2022年湖南省娄底市中考数学试卷解析版

2022年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是（）A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣2．（3分）下列式子正确的是（）A．a3•a2＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a3+a2＝a53．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是（）A．10 B．8 C．7 D．64．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为（）A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×10126．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．8．（3分）将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天10．（3分）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A． B． C． D．11．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的有（）①点P、Q在反比例函数y＝的图象上；②△AOB为等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值随m的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③12．（3分）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5 B．2 C．1 D．0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是．14．（3分）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1～15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈DE．（精确到0.001）17．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．18．（3分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有（填结论对应的应号）．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．20．（6分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共名；（2）a＝，b＝；（3）补全条形统计图．22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？24．（9分）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．26．（10分）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

2022年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是（）A．2022 B．﹣2022 C． D．﹣【解答】解：2022的倒数是．故选：C．2．（3分）下列式子正确的是（）A．a3•a2＝a5 B．（a2）3＝a5 C．（ab）2＝ab2 D．a3+a2＝a5【解答】解：A、a3•a2＝a5，故A符合题意；B、（a2）3＝a6，故B不符合题意；C、（ab）2＝a2b2，故C不符合题意；D、a3与a2不能合并，故D不符合题意；故选：A．3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是（）A．10 B．8 C．7 D．6【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，故选：B．4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为（）A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012【解答】解：∵5000亿＝500000000000＝5×1011，故选：B．6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1＝80°，则∠2＝（）A．20° B．80° C．100° D．120°【解答】解：如图，由平行线的性质得：∠3＝∠1＝80°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣80°＝100°．故选：C．7．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：，解①，得x≤2，解②，得x＞﹣1．所以原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．故符合条件的选项是C．故选：C．8．（3分）将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于（）A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位 C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位【解答】解：将直线y＝2x+1向上平移2个单位后得到新直线解析式为：y＝2x+1+2，即y＝2x+3．由于y＝2x+3＝2（x+1）+1，所以将直线y＝2x+1向左平移1个单位即可得到直线y＝2x+3．所以将直线y＝2x+1向上平移2个单位，相当于将直线y＝2x+1向左平移1个单位．故选：B．9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【解答】解：孩子自出生后的天数是：1×7×7×7+3×7×7+3×7+5＝343+147+21+5＝516，答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．10．（3分）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（）A． B． C． D．【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，设AB＝2a，则BD＝a，∵∠ADB＝90°，∴AD＝＝a，∴OD＝AD＝a，∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：＝，故选：A．11．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的有（）①点P、Q在反比例函数y＝的图象上；②△AOB为等腰直角三角形；③0°＜∠POQ＜90°；④∠POQ的值随m的增大而增大．A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③【解答】解：∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），则m•1＝1•m＝m，∴点P、Q在反比例函数y＝的图象上，故①正确；设直线PQ为y＝kx+b，则，解得，∴直线PQ为y＝﹣x+m+1，当y＝0时，x＝m+1；当x＝0时，y＝m+1，∴A（m+1，0），B（0，m+1），∴OA＝OB，∵∠AOB＝90°，∴△AOB为等腰直角三角形，故②正确；∵点P（m，1）、Q（1，m）（m＞0且m≠1），∴P、Q都在第一象限，∴0°＜∠POQ＜90°，故③正确；∵直线OP为y＝x，直线OQ为y＝mx，∴当0＜m＜1时，∠POQ的值随m的增大而减小，当m＞1时，∠POQ的值随m的增大而增大，故④错误；故选：D．12．（3分）若10x＝N，则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100，则2＝lg100；100＝1，则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0，N＞0时，lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15，则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5 B．2 C．1 D．0【解答】解：原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是x＞1．【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，故答案为：x＞1．14．（3分）已知实数x1，x2是方程x2+x﹣1＝0的两根，则x1x2＝﹣1．【解答】解：∵方程x2+x﹣1＝0中的a＝b＝1，c＝﹣1，∴x1x2＝＝﹣1．故答案是：﹣1．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1～15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是．【解答】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是，故答案为：．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD．延长HF与AD相交于点G，则EG≈0.618DE．（精确到0.001）【解答】解：∵点E是AD的黄金分割点，且DE≈0.618AD，∴＝≈0.618，由题意得：EG＝AE，∴≈0.618，∴EG≈0.618DE，故答案为：0.618．17．（3分）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为．【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，∵BQ＝BQ，∴△ABQ≌△CBQ（SAS），∴AQ＝CQ，∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长，∵AB＝2，∠ABC＝45°，∴AH＝，∴CQ+PQ的最小值为，故答案为：．18．（3分）如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′．给出下列结论：①△ACD≌△ABD′；②△ACB∽△ADD′；③当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【解答】解：由题意可知AC＝AB，AD＝AD′，∠CAD＝∠BAD′，∴△ACD≌△ABD′，故①正确；∵AC＝AB，AD＝AD′，∠BAC＝∠D′AD＝θ，∴＝，∴△ACB∽△ADD′，故②正确；∵△ACB∽△ADD′，∴＝（）2，∵当AD⊥BC时，AD最小，△ADD′的面积取得最小值．而AB＝AC，∴BD＝CD，∴当BD＝CD时，△ADD′的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：（2022﹣π）0+（）﹣1+|1﹣|﹣2sin60°．【解答】解：原式＝1+2+﹣1﹣2×＝1+2+﹣1﹣＝2．20．（6分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数．【解答】解：原式＝（+）÷＝•＝，∵x≠0且x﹣2≠0，∴x≠0且x≠2，∴x＝1，则原式＝＝﹣1．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h～10h，C：6h～8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共200名；（2）a＝30，b＝50；（3）补全条形统计图．【解答】解：（1）本次调查的学生共：10÷5%＝200（名），故答案为：200；（2）a＝×100＝30，b＝×100＝50，故答案为：30，50；（3）C类人数为200×15%＝30，补全条形统计图如图：22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ＝3cm．开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB＝4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC＝120°，求BC的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F＝k•Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx＝x﹣x0．【解答】解：由题意可得，x0＝3cm，100＝k（4﹣3），解得k＝100，∴F＝100Δx，当F＝300时，300＝100×（PC﹣3），解得PC＝6cm，由图可得，∠PAB＝90°，∠PBC＝120°，∴∠APB＝30°，∵PB＝4cm，∴AB＝2cm，PA＝＝2（cm），∵PC＝5cm，∴AC＝＝2（cm），∴BC＝AC﹣AB＝（2﹣2）cm，即BC的长是（2﹣2）cm．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg，由题意得：，解得：，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．24．（9分）如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O．设∠G＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形BCFG，四边形BCDE都是菱形，∴CF∥BG，CD∥BE，CB＝CF＝CD＝BG＝BE，∵D，C，F共线，∴G，B，E共线，∴DF∥EG，DF＝GE，∴四边形DEGF是平行四边形，∴EF与BC互相平分．当EF⊥FG时，∵GF＝BG＝BE，∴EG＝2GF，∴∠GEF＝30°，∴θ＝90°﹣30°＝60°；（2）解：当tan∠ABC＝2时，EF垂直平分线段AC．理由：如图（2）中，设AC交EF于点J．∵四边形BCFG是菱形，∴∠G＝∠FCO＝90°，∵EF与BC互相平分，∴OC＝OB，∴CF＝BC，∴FC＝2OC，∴tan∠FOC＝tan∠ABC，∴∠ABC＝∠FOC，∴OJ∥AB，∵OC＝OB，∴CJ＝AJ，∵BC是直径，∴∠BAC＝∠OJC＝90°，∴EF垂直平分线段AC．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？（2）若BC＝3，CD＝，①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用α＝30°给予验证．【解答】解：（1）AC是⊙O切线，理由如下：如图，连接OD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠OBD＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BC，∴∠ODA＝∠C＝90°，∵OD是⊙O的半径，且AC⊥OD，∴AC是⊙O的切线；（2）①在Rt△DBC中，∵BC＝3，CD＝，