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文档简介

附录数学准备(二)矢量代数梯度、散度和旋度关于散度和旋度的一些定理算符运算公式曲线正交坐标系轴对称情形下拉普拉斯方程的通解并矢和张量1在一般曲线正交坐标系中，空间一点P的位置，用三个坐标表示5.曲线正交坐标系沿这些坐标增加方向的单位矢量单位矢量按一定规则改变方向2以极坐标为例3在曲线正交坐标系中有一般公式56常用的曲线正交坐标系：（1）柱坐标系7（2）球坐标系9106.轴对称情形下拉普拉斯方程的通解在轴对称情形下，拉普拉斯方程用球坐标表示为11令此常数为n(n+1),则得两个方程：13容易求出解为任意常数，由边界条件确定14作代换变换角度方程15用简单方法求出Pn(cos)的显示式:当r≠0时点电荷电势为拉普拉斯方程的解。将下式描述的电势代入即可验证17对拉普拉斯方程作用算符为一解,若亦为一解亦为解18因此，拉普拉斯方程具有特解这些特解都具有形式…19可以证明Pn(cos)的一般表达式为217.并矢和张量一般,两矢量ab并列即为并矢并矢是张量的一种特殊情形，为什么引入并矢?即为并矢一变形物体在外力作用下其各部分有内力相互作用。为研究其内力，将变形物体沿某个截面切开，切面的法向单位为n。在截面上某一点单位面积上作用的力矢量为f。f对截面的拉伸：22并矢：两矢量并列，不做任何运算有9个分量23通过界面OBC单位面积流入体内的动量三个分量为T11，T21，T31通过界面OCA单位面积流入体内的动量三个分量为T12，T22，T32通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为T13，T23，T3325当体积V→0时，通过这三个面流入体内的动量等于从面元ABC流出的动量。因此，通过ABC面流出的动量各分量为26张量是具有9个分量的物理量当这9个分量在坐标系转动下按一定方式变换时，由它们组成的物理量就称为张量。并矢是张量的一种特殊情形。29可参考平面向量(二维,2个分量)的旋转变换空间向量(三维,3个分量)的旋转变换30Ox’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角1、1、1Oy’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角2、2、2Oz’与Ox轴、Oy轴、Oz轴夹角3、3、331一般张量可以写为（i,j=1，2，3)三个对角分量为1，其它分量为0。单位张量32可以作为张量的9个基直角坐标系的单位基矢是在这9个基上的分量33并矢与矢量的点乘是一个矢量。（2）张量的代数运算并矢与矢量的点乘规则：一般而言34张量和矢量的点乘

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