2020-2021学年数学4课时分层作业：2.3.1数乘向量含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年北师大版数学必修4课时分层作业：2.3.1数乘向量含解析课时分层作业（十六)数乘向量(建议用时：40分钟）一、选择题1．点C在线段AB上，且eq\o（AC，\s\up8（→)）＝eq\f(3，5）eq\o（AB,\s\up8(→)）,则eq\o（AC，\s\up8(→)）等于（）A．eq\f（2，3)eq\o(BC，\s\up8（→）） B．eq\f(3，2）eq\o（BC，\s\up8（→））C．－eq\f(2,3）eq\o（BC,\s\up8（→)） D．－eq\f(3，2)eq\o(BC，\s\up8（→）)D[∵eq\o(AC,\s\up8(→）)＝eq\f（3,5)eq\o（AB，\s\up8（→))，∴eq\o（BC，\s\up8(→））＝－eq\f（2，5)eq\o(AB,\s\up8（→)),∴eq\o(AC，\s\up8(→)）＝－eq\f（3，2）eq\o（BC，\s\up8（→））.］2．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点,且AC＝CD＝DB，如果eq\o（OA，\s\up8(→)）＝3e1，eq\o(OB，\s\up8（→)）＝3e2，则eq\o（OD,\s\up8（→）)＝（)A．e1＋2e2 B．2e1＋e2C．eq\f（2,3)e1＋eq\f（1，3)e2 D．eq\f（1,3)e1＋eq\f(2,3)e2A[∵eq\o(AB,\s\up8(→)）＝eq\o(OB，\s\up8（→）)－eq\o(OA，\s\up8（→）)＝3(e2－e1)，∴eq\o（AD，\s\up8（→）)＝eq\f（2，3)eq\o（AB，\s\up8(→））＝2（e2－e1)，∴eq\o(OD，\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8（→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝3e1＋2(e2－e1)＝e1＋2e2.]3。如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若eq\o（AB，\s\up8(→））＝a,eq\o(AC,\s\up8(→）)＝b，则eq\o(AM，\s\up8(→))等于（)A．eq\f（1，2）（a－b） B．－eq\f（1，2）(a－b）C．eq\f（1，2）（a＋b) D．－eq\f（1,2）（a＋b）C［eq\o（AM，\s\up8(→)）＝eq\o(AB,\s\up8(→））＋eq\o(BM，\s\up8(→）)＝eq\o(AB，\s\up8(→））＋eq\f(1,2)eq\o(BC，\s\up8（→）)＝eq\o（AB，\s\up8(→）)＋eq\f(1，2）(eq\o(AC,\s\up8（→)）－eq\o（AB，\s\up8（→)）)＝eq\f(1,2）eq\o(AB，\s\up8(→））＋eq\f（1,2)eq\o（AC,\s\up8(→）)＝eq\f(1，2)(a＋b)。]4．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为（)A．－1或3 B．eq\r(3）C．－1或4 D．3或4A[因为向量ma－3b与a＋(2－m）b共线，且向量a、b是两个不共线的向量,所以m＝eq\f(－3，2－m），解得m＝－1或m＝3,选A.］5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2eq\o(OA，\s\up8（→))＋eq\o（OB，\s\up8(→)）＋eq\o（OC,\s\up8（→）)＝0，则()A．eq\o（AO，\s\up8(→))＝2eq\o（OD，\s\up8（→)） B．eq\o(AO,\s\up8(→)）＝eq\o(OD,\s\up8（→））C．eq\o(AO，\s\up8（→））＝3eq\o（OD，\s\up8(→)） D．2eq\o(AO，\s\up8（→））＝eq\o（OD，\s\up8（→）)B[因为D为BC的中点，所以eq\o（OB,\s\up8（→）)＋eq\o(OC,\s\up8(→)）＝2eq\o(OD，\s\up8(→））,所以2eq\o（OA，\s\up8（→))＋2eq\o(OD,\s\up8（→))＝0，所以eq\o(OA，\s\up8（→）)＝－eq\o（OD，\s\up8(→）），所以eq\o(AO，\s\up8(→)）＝eq\o（OD,\s\up8(→))。］二、填空题6．在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O，eq\o（AB，\s\up8(→）)＋eq\o（AD,\s\up8(→））＝λeq\o（AO，\s\up8(→）），则λ＝________．2[∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴eq\o（AB，\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)）＝eq\o（AC，\s\up8(→）)＝2eq\o(AO，\s\up8(→)），∴λ＝2。]7．化简eq\f(1，12)［2（2a＋8b）－4（4a－2b)]的结果是________．2b－a[原式＝eq\f（1,12）(4a＋16b－16a＋8b)＝eq\f（1，12)（－12a＋24b)＝2b－a.]8．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝eq\f(1，2)AB，BE＝eq\f(2，3)BC.若eq\o(DE，\s\up8（→））＝λ1eq\o（AB，\s\up8（→)）＋λ2eq\o(AC,\s\up8(→）)(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．eq\f(1,2)[eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\o（DB，\s\up8(→））＋eq\o(BE,\s\up8（→））＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→）)＋eq\f(2，3）eq\o(BC,\s\up8(→）)＝eq\f（1，2）eq\o(AB,\s\up8(→））＋eq\f（2,3)（eq\o(BA,\s\up8（→))＋eq\o（AC,\s\up8（→）)）＝－eq\f（1,6)eq\o（AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3）eq\o(AC，\s\up8(→）)，所以λ1＝－eq\f(1,6），λ2＝eq\f（2,3）,即λ1＋λ2＝eq\f（1,2)。］三、解答题9．设a,b是不共线的两个向量,已知eq\o（AB，\s\up8（→））＝2a＋kb,eq\o(BC,\s\up8（→））＝a＋b，eq\o（CD,\s\up8（→）)＝a－2b，若A，B，D三点共线,求k的值．[解]∵A，B,D三点共线，∴eq\o(AB，\s\up8(→））与eq\o(BD，\s\up8（→)）共线，则必存在实数λ，使eq\o(AB,\s\up8(→))＝λeq\o(BD,\s\up8(→）），而eq\o(BD,\s\up8(→)）＝eq\o（BC,\s\up8（→）)＋eq\o(CD,\s\up8(→））＝（a＋b）＋（a－2b)＝2a－b，∴2a＋kb＝λ（2a－b）＝2λa－λ于是eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(2＝2λ，,k＝－λ))⇒eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（λ＝1，,k＝－1,)）∴k＝－1.10．已知O,A，M，B为平面上四点，且eq\o(OM,\s\up8(→))＝λeq\o（OB，\s\up8(→)）＋(1－λ）eq\o（OA，\s\up8（→))(λ∈R,λ≠1，λ≠0)。（1)求证:A,B,M三点共线；(2）若点B在线段AM上,求实数λ的范围．[解](1）证明：因为eq\o(OM，\s\up8(→)）＝λeq\o(OB,\s\up8(→）)＋（1－λ）eq\o(OA，\s\up8（→))，所以eq\o（OM，\s\up8(→))＝λeq\o(OB，\s\up8(→))＋eq\o（OA,\s\up8(→）)－λeq\o(OA,\s\up8(→）），eq\o（OM，\s\up8(→）)－eq\o(OA,\s\up8(→））＝λeq\o（OB，\s\up8(→））－λeq\o(OA，\s\up8(→）），即eq\o(AM，\s\up8（→))＝λeq\o(AB,\s\up8（→）)，又λ∈R，λ≠1，λ≠0且eq\o（AM，\s\up8(→)),eq\o(AB，\s\up8（→））有公共点A，所以A，B，M三点共线．（2）由（1）知eq\o（AM，\s\up8（→）)＝λeq\o(AB,\s\up8（→))，若点B在线段AM上，则eq\o（AM,\s\up8(→)）,eq\o(AB,\s\up8（→））同向且｜eq\o（AM,\s\up8（→））｜>｜eq\o(AB,\s\up8（→)）|(如图所示）。所以λ〉1。1．已知向量a与b反向，且｜a｜＝r，|b｜＝R,b＝λa，则λ的值等于()A．eq\f(r,R）B．－eq\f（r，R）C．－eq\f(R，r)D．eq\f（R，r)C［∵b＝λa，∴｜b｜＝|λ｜|a｜。又a与b反向,∴λ＝－eq\f(R,r）。]2．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足eq\o(OP,\s\up8（→)）＝eq\o（OA,\s\up8(→））＋λ（eq\o（AB,\s\up8（→））＋eq\o（AC，\s\up8(→))）,λ∈［0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．垂心C［因为eq\o(OP，\s\up8（→）)＝eq\o（OA，\s\up8(→））＋λ（eq\o（AB,\s\up8(→))＋eq\o（AC,\s\up8（→))),λ∈[0，＋∞)，所以eq\o（AP，\s\up8(→））＝λ(eq\o（AB，\s\up8（→）)＋eq\o(AC，\s\up8(→））)，λ∈［0,＋∞），即eq\o(AP，\s\up8(→)）与eq\o(AB,\s\up8（→)）＋eq\o(AC,\s\up8（→)）共线，而eq\o（AB，\s\up8（→））＋eq\o(AC，\s\up8(→)）是以eq\o（AB，\s\up8(→)），eq\o（AC，\s\up8(→））为邻边的平行四边形的对角线表示的向量,而对角线与BC的交点是中点，所以P的轨迹一定通过△ABC的重心．]3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o（AD,\s\up8（→)）＝2eq\o（DB,\s\up8(→）），eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3）eq\o（CA,\s\up8(→））＋λeq\o（CB,\s\up8（→)）,则λ的值为________．eq\f(2，3)［eq\o（CD，\s\up8(→）)＝eq\o(CA,\s\up8（→）)＋eq\o(AD，\s\up8(→））＝eq\o(CA,\s\up8(→））＋eq\f(2,3)eq\o（AB,\s\up8（→)）＝eq\o（CA,\s\up8（→）)＋eq\f(2，3)(eq\o（CB，\s\up8(→))－eq\o（CA，\s\up8（→）））＝eq\f(1，3）eq\o(CA，\s\up8(→))＋eq\f（2,3)eq\o(CB,\s\up8(→)）.]4．在▱ABCD中，eq\o（AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD，\s\up8(→））＝b，eq\o(AN,\s\up8（→）)＝3eq\o(NC,\s\up8（→)），M为BC的中点,则eq\o（MN,\s\up8(→）)＝________(用a，b表示）.eq\f（1，4)b－eq\f（1，4)a[如图，eq\o（MN，\s\up8(→））＝eq\o(MB,\s\up8(→)）＋eq\o(BA，\s\up8（→)）＋eq\o（AN，\s\up8(→））＝－eq\f（1，2）b－a＋eq\f(3,4)eq\o（AC，\s\up8(→）)＝－eq\f（1,2）b－a＋eq\f（3,4）(a＋b）＝eq\f(1，4)（b－a).]5．如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点,点N在BD上，且BN＝eq\f（1,3)BD。求证：M、N、C三点共线．[证明]设eq\o(BA，\s\up8（→）)＝a,eq\o(BC，\s\up8（→))＝b，则由向量减法的三角形法则可知：eq\o（CM,\s