2023届四川省成都市新都区高三毕业班摸底测试数学（理）试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页第Page\*MergeFormat12页共NUMPAGES\*MergeFormat14页2023届四川省成都市新都区高三毕业班摸底测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出集合A,B，然后取交集即可.【详解】由得，所以，又，所以，故选：D.2．在中，，则角C的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理求得正确答案.【详解】由正弦定理得，，由于，所以为锐角，所以.故选：B3．若a，b，c为实数，数列是等比数列，则b的值为（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根据等比数列的性质求得的值.【详解】设等比数列的公比为，所以，根据等比数列的性质可知，解得.故选：B4．已知奇函数，当时，（m为常数），则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用求得，然后结合函数的奇偶性求得.【详解】依题意是奇函数，由于时，，所以，所以时，，所以.故选：C5．已知，则（

）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】C【分析】根据向量共线定理，考查选项中两个向量之间是否有倍数关系即可判断.【详解】对于A:不存在实数，使得，故三点不共线；对于B:不存在实数，使得，故三点不共线；对于C:,故，所以三点共线；对于D:不存在实数，使得，故三点不共线；故选：C6．已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用“分段法”确定正确答案.【详解】，，，所以.故选：D7．已知a>0，b>0，且a+b=1，则错误的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据，由结合二次函数可判断A，由可判断B，由和结合基本不等式可判断CD【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：C.8．若，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简原式为，结合正弦函数的图像和性质，求解即可.【详解】由题意，当时，有，当，即时，；当，即时，.即函数的值域为.故选：A9．在中，，的面积为24，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，判断点的轨迹，利用坐标法表示，进而求得正确答案.【详解】设的中点为，以为原点，直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，设三角形的边上的高为，由于三角形的面积，所以为定值，不妨设在直线上，设，所以，即的取值范围是.故选：D10．已知数列的通项公式为为数列的前n项和，则的值为（

）A．0 B．1011 C． D．【答案】C【分析】根据正弦型函数周期公式可得的周期为3，计算可得，又，利用等差数列求和公式，即得解.【详解】由题意，，故的周期为3，由于，.故选：C11．函数的极小值点为，则的值为（

）A．0 B． C． D．【答案】A【分析】求导，令，画出导函数图像，列表分析单调性，即得解.【详解】由题意，，的根为，的图像如下图所示，+0-0+0-单增极大单减极小单增极大单减故当时，函数取得极小值，即，故.故选：A12．已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（

）A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的最小正周期可能是C．的取值范围是D．在区间上单调递增【答案】C【分析】根据已知，利用整体代换技巧以及三角函数的性质进行求解判断.【详解】因为函数在区间上有且仅有4条对称轴，令，则，所以有4个整数符合，由得，，，则，所以，所以，故C正确；对于A，当，，因为，所以，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点，当时，在区间上有且仅有4个不同的零点，故A错误；对于B，周期，因为，则，所以，因为，故B错误；对于D，当，，因为，所以，因为，所以在区间上不一定单调递增，故D错误.故选：C.二、填空题13．计算：___________．【答案】2【分析】结合指数、对数运算求得正确答案.【详解】.故答案为：14．已知数列的前n项和，且，则的值为___________．【答案】【分析】根据判断出数列是等比数列，进而求得.【详解】依题意，，当时，，当时，，，两式相减并化简得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以.故答案为：15．如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．【答案】【分析】根据，求出的最大值即可【详解】解：在中，设，，整理得：．又，整理得：，，即，，，，，当且仅当时取等号．所以面积的最大值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据面积公式结构选择用基本不等值求最大值，要注意不等式取等的条件，同时计算量也较大．16．已知函数，若存在，使得成立，则下列命题正确的有___________．①当时，

②当时，③当时，

④当时，的最小值为【答案】①③④【分析】根据可求得在上单调递增，在上单调递减，则可画出的图像；利用同构可知等价于，结合图像则可判断①②③；当时，可得，，构造函数可判断④．【详解】解：①，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作图如下：当时，由知：若，使得，则，当时，若，使得，则，由得：，令得，在上递增，且值域；令得，在上递减，且值域；作出图象如下：当时，由知：若使得，则，当时，若使得，则，∴当时，．故①正确．②当时，由得：，即，∴可看成的两零点，作出的图象如下：由图象易知：或均可趋向于，故②错误；③当时，由①的讨论知：，，．故③正确；④当时，此时，由②知：，，则，∴要求的最小值即求的最小值即可，令，则，令，解得：，易知为极小值点，故的最小值为．故④正确．故答案为：①③④．【点睛】关键点点睛：同构找到，通过与的图象及性质判断求解，在处理④时，要注意消元思想的运用．三、解答题17．已知数列满足，且数列的前项和为．(1)求数列的通项公式;(2)已知，记数列的前项和为，求证:．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据数列与其前项和的关系，即可求得的通项公式，从而求得数列的通项公式.（2）根据裂项相消法求得，即可得证.【详解】(1)记数列的前n项和为，则．当时．，当时，，则，∴．(2)由题意得，，∴．18．如图，在四棱锥中，已知四边形是梯形，，是正三角形．(1)求证：；(2)当四棱锥体积最大时，二面角的大小为，求的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）取BC的中点O，连接AO，可证明，由线面垂直的判定定理可证明平面PAO，即得证；（2）分析可知当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大，建立空间直角坐标系，由二面角的向量公式，计算即可.【详解】(1)证明：如图，取AB的中点E，连接CE，AC．∵，，∴CD与AE平行且相等，∴四边形AECD是平行四边形，又，∴四边形AECD是矩形，∴．∴，∴是等边三角形．取BC的中点O，连接AO，则．连接PO，∵，∴，∵，平面PAO，∴平面PAO，∵PA平面PAO，∴；(2)由（1）知，是等边三角形，∴，∴梯形ABCD的面积为定值，故当平面平面ABCD时，四棱锥体积最大．∵，平面平面ABCD，平面∴平面ABCD，平面ABCD，∴.∵OP，OA，OB两两互相垂直，∴以O为坐标原点，OA，OB，OP分别为x轴、y轴和z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则．∴，，设平面PAB的法向量为，则，取，则．同理设平面PAC的法向量为，则，取，则．设平面PAB与平面PAD的夹角为，则，即为所求二面角的余弦值.19．2022年7月6日~14日，素有“数学界奥运会”之称的第29届国际数学家大会，受疫情影响，在线上进行，世界各地的数学家们相聚云端､共襄盛举.某学校数学爱好者协会随机调查了学校100名学生，得到如下调查结果：男生占调查人数的55%，喜欢数学的有40人，其余的人不喜欢数学；在调查的女生中，喜欢数学的有20人，其余的不喜欢数学.(1)请完成下面列联表，并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关？喜欢数学不喜欢数学合计男生女生合计(2)采用分层抽样的方法，从不喜欢数学的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记为3人中不喜欢数学的男生人数，求的分布列和数学期望.参考公式：，其中.临界值表：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)列联表答案见解析，有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关(2)分布列见解析，数学期望：【分析】(1)根据题意，补全列表，求出的值即可得答案；(2)根据分层抽样得抽取的男生有3人，女生有5人，再求出当X=0，1，2，3的概率，列出X的分布列，即可求得X的期望.【详解】(1)解：调查的男生人数为（人），调查的女生人数为（人），补全列联表如下：喜欢数学不喜欢数学合计男生401555女生202545合计6040100，所以有的把握认为该校学生喜欢数学与学生的性别有关.(2)在抽取的8人中，不喜欢数学的男生人数人，不喜欢数学的女生人数人，由题意可知，的可能取值为，，,则的分布列为：0123故.【点睛】.20．已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点在E上．(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直的两条直线分别交E于点A，B和C，D，求四边形面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得，从而求得的方程.（2）对直线的斜率进行分类讨论，结合弦长公式求得四边形面积的表达式，利用换元法以及二次函数的性质求得四边形面积的取值范围.【详解】(1)设，因为两个焦点和短轴的两个端点为正方形的四个顶点，所以①，.因为点在E上，所以②，又③，由①②③解得，所以E的方程为.(2)若垂直于坐标轴，则.若不垂直于坐标轴，由（1）知，则设的方程为，，代入的方程并整理得：，设，，，则.同理可求.则，令令，令，则，开口向下，对称轴，，所以，即，.综上所述，四边形的面积的取值范围是.【点睛】在圆锥曲线中求三角形或四边形的面积的最值，当求得面积的表达式后，可考虑利用基本不等式、二次函数或者导数等知识来求最值.21．已知函数．(1)若在）上单调递增，求a的取值范围；(2)当时，判断曲线与曲线交点的个数，并说明理由．【答案】(1)(2)2个，理由见解析【分析】（1）由分离常数，根据指数函数的知识求得的取值范围.（2）构造函数，利用多次求导的方法判断出的单调性、最值，结合零点存在性定理求得正确答案.【详解】(1)因为，所以，又因为在R上单调递增，所以恒成立，所以在R上恒成立，所以即.(2)因为，所以，设，则其定义域为，，且.设，则，当且仅当时，所以在上单调递减，所以当时，；当时，，即当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，故，取，则，所以，即；，考虑到，则，即，又，所以，所以在和上各有一个零点，即有两个零点，故曲线与曲线有两个交点.【点睛】利用导数研究函数的单调性，当一次求导无法求解时，可考虑多次求导来进行求解，求解过程中要注意导函数和对应原函数的关系.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程和的直角坐标方程；(2)若与交于相异两点A，B，且，求m的值.【答案】(1)，(2)或【分析】（1）平方消参得到的普通方程，利用直角坐标和极坐标互化公式求出的直角坐标方程；（2）由（1）中求出的直角坐标方程，结合垂径定理求解【详解】(1)在的参数方程中消去参数，得的普通方程为；由得，又，所以的直角坐标方程为.(2)由（1）知曲线是以为圆心