOA=OBOD=OC△AOD≌△BOCDDC12OAB—而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△AOB所以△ABC≌△BAD〔1你认为小明的解答有无错误；〔2如有错误给出正确解答；4．如图,点C是AB中点,CD∥BE,且CD=BE,试探究AD与CE的关系。AACBED5．如图,AE是AB=AC〔1若D是AE上任意一点,则△ABD≌△ACD,说明理由.〔2若D是AE反向延长线上一点,结论还成立吗？请说明理由.BBCDEA126．如图,已知AB=AC,EB=EC,请说明BD=CD的理由AABEDC全等三角形〔二作业1．如图,已知AB=AC,AD=AE,BF=CF,求证：≌。AABCEDF2．如图,△ABC,△BDF为等腰直角三角形。求证：〔1CF=AD；〔2CE⊥AD。AACBDEF3．如图,AB=AC,AD=AE,BE和CD相交于点O,AO的延长线交BC于点F。求证：BF=FC。AADECBFO4．已知：如图1,AD∥BC,AE=CF,AD=BC,E、F在直线AC上,求证：DE∥BF。112DCABEFDDABQCPE5.如图,已知AB⊥AC,AD⊥AE,AB=AC,AD=AE,求证：〔1BE=DC,〔2BE⊥DC.6、已知,如图A、F、C、D四点在一直线上,AF=CD,AB//DE,且AB=DE,求证：〔1△ABC≌△DEF〔2∠CBF=∠FEC7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE8、如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接BE、DG,〔1观察猜想BE与DG之间的大小关系,并证明你的结论。〔2图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在,请说出旋转过程,若不存在,说明理由。9、已知:如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：〔1AM=BNCNMBCNMBAEDF11、已知如图,F在正方形ABCD的边BC边上,E在AB的延长线上,FB＝EB,AF交CE于G,求∠AGC的度数.12、如图,△ABC是等腰直角三角形,其中CA=CB,四边形CDEF是正方形,连接AF、BD.<1>观察图形,猜想AF与BD之间有怎样的关系,并证明你的猜想；<2>若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转,使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部,请你画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,题<1>中猜想的结论是否仍然成立？若成立,直接写出结论,不必证明；若不成立,请说明理由..全等三角形〔三ASAABABCASA公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．如图,在与中DEFDEFASA公理推论〔AAS公理：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．[典型例题][例1]下列条件不可推得和全等的条件是〔AB=AB,,AB=AB,AC=AC,BC=CAB=AB,AC=AC,ADBECFAB=AB,ADBECF[例2]已知如图,,求证：BC=EFABDEABDECABCDABCDP1234[例5]如图,,AC=AE,求证：DE=BC112A43BCDEO[例6]如图,,AC,BD相交于O,ABCDO1ABCDO12[巩固练习]ABABDCFEABABCNMDO3．求证：两个全等三角形ABC与ABC的角平分线AD、AD相等ABABCDABDCAEDOAEDOCFBABABDC13246．已知,如图AB=DB,,求证：AC=DECCADEB12全等三角形〔三作业1．已知,如图,,求证：AB=DEAAEFDCB122．如图,已知,求证：BE=CDAABEDC3．已知如图,AB=AD,,求证：AC=AEAABDCE4．已知如图,在中,AD平分,求证：AABDCACBDACBD6、如图中,∠B＝∠C,D,E,F分别在AB,BC,AC上,且BD=CE,∠DEF=∠BADADECBF7、<1>如图１,以的边、为边分别向外作正方形和正方形,连结,试判断△ABC与△AEG面积之间的关系,并说明理由．<2>园林小路,曲径通幽,如图２所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米？AGAGFCBDE〔图１8、已知：如图,AD为CE的垂直平分线,EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．9、已知：如图,AB=AC,AD=AE,求证：△OBD≌△OCE10、已知：如图,AB=CD,AD=BC,O为BD中点,过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF11、如图在△ABC和△DBC中,∠1=∠2,∠3=∠4,P是BC上任意一点．求证：PA=PD.12、已知：如图,四边形ABCD中,AD∥BC,F是AB的中点,DF交CB延长线于E,CE=CD．求证：∠ADE=∠EDC．13、已知：如图,OA=OE,OB=OF,直线FA与BE交于C,AB和EF交于O,求证：∠1=∠2．.全等三角形〔四强化训练1、如图,△是等边三角形,点、、分别是线段、、上的点,〔1若,问△是等边三角形吗？试证明你的结论；〔2若△是等边三角形,问成立吗？试证明你的结论．2、如图所示,已知∠1=∠2,EF⊥AD于P,交BC延长线于M,求证：2∠M=〔∠ACB-∠B3、△ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC中点,E、F分别在AC、AB上,且DE⊥DF,试判断DE、DF的数量关系,并说明理由．4、已知：如图,中,,于,平分,且于,与相交于点是边的中点,连结与相交于点．〔1求证：；〔2求证：；5、如图,点是等边内一点,．将绕点按顺时针方向旋转得,连接．〔1求证：是等边三角形；〔2当时,试判断的形状,并说明理由；〔3探究：当为多少度时,是等腰三角形？7、过等腰直角三角形直角顶点A作直线AM平行于斜边BC,在AM上取点D,使BD=BC,且DB与AC所在直线交于E,求证：CD=CE。过A作AF⊥BC于F,过D作DG⊥BC于G,则DG=AF=1/2BC=1/2BD,

在Rt△BDG中,DG=1/2BD=>∠DBC=30°=>∠BDC=∠BCD=1/2<180°-30°>=75°,即∠EDC=75°

∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75°∴∠EDC=∠DEC=>CD=CE8、Rt△ABC,AB=AC,BM是中线,AD⊥BM交BC于D,求证：∠AMB=∠CMD。9、如图,已知△ABC是等边三角形,∠BDC＝120º,说明AD=BD+CD的理由。10、已知：如图,点D在△ABC的边CA的延长线上,点E在BA的延长线上,CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线,且∠B=30°,∠D=40°,求∠F的度数。11、等边三角形ABC和等边三角形DEC,D在AC边上。延长BD交CE延长线于N,延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN易证△BCD≌△ACE所以∠DBC=∠EAC再证△BCN≌△ACM<ASA>∴CM=CN12、操作：如图①,△ABC是正三角形,△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明．13、如图等边△ABC和等边△CDE,点P为射线BC一动点,角APK=60°,PK交直线CD于K。试探索AP、PK之间的数量关系；当点P运动到BC延长线上时,上题结论是否依然成立？为什么。14、〔涉及相似三角形若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.如图,在锐角外侧作等边′连结′。求证：′过的费马点,且′=.AACB15、如图,是等腰直角三角形,∠C＝900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD＝2BM,点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥DE..第五章全等三角形拓展延伸分析：三角形全等的证明及其运用关键点在于"把相等的边〔角放入正确的三角形中",去说明"相等的边〔角所在的三角形全等",利用三角形全等来说明两个角相等〔两条边相等是初中里面一个非常常见而又重要的方法。例1：已知AE既是∠BAC的平分线,也是∠BDC的平分线,试说明AB=AC思路：AB在△AB