模糊综合评价

模糊综合评价第1页，共56页，2023年，2月20日，星期五2.1普通集合及其运算规则2.2模糊集合及其运算规则2.3模糊关系与模糊推理模糊数学的相关知识2第2页，共56页，2023年，2月20日，星期五

1)普通集合的基本概念论域被讨论的对象的全体称作论域。论域常用大写字母U、X、Y、Z等来表示。2.1普通集合及其运算规则元素论域中的每个对象称为元素。元素常用小写字母a、b、x、y等来表示。集合给定一个论域，论域中具有某种相同属性的元素的全体称为集合。集合常用大写字母A、B、C等来表示，集合的元素可用列举法（枚举法）和描述法表示。列举法：将集合的元素一一列出，如：A={a1，a2，a3，…an}。描述法：通过对元素的定义来描述集合。如：A＝｛x│x≥0andx/2=自然数｝3第3页，共56页，2023年，2月20日，星期五全集若某集合包含论域里的全部元素，则称该集合为全集。全集常用E来表示。空集不包含论域中任何元素的集合称作空集。空集用Φ来表示。子集设A、B是论域U上的两个集合，若集合A上的所有元素都能在集合B中找到，则称集合A是集合B的子集。记作AB。集合相等设A、B为同一论域上的两个集合，若AB，且BA，则称集合A与集合B相等。记作A=B。4第4页，共56页，2023年，2月20日，星期五2)普通集合的并、交、补运算设A、B为同一论域上的集合，则A与B的并集、交集、补集分别定义为：5第5页，共56页，2023年，2月20日，星期五

设A、B分别为论域U、V上的集合，由A和B的各自元素a∈A及b∈B做成的序偶（a，b）组成的集合，称为A与B的直积，记作A×B。即：A×B={(a，b)a∈A，b∈B}例：若A={a，b，c}，B={1，2}，则A×B={(a,1)(a,2)(b,1)(b,2)(c,1)(c,2)}元素之间可以互换位置。序偶中的元素不可以互换位置。6B×A={(1,a)(1,b)(1,c)(2,a)(2,b)(2,c)}(a,2)(a,1)(a

,1)(b,1)3)集合的直积6第6页，共56页，2023年，2月20日，星期五

在普通集合中，论域中的元素（如a）与集合（如A）之间的关系是属于（a∈A），或者不属于（aA），它所描述的是非此即彼的清晰概念。但在现实生活中并不是所有的事物都能用清晰的概念来描述，如:风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低2.2模糊集合及其运算规则7第7页，共56页，2023年，2月20日，星期五

在模糊数学中，我们称没有明确边界（没有清晰外延）的集合为模糊集合。常用大写字母下加波浪线的形式来表示，如、等。元素属于模糊集合的程度用隶属度或模糊度来表示。

用于计算隶属度的函数称为隶属函数。举例：1)模糊集合的概念8第8页，共56页，2023年，2月20日，星期五隶属度即论域元素属于模糊集合的程度。用来表示。隶属度的值为[0，1]闭区间上的一个数，其值越大，表示该元素属于模糊集合的程度越高，反之则越低。计算隶属度的函数称为隶属函数。用表示。

隶属度和隶属函数的表示形式看起来很相似，但是它们的意义是完全不一样的。指论域中特定元素xi属于A的隶属度，而中的x是一个变量，可表示论域中的任一元素。9第9页，共56页，2023年，2月20日，星期五(1)向量表示法(2)扎德表示法当论域U由有限多个元素组成时，模糊集合可用向量表示法或法扎德表示法表示。设模糊集合的表示例：设论域U={钢笔，衣服，台灯，纸}，他们属于学习用品的隶属度分别为:1，0，0.6，0.8，则模糊集合学习用品可分别用向量表示法和扎德表示法表示如下：10第10页，共56页，2023年，2月20日，星期五如扎德给出的计算老年人模糊集合的隶属函数为:其论域为[0，200]的连续区间，论域上任一元素的隶属度，可通过隶属函数求得。当论域U为连续区域时,模糊集合可用隶属函数来表示当论域U由无限个元素组成时，可用扎德表示法表示上式表示模糊集合由论域U上无限多个元素与其相应的隶属度关系组成。11第11页，共56页，2023年，2月20日，星期五

对论域U上一个确定元素u0是否属于论域上的一个边界可变的普通集合A*的问题，针对不同的对象进行调查统计，再根据模糊统计规律计算出u0的隶属度。用模糊统计法确定隶属度的基本思想模糊统计法的具体步骤

（1）确定一个论域U；（2）在论域中选择一个确定的元素u0；（3）考虑U上的一个边界可变的普通集合A*；（4）就u0是否属于A*的问题针对不同对象调查统计，并记录结果；（5）根据模糊统计规律

计算u0属于模糊集合A的隶属度2)隶属度及隶属函数的确定12第12页，共56页，2023年，2月20日，星期五18～2517～3017～2818～2516～3514～2518～3018～3518～3516～2515～3018～3517～3518～2518～2518～3520～3018～3016～3020～3518～3018～3015～2518～3015～2816～2818～3018～3016～3018～3518～2518～2516～2818～3016～3016～2818～3518～3517～2716～2815～2816～3019～2815～3015～2617～2515～3618～3017～3018～3516～3515～2515～2518～2816～3015～2818～3518～3017～2818～3515～2818～3015～2515～2518～3016～2415～2516～3215～2718～3516～2518～2816～2818～3018～3518～3018～3017～3018～3018～3516～3018～3517～2515～3018～2517～3014～2518～2618～2918～3518～2818～3018～2516～3517～2918～2517～3016～2818～3016～2815～3015～3515～3020～3020～3016～2517～3015～3018～3016～3018～2818～3516～3015～3018～3518～3518～3017～3016～3517～3015～2518～3515～3015～2515～3018～3017～2518～2918～28模糊统计法举例例：用模糊统计法确定27岁的人属于“青年人”模糊集合的隶属度。武汉工业大学张南伦教授调查统计结果如下：表2-1关于“青年人”年龄的调查13第13页，共56页，2023年，2月20日，星期五

由张教授调查统计结果可知，共调查统计129次，其中27岁的人属于“青年人”这个边界可变的普通集合的次数为101次。根据模糊统计规律计算隶属度为：14第14页，共56页，2023年，2月20日，星期五

求取论域中足够多元素的隶属度，根据这些隶属度求出隶属函数。具体步骤为：①求取论域中足够多元素的隶属度；②求隶属函数曲线。以论域元素为横坐标，隶属度为纵坐标，画出足够多元素的隶属度（点），将这些点连起来，得到所求模糊结合的隶属函数曲线；③求隶属函数。将求得的隶属函数曲线与常用隶属函数曲线相比较，取形状相似的隶属函数曲线所对应的函数，修改其参数，使修改参数后的隶属函数的曲线与所求隶属函数曲线一致或非常接近。此时，修改参数后的函数即为所求模糊结合的隶属函数。隶属函数的确定15第15页，共56页，2023年，2月20日，星期五年龄隶属次数隶属度年龄隶属次数隶属度年龄隶属次数隶属度15270.2122129129800.6216510.3923129130770.6017670.5224129131270.21181240.96251280.9932270.21191250.97261030.8033260.20201291271010.7834260.2021129128990.7735250.19表2-215～35岁的人属于青年人的隶属度由表2-1可分别计算出15～35岁的人属于模糊集合“青年人”的隶属度，计算结果如下表：例：根据张南伦教授的统计结果，求青年人模糊集合的隶属函数。16第16页，共56页，2023年，2月20日，星期五根据表2-2的计算结果，以年龄为横坐标，隶属度为纵坐标，绘出隶属函数曲线如下图所示。年龄（岁）1520253035隶属度1017第17页，共56页，2023年，2月20日，星期五18

所求隶属函数曲线与降半哥西型函数曲线较相似，降半哥西型隶属函数为：修改降半哥西型隶属函数参数，使其函数曲线与所求隶属函数曲线非常接近。此时取α=1/25，a=24.5，β=2。参数修改后的降半哥西型函数即为模糊集合“青年人”的隶属函数。即：18第18页，共56页，2023年，2月20日，星期五补集：将集合的每一个元素的隶属度取反。

设、为论域U上的两个模糊集合。则与的并集()、交集（）、补集（）也是论域上的模糊集合。

并集：将对应的论域元素的隶属度两两取大。交集：将对应的论域元素的隶属度两两取小。3)模糊集合的并、交、补运算19第19页，共56页，2023年，2月20日，星期五

关系是指对两个普通集合的直积施加某种条件限制后得到的序偶集合。常用R表示。例：A=（1，3，5），B=（2，4，6）则直积集合为：A×B={(1，2)(1，4)(1，6)(3，2)(3，4)(3，6)(5，2)(5，4)(5，6)}对其施加a>b的条件限制，则满足条件的集合为：A×Ba>b={(3，2)(5，2)(5，4)}对A×B施加a>b的条件限制后得到的新的集合定义为关系，记做R。则：Ra>b={(3，2)(5，2)(5，4)}。1)关系与模糊关系2.3模糊关系与模糊推理20第20页，共56页，2023年，2月20日，星期五Ra>b=A100031005110

246B关系R可以用矩阵形式来表示。一般形式为：则对上例有：21第21页，共56页，2023年，2月20日，星期五模糊关系指对普通集合的直积施加某种模糊条件限制后得到的模糊集合。记作R表示。模糊关系可用扎德表示法、隶属函数或矩阵形式来表示。当论域元素有限时，模糊关系R可用扎德表示法表示和模糊关系矩阵来表示。模糊关系例：设A和B为两个不同论域上的普通集合，A=（123），B=（12345），对A×B施加a«b的模糊条件限制后得到一个模糊关系为：或22第22页，共56页，2023年，2月20日，星期五

例：设A与B均为实数集合，A到B的一个模糊关系R的隶属函数为它表示的是a»

b的模糊关系。当论域为连续区间时，模糊关系R可用隶属函数来表示。23第23页，共56页，2023年，2月20日，星期五(4)合成(1)并、交、补(2)相等与包含(3)转置(5)幂运算2)模糊关系矩阵的运算24第24页，共56页，2023年，2月20日，星期五(1)并、交、补运算设、为同一论域U上的两个模糊关系矩阵，，。。则其并、交、补运算分别定义为：，并运算：交运算：补运算：25第25页，共56页，2023年，2月20日，星期五(3)转置运算模糊关系矩阵的转置与普通矩阵的转置相似，即将行和列互相交换，记作。

例如：设同一论域上的两个模糊关系矩阵，，，，。若所有的，则称包含，或包含于，记作。若所有的，则称与相等。记作。(2)相等与包含26第26页，共56页，2023年，2月20日，星期五(4)合成运算回忆普通矩阵的乘法运算设模糊关系，，则对的合成定义为：为合成符号模糊关系矩阵的合成与普通矩阵的乘法运算过程一样，运算符号不同。(5)幂运算依次类推27第27页，共56页，2023年，2月20日，星期五什么是事物的模糊性？指客观事物在中介过渡时所呈现的“亦此亦彼性”。(1)清晰的事物——每个概念的内涵（内在涵义或本质属性）和外延（符合本概念的全体）都必须是清楚的、不变的，每个概念非真即假，有一条截然分明的界线，如男、女。(2)模糊性事物——由于人未认识，或有所认识但信息不够丰富，使其模糊性不可忽略。它是一种没有绝对明确的外延的事物。如美与丑等。人们对颜色、气味、滋味、声音、容貌、冷暖、深浅等的认识就是模糊的。模糊综合评价方法28第28页，共56页，2023年，2月20日，星期五“事物的复杂性与精确性的矛盾是当代科学的一个基本矛盾”，由此促使着模糊数学的产生和发展。“模糊”并非坏事，在有些情况下它比精确更有意义，会带来更好的效果，如模糊描述人的特征，对人进行模糊综合评价。郑板桥讲“难得糊涂”，实际上包含了难得模糊的哲理。模糊综合评价方法29第29页，共56页，2023年，2月20日，星期五模糊综合评价方法很多时候，人们不仅要从多种因素考虑，且一般只能用模糊语言描述。如显示器的舒适性，人员的政治立场坚定，某建设方案的社会影响等。评价者从诸因素出发，参照有关信息，根据其判断对复杂问题分别作出“大、中、小”；“高、中、低”；“优、良、可、劣”；“好、较好、一般、较差、差”等程度性的模糊评价。30第30页，共56页，2023年，2月20日，星期五多因素评价较困难，因为要同时综合考虑的因素很多，而各因素重要程度又不同，使问题变得很复杂。如用经典数学方法来解决综合评价问题，就显得很困难。而模糊数学则为解决模糊综合评价问题提供了理论依据，从而找到了一种简便而有效的评价与决策方法。可通过模糊数学提供的方法进行运算，得出定量的综合评价结果，从而为正确决策提供依据。模糊综合评价方法31第31页，共56页，2023年，2月20日，星期五一、模糊综合评价的数学模型1.模糊数学的产生至今，数学的发展已经历三代：（1）第一代数学：经典数学，研究和处理精确的必然现象；（2）第二代数学：统计数学，研究和处理事物偶然性(随机性)；（3）第三代数学：模糊数学，研究和处理事物的模糊性。它们都是不确定数学，是精确（确定）数学的延伸和发展。FuzzyMaths，专门用来处理和研究模糊性事物的一种新的数学方法。1965年美国加州大学查德(L.A.Zadeh)教授发表《FuzzySets》一文，标志其诞生。32第32页，共56页，2023年，2月20日，星期五2.模糊数学的任务（1）给数学“禁区”的各门学科，如社会、人文学科等提供新的语言和工具；（2）使计算机能仿效人脑对复杂系统进行识别和判断，提高自动化水平，使电脑更“聪明”。一、模糊综合评价的数学模型33第33页，共56页，2023年，2月20日，星期五给定评价指标因素（着眼点）的有限集合和评语的有限集合则相对某一单项评价因素u1而言，评价结果可以用评语集合V这一论域上的模糊子集来描述：并简记为向量形式一、模糊综合评价的数学模型34第34页，共56页，2023年，2月20日，星期五如对教材进行评价，假如评价科学性(u1)、实践性(u2)、适应性(u3)、先进性(u4)、专业性(u5)等方面，则评价指标因素集为若评价结果划分为“很好”(v1)、“好”(v2)、“一般”(v3)、“差”(v4)四个等级，评语集则为一、模糊综合评价的数学模型35第35页，共56页，2023年，2月20日，星期五如只对科学性(u1)一个因素来评定该教材，若采用民意测验的方法，结果16%的人说“很好”，42%的人说“好”，39%的人说“一般”，3%的人说“差”，则评价结果可用模糊集描述评价结果是评语集合V这一论域上的模糊子集。可简记为向量形式一、模糊综合评价的数学模型就是对被评对象所做的单因素评价。36第36页，共56页，2023年，2月20日，星期五然而，一般往往需要从几个方面来综合地评价某一事物，从而得到一个综合的评价结果。对多指标因素的综合评价，最终结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集，记作。其中bj为V中相应元素的隶属度，且。简记为m维向量形式一、模糊综合评价的数学模型37第37页，共56页，2023年，2月20日，星期五实际评价工作中，考虑到不同评价因素重要性的区别，评价因素集合是因素集U这一论域上的模糊子集，记作。简记为n维向量形式其中ai为U中相应元素的隶属度，且。一、模糊综合评价的数学模型38第38页，共56页，2023年，2月20日，星期五一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U这一论域上的一个模糊集合经过模糊关系变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合，即上式即模糊综合评价的数学模型。其中种评语的可能程度。模糊综合评价模型中的矩阵乘积表示复合关系。——模糊综合评价的结果，是m维模糊行向量。——模糊评价因素权重集合，是n维模糊行向量。——从U到V的一个模糊关系，是矩阵。表示从第i个因素着眼，做出第j一、模糊综合评价的数学模型39第39页，共56页，2023年，2月20日，星期五模糊综合评价的步骤：设定评价指标因素集U；设定评语集V；确定评价指标权重集；用民意测验方法请专家实施评价；建立评价矩阵；按数学模型进行综合评价；归一化处理，得出具有可比性的综合评价结果。一、模糊综合评价的数学模型40第40页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、模糊综合评价的应用1.用于讲课质量的评估U=[清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书整洁]V=[很好，较好，一般，不好]41第41页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、模糊综合评价的应用归一化：42第42页，共56页，2023年，2月20日，星期五2.用于科技成果的评定

U=[水平，成功概率，经济效益]V=[高，中，低]因素项目技术水平成功概率经济效益甲乙丙接近国际先进国内先进一般70%100%100%>100万元>200万元>20万元二、模糊综合评价的应用43第43页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、模糊综合评价的应用评价项目科技水平成功概率经济效益高中低大中小高中低甲0.70.20.10.10.20.70.30.60.1乙0.30.60.11000.70.30丙0.10.40.51000.10.30.644第44页，共56页，2023年，2月20日，星期五二、模糊综合评价的应用综合评价：归一化：排序：乙、甲、丙45第45页，共56页，2023年，2月20日，星期五3.某品牌服装的市场定位选择（方案不同，各指标权重不同）f1f2f3f4f5f6因素集款式面料耐穿度流行性商标价格e1e2e3e4评语集很欢迎欢迎一般不欢迎a1a2市场定位方案集第一类消费者第二类消费者二、模糊综合评价的应用46第46页，共56页，2023年，2月20日，星期五利用市场调查获得模糊评价矩阵：很欢迎e1欢迎e2一般e3不欢迎e4款式f10.550.340.100.01面料f20.600.150.250耐穿性f30.250.400.150.20流行性f40.800.120.080商标f50.500.380.120价格f60.210.170.440.18二、模糊综合评价的应用47第47页，共56页，2023年，2月20日，星期五4.不同类型考核的综合（考核类型不同，各指标评语不同）设考核因素集为F={f1,f2,f3,f4}，评语集为