机械波平面简谐波方程

机械波平面简谐波方程第1页，共27页，2023年，2月20日，星期五第一节波动的基本概念10-1ssss第2页，共27页，2023年，2月20日，星期五机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。产生机械波的必要条件：波源作机械振动的物体；媒质能够传播机械振动的弹性媒质。一、机械波的产生机械波的产生及描述机械波的产生及描述

波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播.注意第3页，共27页，2023年，2月20日，星期五横波与纵波二、横波与纵波横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波：质点的振动方向与波的传播方向平行软绳软弹簧波的传播方向质点振动方向波的传播方向质点振动方向

在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。第4页，共27页，2023年，2月20日，星期五

纵波

特点：质点的振动方向与波传播方向一致第5页，共27页，2023年，2月20日，星期五几何描述三、波的几何描述波前波面波线波面振动相位相同的点连成的面。波前最前面的波面。平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）波的传播方向。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。第6页，共27页，2023年，2月20日，星期五第7页，共27页，2023年，2月20日，星期五波的物理量波传播方向四、描述波动的物理量l波长l振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。横波：相邻波峰——波峰波谷——波谷纵波：相邻波疏——波疏波密——波密第8页，共27页，2023年，2月20日，星期五波的物理量波传播方向l波速u周期T波形移过一个波长所需的时间。频率n周期的倒数。n1T波速u单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。ulTnl或luT第9页，共27页，2023年，2月20日，星期五

媒质中波动传到的各点，都可以看作能够发射子波的新波源，在这以后的任意时刻，这些子波的包络面就是该时刻的波面。一、惠更斯原理1Rtus1()+r2Rtuts2Os1s2rut五、波动所遵从的基本原理第10页，共27页，2023年，2月20日，星期五波的叠加原理二、波的叠加原理

两波在空间某点相遇，相遇处质点的振动是各列波到达该点所引起振动的叠加；相遇后各波仍保持其各自的特性（如频率、波长、振动方向等），继续沿原方向传播。通常波强不太强的波相遇，满足叠原理，称为线性波。波强强到不满足叠加原理的波，称为非线性波。第11页，共27页，2023年，2月20日，星期五第一节简谐波10-2ssss第12页，共27页，2023年，2月20日，星期五平面简谐波平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程由简谐振动的传播所形成的波动。简谐波

简谐波又称余弦波或正弦波，是规律最简单、最基本的波。各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。一、平面简谐波简谐波的一个重要模型是平面简谐波。

平面简谐波的波面是平面，有确定的波长和传播方向，波列足够长，各质点振动的振幅恒定。第13页，共27页，2023年，2月20日，星期五波动方程二、平面简谐波的波动方程XOYu一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿X轴正向传播（正向行波）头表示该波的传播方向。试分别用小箭头表明图中A、B、C、D、E、F、G、H、I各质点的运动方向。例设某一时刻绳上横波的波形曲线如下图所示，水平箭ABCDEFGHI第14页，共27页，2023年，2月20日，星期五随堂小议（1）A点的振动速度大于零；（2）B点静止不动；（3）C点向下运动；（4）D点的振动速度小于零。以波速u沿X

轴逆向传播的简谐波t

时刻的波形如下图随堂小议OXYuABCD第15页，共27页，2023年，2月20日，星期五波动方程XOYu一列平面简谐波（假定是横波）观测坐标原点任设（不必设在波源处）波沿X轴正向传播（正向行波）xPtx如何描述任意时刻、波线上距原点为的任一点的振动规律？P设位于原点处质点的振动方程为Ocos()jyAOwt+

已知振动状态以速度沿轴正向传播。对应同一时刻，uXtPtux()振动状态与原点在时刻的振动状态相同。因此，在设定坐标系中，波线上任一点、任意时刻的振动规律为点的cos()yAjwt+ux这就是沿X轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。第16页，共27页，2023年，2月20日，星期五续上沿X轴正向传播的平面简谐波动方程cos()yAwtj+uxwT2pn2puTl波动方程常用周期T波长l或频率n的形式表达,由得cos)yA2ptlxj+)nTcos)A2ptlxj+)消去波速u第17页，共27页，2023年，2月20日，星期五波方程意义三、波动方程的物理意义cos()yAwtj+ux若给定，波动方程即为距原点处的质点振动方程xxcos()yAwtj+x2pl距原点处质点振动的初相x若给定，波动方程表示所给定的时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的波形图。ttcos()yAwtj+x2plXYO第18页，共27页，2023年，2月20日，星期五续上t+rtt+rt若和都是变量，即是和的函数，这正是波动方程所表示的波线上所有的质点的振动位置分布随时间而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。txytxcos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)正向波XOY同一时刻，沿X轴正向，波线上各质点的振动相位依次落后。tu波沿X轴正向传播反向波cos()yAwtj+uxTcos)A2ptlxj+)++YXO同一时刻，沿X轴正向，波线上各质点的振动相位依次超前。tu波沿X轴反向传播第19页，共27页，2023年，2月20日，星期五例三求已知例1波动方程y=

0.05cosp(5x

–100t)(SI)此波是正向还是反向波，并求A、n、T、u及l；x=

2

m处质点的振动方程及初相；x1=

0.2

m及x2=

0.35

m处两质点的振动相位差。cosa

=

cos(-a)y0.05cosp(5x

–100t)

解法提要20m·s

-1u,100pw,0.02sT1n,与比较得Awcos)txj+)uy0.05mA,luT0.4mnw50Hz2p,而且得知原点（x=0)处质点振动初相j00.05cos100p(t–

)

x20正向波第20页，共27页，2023年，2月20日，星期五例三求已知例1波动方程y=

0.05cosp(5x

–100t)(SI)此波是正向还是反向波，并求A、n、T、u及l；x=

2

m处质点的振动方程及初相；x1=

0.2

m及x2=

0.35

m处两质点的振动相位差。解法提要x=

2

m处y0.05cosp(5×2–100t)

0.05cos(100p

t–10p

)

初相为–10p

x1=

0.2

m处的振动相位x2=

0.35

m处的振动相位两者的相位差为5p()2x1x5p0.150.75pp(5x1

–100t)

p(5x2

–100t)

第21页，共27页，2023年，2月20日，星期五例二一平面简谐波以波速沿X轴正向传播。已知求例2wcost+yjPA()P波动方程axu位于处的P点的振动方程为YuXOaP解法提要得波动方程ycosAw(t)+jPxB设B点距原点为xP点振动传到B点需时uax即B点时刻的振动状态与P点时刻的振动状态相同ttuaxuaxcosAw(t)+jPaux(w)u第22页，共27页，2023年，2月20日，星期五

例3一平面简谐波沿轴正方向传播，已知振幅，，.在时坐标原点处的质点在平衡位置沿轴正向运动.求：(2)

波形图；(3)

处质点的振动规律并作图.(1)波动方程；解(1)

写出波动方程的标准式第23页，共27页，2023年，2月20日，星期五O(m)第24页，共27页，2023年，2月20日，星期五(2)求波形图波形方程02.01.0-1.0

时刻波形图(m)第25页，共27页，2023年，2月20日，