第1课时变化率与导数一轮复习讲义

第三知识块导数及其应用第1课时变化率与导数高考风向标纵观2022年高考试题可以看出，导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。要牢记导数公式，熟练应用导数公式求函数的导数，掌握求导数的方法。考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。预测在2022年高考中该知识点的考查会保持不变。考纲解读：1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。2．熟记常函数，幂函数（n为有理数），三角函数,指数函数，对数函数的导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。重点：导数的概念、常见函数的导数、函数的和、差、积、商的导数、复合函数的导数难点：导数的概念、复合函数的导数。核心知识突破知识点一：函数的平均变化率1、定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即2、疑难解析：（1）事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值；（2）函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。（3）函数的平均变化率的几何意义是表示连接函图像上两点割线的斜率。（4）是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。知识点二：导数的概念：1、导数的定义趋近于零时，趋近于常数c。可用符号“”记作：当时，或记作，符号“”读作“趋近于”。函数在的瞬时变化率，通常称作在处的导数，并记作。2、导函数如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。3、导数几何意义（1）函数在点的导数是曲线上点处的切线的斜率；(2)如果在点可导，则曲线在点处的切线方程为：(3)若曲线在点处的导数不存在，就是切线与轴平行;，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。

4、瞬时速度设函数在附近有定义，当自变量在附近改变量为时，函数值相应地改变，如果当趋近于0时，平均变化率趋近于一个常数c（也就是说平均变化率与某个常数c的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c称为函数在点的瞬时变化率。知识点三：常见基本函数的导数公式几种常见函数的导数:①②③;④;⑤⑥;⑦;⑧.知识点四：函数四则运算求导法则1、，这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差）；2、，特别的；3、，特别的当时，有.知识点五：复合函数的求导法则1、求导法则：设函数在点处有导数,函数在点的对应点处有导数,则复合函数在点处有导数,且.注意：选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏。其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。2．求复合函数的导数步骤（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。热点题例例1、2BCAyx1O34561234（1）2BCAyx1O34561234（2）是的导函数，则的值是解析：（1）由图可知，根据导数的定义知．（2）解析:点评：（1）考查函数的平均变化率；（2）本题考查多项式的求导法则。变式拓展1、（1）设函数，求；（2）设函数，若，求的值．解：（1），∴（2）∵，∴由得：，解得：或例2、(1)（2022江西高考）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于A．或B．或C．或D．或解：设过的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．(2)（2022辽宁高考）设为曲线：上的点，且曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，则点横坐标的取值范围为（）A． B． C． D．解：由曲线在点处切线倾斜角的取值范围为，可得曲线在点处切线的斜率范围为，又，设点的横坐标为，则，解得，故选．【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。例3、（1）过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（）（A）（B）（C）（D）（2）已知曲线，求过点的切线方程.解：（1），设切点坐标为，则切线的斜率为2，且于是切线方程为，因为点（－1，0）在切线上，可解得＝0或－4，代入可验正D正确。选D（2）∵P（2，4）在曲线上,当切点为P（2，4）时,,∴过点P（2，4）的切线方程为;当切点不是P（2，4）时,设切点为,则,又(),∴,即,又,∴,即,,,,又∴∴切点为,∴过点P（2，4）的切线方程为.综合得过点P（2，4）的切线方程为或.【迷津指点】在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否在曲线上，若此点在曲线上，则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不在曲线上，则需按照上述方法即应先设切点，再求斜率，写出直线的方程的方法解答。特别的若涉及到直线与圆锥曲线相切一类问题除可采用导数知识解答外，还可采用代数方法即应用判别式的方法来解答，这一类巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现变式拓展2、（1）曲线：在点处的切线为在点处的切线为，求（1）曲线的方程；（2）求曲线的过点的切线方程．解：（1）已知两点均在曲线C上.∴∵∴，可求出∴曲线：（2）设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，∵过点，∴解得：或，当时，切点为，切线方程为：当时，切点为，切线方程为：例4、求下列函数的导数（1）；（2）解：（1）.（2）【迷津指点】掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数变式拓展3、求下列函数的导数（1）为常数）（2）3、解析：真题体验1、（2022辽宁理10）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值范围是(A)[0,)(B)(D)1、D【解析】因为，即tana≥-1,所以2、（2022全国卷2理10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则（A）64（B）32（C）16（D）82、A【解析】，切线方程是，令，，令，，∴三角形的面积是，解得.故选A.3、（09全国Ⅰ理9）已知直线y=x+1与曲线相切，则a的值为()B.2C.-13、B4、（09安徽理9）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是()A.B.C.D.4、A5、（09江西文12）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于 ()A．或B．或C．或D．或5、A6、（09陕西理16）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.6、－27、（2022·海南、宁夏21）设函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值.（1）解，于是解得或因为，故（2）证明在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令，得，切线与直线x=1交点为．令，得，切线与直线y=x的交点为．直线与直线的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.思维方法：1、理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件。具体解题时，还应结合函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，调动思维的积极性，在解决新问题时，触类旁通，得心应手；2、熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复