中考数学《二次函数》专题训练(附答案解析)

第页中考数学《二次函数》专题训练(附答案解析)一、单选题1．（2023·青海西宁）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H根据相似比可知：即解得：EF=2（3-x）则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．2．（2023·广东广州）如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（

）A． B．C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而减小【答案】C【解析】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．故选C【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．3．（2023·黑龙江绥化）已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】根据的函数图象可知，，，即可确定一次函数图象，根据时，，即可判断反比例函数图象，即可求解．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，则，与轴存在2个交点，则∴一次函数图象经过一、二、三象限二次函数的图象，当时，反比例函数图象经过一、三象限结合选项，一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项故选B【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4．（2023·湖北武汉）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（

）A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限【答案】D【解析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m＜0，n＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．【详解】解：∵抛物线的顶点（-m，n）在第四象限∴-m＞0，n＜0∴m＜0∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．5．（2022·辽宁阜新）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（

）A． B．点A的坐标为C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线【答案】D【解析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确∵∴A点坐标为（-3，0），故B错误由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．6．（2022·湖北襄阳）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点可知：，由此可知二次函数开口方向，坐标轴情况，依此判断即可．【详解】解：观察一次函数图像可知∴二次函数开口向下对称轴故选：D．【点睛】本题主要考查一次函数的图像以及二次函数的图像，根据一次函数图像经过的象限以及与坐标轴的交点情况判断a、b的正负是解题的关键．7．（2022·江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据二次函数与一次函数的图象可知，，，从而判断出二次函数的图象．【详解】解：∵二次函数的图象开口向上∴∵次函数的图象经过一、三、四象限∴，对于二次函数的图象∵，开口向上，排除A、B选项∵，∴对称轴∴D选项符合题意故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数的图象和一次函数图象经过的象限，找出，，是解题的关键．8．（2021·内蒙古呼伦贝尔）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】首先根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0则反比例函数的图象在第二、四象限一次函数经过第一、二、四象限故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，关键是根据二次函数图象确定出a、b、c的符号．9．（2021·甘肃天水）若函数的图象如图所示，则函数和在同一平面直角坐标系中的图象大致是()A． B． C． D．【答案】B【解析】根据二次函数的图像即可判断出、b、c与0的大小关系，然后根据一次函数和反比例函数的图像特点确定答案．【详解】解：∵抛物线开口向上∴＞0∵抛物线对称轴＞0∴b＜0∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴上∴c＞0∴当＞0，b＜0时，一次函数的图像过第一、三、四象限当c＞0时，反比例函数的图像过第一、三象限．故选B．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数图像与系数的关系，解答本题的关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质．10．（2021·湖北襄阳）二次函数的图象如图所示，下列结论：①②③④当时，y随x的增大而减小，其中正确的有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】根据抛物线的开口向上，得到a＞0，由于抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0，于是得到ac＜0，故①正确根据抛物线的对称轴为直线x＝−，于是得到2a＋b＝0，当x=-1时，得到故②正确把x＝2代入函数解析式得到4a＋2b＋c＜0，故③错误抛物线与x轴有两个交点，也就是它所对应的方程有两个不相等的实数根，即可得出③正确根据二次函数的性质当x＞1时，y随着x的增大而增大，故④错误．【详解】解：①∵抛物线开口向上与y轴交于负半轴∴a＞0,c＜0∴ac＜0故①正确②∵抛物线的对称轴是x=1∴∴b=-2a∵当x=-1时，y=0∴0=a-b+c∴3a+c=0故②正确③∵抛物线与x轴有两个交点，即一元二次方程有两个不相等的实数解∴∴故③正确④当-1＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时y随x的增大而增大．故④错误所以正确的答案有①、②、③共3个故选：B【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数与x轴的交点，正确识别图象，并逐一分析各结论是解题的关键．11．（2021·安徽）如图和都是边长为的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点，重合，现将沿着直线向右移动，直至点与重合时停止移动．在此过程中，设点移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，则随变化的函数图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据图象可得出重叠部分三角形的边长为x,根据特殊角三角函数可得高为,由此得出面积y是x的二次函数,直到重合面积固定,再往右移动重叠部分的边长变为(4－x),同时可得【详解】C点移动到F点,重叠部分三角形的边长为x,由于是等边三角形,则高为,面积为y=x··=B点移动到F点,重叠部分三角形的边长为(4－x),高为,面积为y=(4－x)··=两个三角形重合时面积正好为.由二次函数图象的性质可判断答案为A故选A.【点睛】本题考查三角形运动面积和二次函数图像性质,关键在于通过三角形面积公式结合二次函数图形得出结论.12．（2023·广西玉林）小嘉说：将二次函数的图象平移或翻折后经过点有4种方法：①向右平移2个单位长度

②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度③向下平移4个单位长度

④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度你认为小嘉说的方法中正确的个数有(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．【详解】解：①将二次函数向右平移2个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意②将二次函数向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意③将二次函数向下平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意④将二次函数沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：，把点代入得：，所以该平移方式符合题意综上所述：正确的个数为4个故选D．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．13．（2023·甘肃兰州）已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．【详解】解：∵∵开口向上，对称轴为x=1∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．14．（2023·内蒙古通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为故选D．【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．15．（2023·贵州铜仁）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】当在内移动时，、重合部分的面积不变，当移出时，计算出，得到，从而得到答案．【详解】如下图所示，当E和B重合时，AD=AB-DB=3-2=1∴当移动的距离为时，在内，当E在B的右边时，如下图所示，设移动过程中DF与CB交于点N，过点N坐NM垂直于AE，垂足为M根据题意得AD=x，AB=3∴DB=AB-AD=3-x∵，∴是等边三角形∴∵∴∵∴∴∴∴当时，是一个关于的二次函数，且开口向上∵当时，，当时，故选：C．【点睛】本题考查图形移动、等边三角形的性质，二次函数的性质，根据题意得到二次函数的解析式是解题的关键．16．（2023·辽宁锦州）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心∴直线EO垂直BC∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t∴S=当1＜t≤2时，∵正方形ABCD的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心∴直线OF∥BC∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t∴S=故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．17．（2023·山东烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0②a＝b③2a+c＝0④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【答案】D【解析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称可知a＝b，从而可判断答案．【详解】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0∴b＞0∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c∴4a﹣2b+c＝0∵a＝b∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0令y＝1代入y＝ax2+bx+c∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．18．（2023·四川广安）已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc>0②2c﹣3b<0③5a+b+2c=0④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1<y2<y3．其中正确结论的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．【详解】解：由图像可知，开口向上，图像与y轴负半轴有交点，则，对称轴为直线，则∴，故①正确当时，∵∴，即∴，故②正确∵对称轴为直线∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0）∴∵两式相加，则∴，故③错误∵，，∴∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确∴正确的结论有3个故选：C【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．19．（2023·贵州铜仁）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若．则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】观察图象，先设，，，根据已知条件及证明，得出，利用根与系数的关系知，最后得出答案．【详解】设，，∵二次函数的图象过点∴∵，∴∴∴即令根据根与系数的关系知∴故故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与关于方程之间的相互转换，同时要将线段的长转化为点的坐标之间的关系，灵活运用数形结合的思想是解题关键．20．（2023·四川达州）二次函数的部分图象如图所示，与y轴交于，对称轴为直线．以下结论：①②③对于任意实数m，都有成立④若，，在该函数图象上，则⑤方程（，k为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】根据图象可判断，即可判断①正确令，解得，根据图得，，即可求出a的范围，即可判断②错误由代入变形计算即可判断③错误由抛物线的增减性和对称性即可判断④错误将所求的方程解的问题转化为抛物线与两直线的交点问题，根据交点的个数，以及抛物线的对称性可知⑤错误．【详解】二次函数的部分图象与y轴交于，对称轴为直线，抛物线开头向上，故①正确令解得由图得，解得，故②正确可化为，即若成立，则，故③错误当时，随的增大而减小对称轴为直线时与时所对应的值相等，故④错误（，k为常数）的解，是抛物线与直线y=±k的交点的横坐标则（，k为常数）解的个数可能有2个，3个或4个根据抛物线的对称性可知当有3个或4个交点时，（，k为常数）的所有解的和是4当有2个交点时，即k=0时，（，k为常数）的所有解的和是2故⑤错误综上，正确的个数为2故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，一元二次方程求根公式，根与系数的关系等，熟练掌握知识点，能够运用数形结合的思想是解题的关键．21．（2023·内蒙古包头）已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．【详解】解：∵b-a=1∴b=a+1∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5∵(a-2)2≥0∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5故选：A．【点睛】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．22．（2023·黑龙江齐齐哈尔）如图，二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间，对称轴为，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①②③④若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m>4⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【解析】根据二次函数图象与性质逐个结论进行分析判断即可．【详解】解：∵二次函数的对称轴为∴∴故①正确∵函数图象开口向下，对称轴为，函数最大值为4∴函数的顶点坐标为（-1，4）当x=-1时，∴∴∵二次函数的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）之间∴<<2∴<4+a<2∴，故②正确∵抛物线与x轴有两个交点∴∴，故③正确∵抛物线的顶点坐标为（-1，4）且方程有两个不相等的实数根∴∴，故④错误由图象可得，当x>-1时，y随x的增大而减小，故⑤错误．所以，正确的结论是①②③，共3个故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数图象与性质，，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．23．（2022·山东日照）抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①②③若和是抛物线上的两点，则当时，④抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根．【详解】解：①抛物线图象开口向上对称轴在直线轴左侧，同号，抛物线与轴交点在轴下方，故①正确．②当时，由图象可得当时，，由图象可得，即故②正确．③，点，到对称轴的距离大于点，到对称轴的距离故③错误．④抛物线的顶点坐标为无实数根．故④正确综上所述，①②④正确故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系．24．（2022·黑龙江牡丹江）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0②﹣2＜b③（a＋c）2﹣b2＝0④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上∴a＞0∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）∴对称轴x=∴b=-2a＜0∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间∴-3＜c＜-2＜0∴0故①正确∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0）∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0）∵b=-2a∴c=∴-3＜＜-2∴﹣2＜b，故②错误∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0）∴a-b+c=0∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确∵a＞0，∴-a＜0∵b=-2a∴3a+2b=-a＜0∴2c﹣a＞2（a+b+c）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n）∴a+b+c=n∴2c﹣a＞2n故④错误故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口当a＜0时，抛物线向下开口②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．25．（2022·辽宁丹东）已知抛物线，且．判断下列结论：①②③抛物线与x轴正半轴必有一个交点④当时，⑤该抛物线与直线有两个交点，其中正确结论的个数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由题意易得，则有，进而可判定①②，当x=1时，则，当x=-1时，则有，然后可判定③，由题意可知抛物线的对称轴为直线，则有当时，y随x的增大而增大，故可得④联立抛物线及直线解析式即可判断⑤．【详解】解：∵∴两式相减得，两式相加得∴∵∴，故①正确∴，故②正确∵当x=1时，则，当x=-1时，则有∴当时，则方程的两个根一个小于-1，一个根大于1∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确由题意可知抛物线的对称轴为直线∴当时，y随x的增大而增大∴当时，有最小值，即为，故④正确联立抛物线及直线可得：，整理得：∴∴该抛物线与直线有两个交点，故⑤正确∴正确的个数有5个故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．26．（2021·四川眉山）已知二次函数（为常数）的图象与轴有交点，且当时，随的增大而增大，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据图象与x轴有交点，得出判别式△≥0，从而解得a≥-2，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得a≤3，从而得出选项．【详解】解：∵图象与x轴有交点∴△=（-2a）2-4（a2-2a-4）≥0解得a≥-2∵抛物线的对称轴为直线抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大∴a≤3∴实数a的取值范围是-2≤a≤3．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键．27．（2021·辽宁丹东）如图，二次函数（）的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点在与之间（不包括这两点），抛物线的顶点为，对称轴为直线，有以下结论：①②若点，点是函数图象上的两点，则③④可以是等腰直角三形．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【详解】解：①由开口可知：a＜0∴对称轴x=−

＞0∴b＞0由抛物线与y轴的交点可知：c＞0∴abc＜0，故①错误②由于＜2＜，且（，y1）关于直线x=2的对称点的坐标为（，y1）∵＜∴y1＜y2，故②正确③∵−=2∴b=-4a∵x=-1，y=0∴a-b+c=0∴c=-5a∵2＜c＜3∴2＜-5a＜3∴，故③正确④根据抛物线的对称性可知，AB=6∴假定抛物线经过（0，2），（-1，0），（5，0）设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-5)，则a=-∴y=-(x-2)2+∵＞3∴不可以是等腰直角三形．故④错误．所以正确的是②③，共2个．故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．28．（2021·内蒙古呼和浩特）关于二次函数，下列说法错误的是（

）A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则B．当时，y有最小值C．对应的函数值比最小值大7D．当时，图象与x轴有两个不同的交点【答案】C【解析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A将函数表达式化为顶点式，即可判断B求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.【详解】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后表达式为：=若过点（4，5）则，解得：a=-5，故选项正确B、∵，开口向上∴当时，y有最小值，故选项正确C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确故选C.【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.二、填空题29．（2023·贵州黔东南）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．【答案】【解析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．【详解】解：∵∴抛物线的顶点为（-1，-2）将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2）旋转后的抛物线为再向下平移5个单位，即．∴新抛物线的顶点（1，-3）故答案是：（1，-3）．【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．30．（2023·江苏无锡）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．【答案】m>3【解析】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4）函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3）∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点∴m-3>0解得：m>3故答案为：m>3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．31．（2023·江苏连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为，则他距篮筐中心的水平距离是_________．【答案】4【解析】将代入中可求出x，结合图形可知，即可求出OH．【详解】解：当时，，解得：或结合图形可知：故答案为：4【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．32．（2023·黑龙江牡丹江）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的解析式为____________．【答案】或（答出这两种形式中任意一种均得分）【解析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2（x+1）2向下平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2﹣2，即y=2（x+1）2﹣2．故答案为y=2（x+1）2﹣2．考点：二次函数图象与几何变换．33．（2023·辽宁）如图，抛物线与x轴交于点和点，以下结论：①②③④当时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有___________．（填写代表正确结论的序号）【答案】①②##②①【解析】根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．【详解】解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确③与x轴交于点和点，则对称轴，故，故③错误④当时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误综上所述，正确的为①②．故答案为：①②．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．34．（2022·贵州黔西）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2＋12t，则足球距地面的最大高度是______m．【答案】##7.2【解析】a=-5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．【详解】解：∵h=-5t2+12t∴a=-5，b=12，c=0∴足球距地面的最大高度是：=7.2m故答案为：7.2．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式二是根据二次函数图象与系数的关系，利用求出顶点纵坐标．35．（2022·四川巴中）y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝__________．【答案】5【解析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0∴a=5故答案为：5．【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5）•（-x）+1=ax2+（a-5）x+1．36．（2021·广西贵港）如图，对于抛物线，，，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点②抛物线的对称轴可由抛物线的对称轴向右平移1个单位而得到③这三条抛物线的顶点在同一条直线上④这三条抛物线与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是_______________．【答案】①②④【解析】根据抛物线图象性质及配方法解题．【详解】将分别代入抛物线，，中，可知，这三条抛物线都经过点C，故①正确抛物线的对称轴为抛物线的对称轴为，可由向右平移1个单位而得到，故②正确抛物线的顶点为A抛物线的顶点为B抛物线的顶点为C，三条抛物线的顶点不在同一条直线上，故③错误将分别代入三条抛物线，得0或1，0或2，0或3可知，相邻两点之间的距离相等，故④正确综上所述，正确的是①②④故选：①②④．【点睛】本题考查二次函数的性质，其中涉及将一般式化为顶点式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．37．（2021·湖北省直辖县级单位）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为_______元．【答案】70【解析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价．【详解】解：设降价x元，利润为W由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000∴当x=10时，可获得最大利润此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元）故答案为：70．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．38．（2023·江苏盐城）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．【答案】【解析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．【详解】解：点到轴的距离小于2点在二次函数的图象上当时，有最小值为1．当时，的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．39．（2023·吉林长春）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．【答案】##【解析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若若，即可求解．【详解】解：∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小若，当时，y随x的增大而减小此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意若，当时，函数值y最小，最小值为1∴解得：或（舍去）综上所述，a的值为．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．40．（2023·山东烟台）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DEAB，交AC于点E，EFBC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为_____．【答案】【解析】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝，AB＝2BF，即可解决问题．【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0）∴x＝4时，y＝0∴BC＝4作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3∵3＝2FH∴FH＝∵∠ABC＝60°∴BF＝＝∵DE∥AB∴AB＝2BF＝故答案为：．【点睛】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．41．（2023·山东聊城）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．【答案】121【解析】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：当时，设，把（10，20），（20，10）代入可得：解得∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元∵1<0∴当时，w有最大值为121故答案为：121．【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．42．（2023·内蒙古赤峰）如图，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点是抛物线上的点，则点关于直线的对称点的坐标为_________．【答案】（0，1）【解析】先求出A、B、C、D的坐标，根据CD∥x轴即可求出点关于直线的对称点坐标．【详解】∵抛物线交轴于、两点，交轴于点∴当时，当时，∴∴OA=OC=5∴∵是抛物线上的点∴，解得当时，与A重合当时，∴CD∥x轴∴设点关于直线的对称点M，则∴M在y轴上，且△DCM是等腰直角三角形∴DC=CM=6∴M点坐标为（0，1）故答案为：（0，1）．【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是根据对称得到△DCM是等腰直角三角形．43．（2023·福建）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为______．【答案】8【解析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。【详解】解：把y=0代入得：解得：，把y=0代入得：解得：，∵∴∴即令，则解得：，当时，，解得：∵∴不符合题意舍去当时，，解得：∵∴符合题意综上分析可知，n的值为8．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．44．（2023·湖北武汉）已知抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论：①②若，则③若点，在抛物线上，，且，则④当时，关于的一元二次方程必有两个不相等的实数根．其中正确的是_________（填写序号）．【答案】①③④【解析】首先判断对称轴，再由抛物线的开口方向判断①由抛物线经过A（-1，0），，当时，，求出，再代入判断②，抛物线，由点，在抛物线上，得，，把两个等式相减，整理得，通过判断，的符号判断③将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，再利用判别式即可判断④．【详解】解：抛物线过，两点，且

，即抛物线开口向下，，故①正确若，则，故②不正确抛物线，点，在抛物线上∴，，把两个等式相减，整理得，，，故③正确依题意，将方程写成a（x-m）（x+1）-1=0，整理，得，，，

故④正确．综上所述，①③④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．45．（2022·辽宁沈阳）某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．【答案】11【解析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：设销售单价定为元，每天所获利润为元则所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大故答案为11．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．46．（2022·贵州遵义）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有___（填写序号）．①4a+b＝0②5a+3b+2c＞0③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．【答案】①③④【解析】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.【详解】将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：，解得：∴抛物线解析式为．①，则，故①正确，符合题意②，又a＞0∴，故②错误，不符合题意③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根则∵a＞0∴，解得：，故③正确，符合题意④如图∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数一元二次方程可化为，即抛物线与直线（t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．故答案为：①③④【点睛】本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.47．（2022·贵州黔东南）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中－1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①②③④当时，⑤，其中正确的有___________．（填写正确的序号）【答案】②④⑤【解析】根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0所以abc＜0，故①错误对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确综上所述，正确的结论有：②④⑤故答案为：②④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．48．（2022·江苏无锡）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数的图象交于A、B两点，且，P为的中点，设点P的坐标为，写出y关于x的函数表达式为：________．【答案】【解析】过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN，，设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)，求出C(0，3a2)，从而得P(，)，进而即可得到答案．【详解】解：过点A作AN⊥y轴，过点B作BM垂直y轴，则BM∥AN∴∵∴设A(-a，a2)，则B(3a，9a2)设直线AB的解析式为：y=kx+b则，解得：∴直线AB的解析式为：y=2ax+3a2∴C(0，3a2)∵P为的中点∴P(，)∴，即：故答案是：．【点睛】本特纳主要考查二次函数与一次函数的综合，相似三角形的判定和性质，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．49．（2021·四川巴中）现有一“祥云”零件剖面图，如图所示，它由一个半圆和左右两支抛物线的一部分组成，且关于y轴对称．其中半圆交y轴于点E，直径，两支抛物线的顶点分别为点A、点B．与x轴分别交于点C、点D直线BC的解析式为：．则零件中BD这段曲线的解析式为_________．【答案】【解析】记AB与y轴的交点为F，根据图象关于y轴对称且直径AB＝2，OE＝2得出点B（1，1），由点B坐标求出直线BC解析式，据此得出点C坐标，继而得出点D坐标，将点D坐标代入右侧抛物线解析式y＝a（x﹣1）2+1，求出a的值即可得出答案．【详解】解：记AB与y轴的交点为F∵AB＝2，且半圆关于y轴对称∴FA＝FB＝FE＝1∵OE＝2∴则右侧抛物线的顶点B坐标为将点代入得解得∴当时，解得∴则设右侧抛物线解析式为将点代入解析式得解得∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据轴对称图形的性质得出点B坐标及熟练运用待定系数法求函数解析式．50．（2021·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为_________．【答案】【解析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决．【详解】解：点的坐标为，点的坐标为抛物线、为常数）与线段交于、两点，且设点的坐标为，则点的坐标为，抛物线解得，．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．51．（2021·湖北荆州）我们约定：为函数的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为____________．【答案】或或【解析】将关联数为代入函数得到：，由题意将y=0和x=0代入即可．【详解】解：将关联数为代入函数得到：∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数）∴y=0，即因式分解得又∵关联数为的函数图象与x轴有两个整交点即∴m=1∴与x轴交点即y=0解得x=1或x=2即坐标为或与y轴交点即x=0解得y=2即坐标为∴这个函数图象上整交点的坐标为或或故答案为：或或．【点睛】此题考查二次函数相关知识，涉及一元二次方程判别式判断解的个数的关系及二次函数与坐标轴交点的求解办法，难度一般，计算较多．52．（2023·广西贵港）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①②③④（其中）⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论的个数共有_______个．【答案】3【解析】根据抛物线与x轴的一个交点(-2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，代入可得：，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，再结合二次函数的图象和性质逐条判断即可．【详解】∵抛物线的对称轴为：，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(-2,0)∴抛物线与x轴的另一个坐标为(1,0)∴代入(-2,0)、(1,0)得：解得：，故③正确∵抛物线开口朝下∴∴，∴，故①错误∵抛物线与x轴两个交点∴当y=0时，方程有两个不相等的实数根∴方程的判别式，故②正确∵∴，∴∵，∴即，故④正确∵抛物线的对称轴为：，且抛物线开口朝下∴可知二次函数，在时，y随x的增大而减小∵∴，故⑤错误故正确的有：②③④故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数和一元二次方程的关系等知识，掌握二次函数的性质，特别是根据对称轴求出抛物线与x轴的交点是解答本题的关键．53．（2023·辽宁营口）如图1，在四边形中，，动点P，Q同时从点A出发，点P以的速度沿向点B运动（运动到B点即停止），点Q以的速度沿折线向终点C运动，设点Q的运动时间为，的面积为，若y与x之间的函数关系的图像如图2所示，当时，则____________．【答案】【解析】根据题意以及函数图像可得出，则点在上运动时，为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为时，此时，则，当时，过点作于点，则此时，分别表示出相关线段可得y与x之间的函数解析式，将代入解析式求解即可．【详解】解：过点作，垂足为在中∵，∴∵点P的速度为，点Q的速度为∴∴在和中∵，∴∴点在上运动时，为等腰直角三角形∴∴当点在上运动时，由图像可知，当此时面积最大，或（负值舍去）∴当时，过点作于点，如图：此时在中，，∴，，∴即所以当时，故答案为：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键．54．（2023·四川成都）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度（米）与物体运动的时间（秒）之间满足函数关系，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设表示0秒到秒时的值的“极差”（即0秒到秒时的最大值与最小值的差），则当时，的取值范围是_________当时，的取值范围是_________．【答案】

【解析】根据题意，得-45+3m+n=0，，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，∴∴解得m=50，m=10当m=50时，n=-105当m=10时，n=15∵抛物线与y轴交于正半轴∴n＞0∴∵对称轴为t==1，a=-5＜0∴时，h随t的增大而增大当t=1时，h最大，且（米）当t=0时，h最最小，且（米）∴w=∴w的取值范围是故答案为：．当时，的取值范围是∵对称轴为t==1，a=-5＜0∴时，h随t的增大而减小当t=2时，h=15米，且（米）当t=3时，h最最小，且（米）∴w=，w=∴w的取值范围是故答案为：．【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．55．（2022·四川德阳）已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为_____．【答案】17【解析】根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．【详解】解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3整理得x2-（10+k）x+36=0∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去）∴k的最大值是15，最小值是2∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．【点睛】本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．56．（2022·吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________．【答案】【解析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解．【详解】解：将点代入抛物线中，解得∴抛物线解析式为设CD、EF分别与轴交于点M和点N当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中得到：解得，(负值舍去)∴故答案为：．【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．57．（2022·四川南充）关于抛物线，给出下列结论：①当时，抛物线与直线没有交点②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间③若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则．其中正确结论的序号是________．【答案】②③【解析】先联立方程组，得到，根据判别式即可得到结论②先求出a＜1，分两种情况：当0＜a＜1时，当a＜0时，进行讨论即可③求出抛物线的顶点坐标为：，进而即可求解．【详解】解：联立，得∴∆=，当时，∆有可能≥0∴抛物线与直线有可能有交点，故①错误抛物线的对称轴为：直线x=若抛物线与x轴有两个交点，则∆=，解得：a＜1∵当0＜a＜1时，则＞1，此时，x＜，y随x的增大而减小又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间∵当a＜0时，则＜0，此时，x＞，y随x的增大而减小又∵x=0时，y=1＞0，x=1时，y=a-1＜0∴抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间综上所述：若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故②正确抛物线的顶点坐标为：∵∴抛物线的顶点所在直线解析式为：x+y=1，即：y=-x+1∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界）∴，解得：，故③正确．故答案是：②③．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．58．（2022·江苏连云港）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．【答案】1264【解析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．【详解】解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．据题意：∴∵∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元故答案为：1264【点睛】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．59．（2021·四川内江）已知抛物线（如图）和直线．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为和．若，取和中较大者为M若，记．①当时，M的最大值为4②当时，使的x的取值范围是③当时，使的x的值是，④当时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是____（填写所有正确结论的序号）【答案】②④【解析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．【详解】解：对于①：当时，，，显然只要，则M的值为，故①错误对于②：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立的函数表达式，即，求得交点横坐标为和，观察图形可知的x的取值范围是，故②正确对于③：当时，在同一直角坐标系内画出的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M联立的函数表达式，即，求得其交点的横坐标为和故M=3时分类讨论：当时，解得或，当时，解得，故③错误对于④：当时，函数，此时图像一直在图像上方，如下图所示，故此时M=，故M随x的增大而增大，故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图像性质及交点坐标，本题的关键是要能理解M的含义，学会用数形结合的方法分析问题．60．（2021·湖北荆门）如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①②若点C的坐标为，则的面积可以等于2③是抛物线上两点，若，则④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④【解析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．【详解】解：①开口向下，a<0，对称轴x=1,a<0,b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上，c>0，abc<0，正确．②从图像可知，AB>4,>，，故错误．③，从图像可知到1的距离小于到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大，故错误．④把点（3，-1）代入抛物线得，即，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．61．（2021·湖北武汉）抛物线（，，为常数，）经过，两点，下列四个结论：①一元二次方程的根为，②若点，在该抛物线上，则③对于任意实数，总有④对于的每一个确定值，若一元二次方程（为常数，）的根为整数，则的值只有两个．其中正确的结论是________（填写序号）．【答案】①③【解析】①根据二次函数与一元二次方程的联系即可得②先点，得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性与增减性即可得③先求出二次函数的顶点坐标，再根据二次函数图象的平移规律即可得④先将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为，再根据二次函数与一元二次方程的联系即可得．【详解】抛物线经过，两点一元二次方程的根为，，则结论①正确抛物线的对称轴为时的函数值与时的函数值相等，即为当时，y随x的增大而减小又，则结论②错误当时，则抛物线的顶点的纵坐标为，且将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为由二次函数图象特征可知，的图象位于x轴的下方，顶点恰好在x轴上即恒成立则对于任意实数，总有，即，结论③正确将抛物线向下平移个单位长度得到的二次函数解析式为函数对应的一元二次方程为，即因此，若一元二次方程的根为整数，则其根只能是或或对应的的值只有三个，则结论④错误综上，结论正确的是①③故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数图象的平移问题、二次函数与一元二次方程的联系等知识点，熟练掌握并灵活运用二次函数的图象与性质是解题关键．62．（2021·湖北咸宁）如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），，且交正方形外角的平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：①②③④的面积的最大值为1．其中正确结论的序号是_____________．（把正确结论的序号都填上）【答案】①②③【解析】证明∠BAE=∠CEG，结合∠B=∠BCD可证明△ABE∽△ECG，可判断①在BA上截取BM=BE，证明△AME≌△ECF，可判断②可得△AEF为等腰直角三角形，证明∠BAE+∠DAF=45°，结合∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF，可判断③设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据△AME≌△ECF，求出△AME面积的最大值即可判断④.【详解】解：∵四边形ABCD为正方形∴∠B=∠BCD=90°∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠CEG=90°，又∠AEB+∠BAE=90°∴∠BAE=∠CEG∴△ABE∽△ECG，故①正确在BA上截取BM=BE∵四边形ABCD为正方形∴∠B=90°，BA=BC∴△BEM为等腰直角三角形∴∠BME=45°∴∠AME=135°∵BA-BM=BC-BE∴AM=CE∵CF为正方形外角平分线∴∠DCF=45°∴∠ECF=135°=∠AME∵∠BAE=∠FEC∴△AME≌△ECF（ASA）∴AE=EF，故②正确∴△AEF为等腰直角三角形∴∠EAF=∠EFA=45°∴∠BAE+∠DAF=45°而∠BAE=∠CEF，∠FCH=45°=∠CFE+∠CEF∴，故③正确设BE=x，则BM=x，AM=AB-BM=2-xS△AME=•x•（2-x）=当x=1时，S△AME有最大值而△AME≌△ECF∴S△AME=S△CEF∴S△CEF有最大值，所以④错误综上：正确结论的序号是：①②③.故答案为：①②③.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题.63．（2021·四川乐山）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：（1）当时，的取值范围是______（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．【答案】

或【解析】（1）首先利用的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义精确求解x取值范围．（2）本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继而根据函数性质反求参数．【详解】（1）因为表示整数，故当时，的可能取值为0,1,2．当取0时，当取1时，当=2时，．故综上当时，x的取值范围为：．（2）令，，由题意可知：，．①当时，=，，在该区间函数单调递增，故当时，，得．②当时，=0，不符合题意．③当时，=1，，在该区间内函数单调递减，故当取值趋近于2时，，得当时，，因为，故，符合题意．故综上：或．【点睛】本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非常规题型转化为常见题型．三、解答题64．（2023·山东青岛）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．【答案】(1)m=1(2)二次函数的图象与x轴有两个交点，理由见解析．【解析】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．(1)解：∵二次函数y=x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4)∴4=4+2m+m2−3即m2+2m−3=0解得：m1=1，m2=−3又∵m>0∴m=1(2)解：由（1）知二次函数y=x2+x−2∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．65．（2023·江苏常州）在5张相同的小纸条上，分别写有语句：①函数表达式为②函数表达式为③函数的图像关于原点对称④函数的图像关于轴对称⑤函数值随自变量增大而增大．将这5张小纸条做成5支签，①、②放在不透明的盒子中搅匀，③、④、⑤放在不透明的盒子中搅匀．(1)从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是______(2)先从盒子中任意抽出1支签，再从盒子中任意抽出1支签．求抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率．【答案】(1)(2)【解析】（1）直接由概率公式求解即可（2）画出树状图，再由概率计算公式求解即可．(1)解：从盒子中任意抽出1支签，抽到①的概率是故答案为：(2)解：画出树状图：共有6种结果，抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的有①、③和①、⑤和②、④共3种抽到的2张小纸条上的语句对函数的描述相符合的概率为．【点睛】本题主要考查了列表法或树状图求概率，一次函数与二次函数的性质，解题的关键是会列出表或树状图以及一次函数与二次函数的性质．66．（2023·陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为．(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标．【答案】(1)(2)【解析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而可解决问题．(1)依题意，顶点设抛物线的函数表达式为将代入，得．解之，得．∴抛物线的函数表达式为．(2)令，得．解之，得．∴．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．67．（2021·黑龙江鹤岗）如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．（1）求的值（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）（2）存在，点的坐标为或或．【解析】（1）根据求出A,B,C的坐标，再由的面积是6得到关于a的方程即可求解（2）根据得到点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．【详解】（1）∵令，则∴令，即解得，由图象知：∴，∵∴解得：，（舍去）（2）∵∴∵.∴点的纵坐标为±3把代入得解得或把代入得解得或∴点的坐标为或或．【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．68．（2021·山东青岛）某公司生产型活动板房成本是每个425元．图①表示型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长，宽，抛物线的最高点到的距离为．（1）按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用表示，求该抛物线的函数表达式（2）现将型活动板房改造为型活动板房．如图②，在抛物线与之间的区域内加装一扇长方形窗户，点，在上，点，在抛物线上，窗户的成本为50元．已知，求每个型活动板房的成本是多少？（每个型活动板房的成本＝每个型活动板房的成本+一扇窗户的成本）（3）根据市场调查，以单价650元销售（2）中的型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价（元）定为多少时，每月销售型活动板房所获利润（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2）500（3）n=620时，w最大=19200元【解析】（1）根据图形及直角坐标系可得到D,E的坐标，代入即可求解（2）根据N点与M点的横坐标相同，求出N点坐标，再求出矩形FGMN的面积，故可求解（3）根据题意得到w关于n的二次函数，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）由题可知D（2,0），E（