第3课时平面向量的数量积及其应用一轮复习学案

第3课时平面向量的数量积及其应用考点点击平面向量数量积的概念；平面向量数量积的性质：，；向量垂直的充要条件：．考向定位该部分知识以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测2022年高考：1、一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。2、一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；考纲解读1、平面向量的数量积（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。重难点平面向量数量积及其应用．基础自测1、已知向量和向量的夹角为30，｜｜=2，｜｜=eq\r(3)，则向量和向量的数量积·=．2、若等边的边长为,平面内一点满足,则．3、若向量满足|，与的夹角为60°,则= A． B． C． D．24、已知为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量．若，则角A，B的大小分别为（）（A） （B） （C） （D）5、已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），与垂直，则λ（） （A）－1 （B）1 （C）－2 （D）27.的夹角为120°，=.8.已知.若，则与夹角的大小为.参考答案1、32、解法一设在上，且，在上，且．则，，于是，由题设，，．解法二由解法二知为的中点,,以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立直角坐标系，则．，则．3、B4、C解析∵，∴，排除A、B．若当时，则，此时，，．检验：，即成立．若当时，则，检验：，不成立，故选C．5、：A解析．故选A．6、77、.考点梳理１、向量的数量积的定义：已知两个非零向量，它们的夹角为，则把数量叫做的数量积（或内积），记作，即＝规定：零向量与任一向量的数量积为格；注意公式的变形＝．２、向量的数量积的几何意义（1）投影的概念:设，过Ｂ作垂直于直线ＯＡ,垂足为,则＝叫在方向上的投影．（2）向量数量积的几何意义：数量积等于与在方向上的投影的乘积3、向量的数量积的性质：设都是非零向量，为的夹角．①特殊情况:．＝或②当同向时，＝；当反向时，＝．③④运算律:;;;注意:.4、向量的数量积的坐标运算：设,则（1）=;（2）．（3）=;（4）热点题例例1．已知平面上三个向量、、的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°，（1）求证：⊥；（2）若，求的取值范围.解：（1）∵，且、、之间的夹角均为120°，∴∴（2）∵，即也就是∵，∴所以或．例2．已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）若||，且，求的坐标；（2）若||=且与垂直，求与的夹角.解：（1）设，由和可得：∴或∴，或（2）即∴，所以∴∵∴.例3．设两个向量、，满足，，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围.解：，，∴∴设∴时，与的夹角为，∴的取值范围是。例4．如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.解法一：ABABCa故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设，则且ABPCQyABPCQyx则，故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为0。达标测试1、在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于（A）（B）（C）(D)1、A2、已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的（A）重心外心垂心（B）重心外心内心C）外心重心垂心（D）外心重心内心（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）2、C3、设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，ac∣a∣=∣c∣,则∣b•c∣的值一定等于A．以a，b为两边的三角形面积B以b，c为两边的三角形面积C．以a，b为邻边的平行四边形的面积D以b，c为邻边的平行四边形的面积3、C4、平面向量与的夹角为，，则（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）4（Ｄ）124、B5、已知向量和的夹角为，，则．5、76、给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________.6、解析：设，即∴7、在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；设实数t满足()·=0，求t的值。7、解析（1）（方法一）由题设知，则所以故所求的两条对角线的长分别为、。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(－2,－1)，。由()·=0，得：，从而所以。或者：，8、已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．解（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.（2）∵，，∴，则，思维方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中