安徽省池州市东至二中高一数学下学期3月月考试题

PAGEPAGE8安徽省池州市东至二中2020-2021学年高一数学下学期3月月考试题考试时间：120分钟一、单选题：(共60分)1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（）A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．2∶∶1 D．1∶∶22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则角B的大小是（）A．45° B．60° C．90°D．135°3．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则（）A．2 B．-2 C． D．4.若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有（）A．①②③ B．①②⑤ C．①②④D．①②5．在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点，若，则AB的长为（）A． B． C．1D．26．设平面向量,若∥，则等于（）A． B． C． D．7．已知向量，，，则当时，的最大值为（）A． B． C．2 D．8．为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形9．若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．10．设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（）A．6 B． C． D．411．已知点是的重心，，若，，则的最小值是（）A． B． C． D．12．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（）A． B． C． D．二、填空题：(共20分)13．已知向量，的夹角为30°，||＝2，||，则|2|＝___________14．函数有四个不同的零点，求实数a的取值范围______________．15.在中，记角所对的边分别是，面积为，则的最大值为___________.16．已知扇形半径为，，弧上的点满，则的最大值是___________；最小值是__________；(第一空2分，第二空3分))四、解答题(共70分)(第一题10分，其余每题12分）17．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.18．在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．（1）试用，表示；（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．19．设的内角的对边长分别为，且（1）求证：；（2）若，求角的大小.20．已知函数.（1）求函数的单调性；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝1，求△ABC的面积.21．在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求外接圆的面积；（2）若，，求的周长.22．已知向量，设函数．（1）若函数为偶函数，求的值；（2），求。2021-2022学年度高一3月月考参考答案1．D【分析】三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.【详解】在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，由正弦定理知：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶∶2.故选：D2．A【分析】由利用余弦定理可得，结合的范围，即可得的值．【详解】中，，可得：，由余弦定理可得：，，，故选：A.3．C【分析】利用平面向量共线定理可知，即可求解【详解】由，可设，则解得：，故选：C4．D【分析】根据向量模长的概念可判断①②，根据向量相等的条件可判断③，根据数乘向量的概念可判断④，由数量积的概念可判断⑤.【详解】∵，∴，①正确；为单位向量，故，②正确；表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故③错误；与不一定共线，故不成立，故④错误，若与垂直，则有，故⑤错误．故选：D.5．A【分析】利用向量加法与乘法法则，结合公式即可得出结论【详解】设AB的长为x，因为，所以，解得．故选：A6．A【解析】试题分析：由，得，故，则，故=．考点：1、向量共线；2、向量的模和坐标运算.7．D【分析】根据，，，得到，，，再利用求解.【详解】因为，，，所以，，，所以，当时，.故选：D8．B【解析】试题分析：根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知，所以可知为故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.9．A【分析】设的外接圆圆心为O，由题设可知为正三角形，则，，由，知，计算可求解.【详解】如图设的外接圆圆心为O，的边，的外接圆半径为2，为正三角形，且，则，，故选：A.10．D【分析】先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.【详解】不妨设，如图所示，根据题意则，即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，又因为，那么，，故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.故选：D11．C【分析】由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题，据此求解的最小值即可.【详解】如图所示，由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得,，根据向量的数量积的定义可得,设，则，，当且仅当，即，△ABC是等腰三角形时等号成立.综上可得的最小值是.本题选择C选项.12．D【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由，可得，即.又，所以．因为，所以点为的重心，所以，所以，两边平方得．因为，所以，于是，所以，的面积为.因为的面积是面积的倍.故的面积为．13．【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可.【详解】解：因为向量，的夹角为30°，||＝2，||，所以（）24422+4428，所以||＝2.故答案为：2.14．(1，2)【分析】问题转化为函数y＝2|x|－x2的图象与直线有四个交点，作出函数图象，确定函数的性质可得．【详解】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1，2)．故答案为：．15．【分析】根据面积公式及基本不等式可得，利用辅助角公式可求的最大值，从而可得的最大值.【详解】，令，则，故，故，又，故，当且仅当满足时等号成立，此时，故的最大值为.故答案为：16．【详解】以OB为x轴，过O做OB的垂线作y轴，建立平面直角坐标系，,,则,所以，，（）.=.故答案为：；.17．（1）或；（2）【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得18．（1）；（2）．【分析】（1）由三角形中位线的性质可知，可得到答案；（2）先求得，将，代入，用表示再求其范围.【详解】（1）连接AB，则，∵A，B分别是线段CE，ED的中点，∴，则．（2)，将，代入，则．∵，∴，则，故．19．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由余弦定理结合，利用基本不等式求解.（2）由，利用两角和与差的余弦公式得到，再由，利用正弦定理求解.【详解】（1）由余弦定理得，所以，当且仅当a=c时等号成立.（2）因为，所以，，所以，又因为，所以，所以，所以，由（1）知为锐角，所以.20．（1）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2）.【分析】（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；（2）求出角，利用正弦定理得C角和B角，再由计算即可.【详解】解：（1），由，得，k∈Z；由，得，k∈Z.故f（x）在上单调递增，在上单调递减，k∈Z；（2），则，∵A∈（0，π），∴，即，由正弦定理得，即，解得，∴或，当C＝时，A+C＞π，舍去，所以，故，∴.21．（1）；（2）.【分析】（1）先利用诱导公式将原式化简，再运用正弦定理进行边角互化，得出角的大小，然后运用正弦定理求解外接圆的半径，从而得出外接圆的面积.（2）由及可解出，的大小，得出角的大小，进而得出角，然后在中，由余弦定理可解得的值，得出的周长.【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得