数字图像处理A小波和多分辨率处理

数字图像处理A小波和多分辨率处理第1页/共124页第七章：小波和多分辨率处理小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。多分辨率理论将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显—某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。本章将从多分辨率的角度解释小波变换。第2页/共124页主要内容7.1背景7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第3页/共124页主要内容7.1

背景图像金字塔子带编码哈尔变换7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第4页/共124页7.1背景从数学的观点看，图像是一个亮度值的二维矩阵，像边界和对比强烈区域那样的突变特性的不同组合会产生统计值的局部变化。如图7.1所示。图7.1一幅自然图像和它的局部直方图变化第5页/共124页7.1.1图像金字塔图像金字塔是以多分辨率来解释图像的一种有效但概念简单的结构。图7.2(a)一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）第6页/共124页7.1.1图像金字塔金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。图7.2(a)一个图像金字塔第0级（顶点）第1级第2级第J-1级第J级（底部）基础级J的大小为N×N（J=log2N）顶点级0的大小为1×1第j级的大小为2j×2j（0jJ）共有J+1级，但是通常我们截短到P＋1级，其中1PJ第7页/共124页7.1.1图像金字塔如图7.2(b)框图所表明的，近似值和预测残差金字塔都是以一种迭代的方式进行计算。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统近似滤波器下采样器（行和列）第j级输入图像上采样器（行和列）第j-1级近似插值滤波器预测第j级预测残差第8页/共124页7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：1.计算输入图像减少的分辨率近似值。通过对输入进行滤波并以2为步长进行抽样实现(即子抽样)。没有滤波器，在金字塔的上一层混淆变得显著，子抽样点对所采取的区域没有很好的代表性。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统第9页/共124页7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：2.对上一步的输出进行内插—因子仍为2—并进行过滤。这将生成与输入等分辨率的预测图像。由于在步骤1的输出像素之间进行插值运算，插入滤波器决定了预测值与步骤1的输入之间的近似程度。如果插入滤波器被忽略了，预测值将是步骤1输出的内插形式，复制像素的块效应将变得很明显。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统第10页/共124页7.1.1图像金字塔传递由3个连续步骤组成：3.计算步骤2的预测值和步骤1的输入之间的差异。以j级预测残差进行标识的这个差异将用于原始图像的重建(见例7.1)。在没有量化差异的情况下，预测残差金字塔可以用于生成相应的近似金字塔，包括原始图像，而没有误差。图7.2(b)创建近似和预测残差金字塔的一个简单系统第11页/共124页7.1.1图像金字塔例7.1高斯和拉普拉斯金字塔

图7.3显示了图7.1中花瓶的一种可能的近似值和预测残差金字塔。图7.3两种图像金字塔及它们的直方图：（a）近似金字塔；（b）预测残差金字塔（a）(b)第12页/共124页7.1.2子带编码子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为子带。子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成第13页/共124页7.1.2子带编码因为分解和重建是借助数字滤波器实现的，所以我们的讨论从数字信号处理（DSP）和数字信号滤波的简介开始。图7.4为简单数字滤波器。f(n)f(n-0)f(n-1)f(n-2)f(n-K+1)h(0)+++单位延迟单位延迟单位延迟……h(1)h(2)h(K-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)h(0)f(n)+h(1)f(n-1)+h(2)f(n-2)

图7.4（a）数字滤波器第14页/共124页7.1.2子带编码数字滤波器由延迟单元、乘法器和加法器组成。从滤波器的顶部开始，延迟单元依次连接建立输入法延迟形式。如图7.4(a)中的注释所指出的，输入序列f(n)的延迟单元输出的K-1延迟序列分别与常数h(0),h(1),h(k-1)相乘后求和，可产生滤波后的输出序列：

(7.1.3)其中，*表示卷积，乘数K称为滤波系数。第15页/共124页7.1.2子带编码如果输入到图7.4(a)的滤波器是图7.4（b）和4.2.3节中的离散单位冲激，则式（7.1.3）变为

(7.1.4)图7.4（b）单位离散冲激响应;（c）滤波器的冲激响应第16页/共124页7.1.2子带编码图7.5显示了6个功能上相关的滤波器的冲激响应。图7.56个功能上相关的滤波器的冲激响应:(a)参考响应;（b）符号的反转;（c~d）顺序反转;(e)调制;（f）顺序反转和调制h2(n)=-h1(n)h3(n)=h1(-n)h1(n)h4.(n)=h1(K-1-n)h5(n)=(-1)nh1(n)h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)第17页/共124页7.1.2子带编码图7.5(c)和(d)中的滤波器h3(n)和h4(n)的顺序反转形式：h3(n)=h1(-n)h4.(n)=h1(K-1-n)滤波器h3(n)是h1(n)关于垂直轴的映像；滤波器h4(n)是h1(n)的映像和平移形式。忽略平移两个滤波器的响应相同。图7.5（e）中的滤波器h5(n)由下式定义,称之为h1(n)

的调制形式：(7.1.6)(7.1.7)h5(n)=(-1)nh1(n)(7.1.8)第18页/共124页7.1.2子带编码最后图7.5（f）显示的序列是h1(n)的顺序反转形式，它被调制了：综上6个序列说明了这样一个事实，即在规定两个滤波器之间的关系时，符号反转、顺序反转和调制有时时合并在一起的。h6(n)=(-1)nh1(K-1-n)(7.1.9)第19页/共124页7.1.2子带编码图7.6(a)显示了两段子带编译码系统的基本部分

f

分析滤波器组综合滤波器组

低频带高频带图7.6（a）一个二带子带编码和解码系统；（b）频谱分裂属性ab第20页/共124页7.1.2子带编码因此，FIR综合滤波器是分析滤波器的交叉调制的副本，有且仅有一个符号相反。为完美重构，综合滤波器和分析滤波器的冲激响应必须按如下两种方式之一联系起来：或更有普遍意义的表达式满足该条件的滤波器组称为具有双正交(7.1.10)(7.1.12)

(7.1.11)第21页/共124页7.1.2子带编码(正交镜像滤波器)(共轭正交滤波器)表7.0完美重建滤波器族在双正交的基础上进一步要求这对可完美重建的滤波器族定义了正交性。(7.1.13)第22页/共124页7.1.2子带编码(7.1.14)除式（7.1.13）外，可以证明正交滤波器满足如下两个条件：

其中，Keven的下标指出滤波器系数值必须是能被2整除的数。正如7.14指出的那样，综合滤波器g1通过顺序反转和调制与g0建立联系。第23页/共124页7.1.2子带编码表7.0中的一维滤波器也可用于图像处理的二维可分离滤波器。如图7.7所示。可分离滤波器首先应用于某一维(如垂直向)，再应用于另一维(如水平向)。行（沿m）行列（沿n）列列列图7.7子带图像编码的一个二维4带宽滤波器组第24页/共124页7.1.2子带编码例7.2图7.1中花瓶的4带宽子带编码

图7.8显示了一个8抽头正交滤波器的冲激响应。

第25页/共124页7.1.2子带编码使用7.7所示的子带编码系统对图7.1中的花瓶进行4个子带分离得到图7.9bacd图7.9(a)近似子带；（b）水平细节子带；（c）垂直细节子带；（d）对角线细节子带第26页/共124页7.1.3哈尔变换哈尔变换(Haar)是与多分辨率分析有关的图像处理手段之一。哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用下述矩阵形式表达：T=HFHT其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T是N×N变换的结果(7.1.15)第27页/共124页7.1.3哈尔变换哈尔变换的变换矩阵H包含哈尔基函数hk(z)，它们定义在连续闭区间z∈[0,1]，k=0,1,2…,N-1，这里N=2n。为生成H矩阵，定义整数k，即k=2p+q-1(这里0≤p≤n-1,p=0时，q=0或1，p≠0时，0≤q≤2p)。可得哈尔基函数为：(7.1.16)第28页/共124页7.1.3哈尔变换且N×N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素hi(z)，其中z=0/N，1/N，2/N，…，(N-1)/N。(7.1.17)第29页/共124页7.1.3哈尔变换2×2哈尔变换矩阵H4(7.1.18)它的基函数仅定义了2抽头FIR滤波器族，可满足表7.1中第一行第一列的QMF滤波器原型的规范。相应QMF分析滤波器h0(n)和h1(n)的系数分别是矩阵H2的第一行和第二行的元素。第30页/共124页7.1.3哈尔变换例如，N=4时，k，q和p值如下：4×4哈尔变换矩阵H4(7.1.19)第31页/共124页7.1.3哈尔变换例7.3离散小波变换的哈尔函数64×64128×128256×256图7.10(a)用H2哈尔基函数的离散小波变换，并显示了局部直方图的变化；（b）~（d）几种不同的近似第32页/共124页主要内容7.1背景7.2多分辨率展开级数展开尺度函数小波函数7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第33页/共124页7.2多分辨率展开图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。在多分辨率分析(MRA)中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差2倍。被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。第34页/共124页7.2.1级数展开信号或函数常常可以被很好地分解为一系列展开函数的线性组合(7.2.1)展开集合的闭合跨度，表示为：(7.2.2)(7.2.3)第35页/共124页7.2.1级数展开由于展开集合的正交性，该计算可以是3种可能形式中的一种。情况1：如果该展开函数构成了V的一个正交基，即：(7.2.4)基与它的对偶相等。即：(7.2.5)第36页/共124页7.2.1级数展开情况2：如果该展开函数本身不正交，而是V的正交基，则：(7.2.6)基函数及其对偶称为双正交。使用式(7.2.3)计算，有：(7.2.7)第37页/共124页7.2.1级数展开情况3：如果展开集合对V来说不是函数基，但支持式(7.2.1)中定义的展开，那么它是一个跨度集合，对于任一f(x)∈V有一个以上αk集合。展开函数及其对偶称为超完备或冗余。它们组成了一个框架，其中：对于某些A>0，B<∞，及所有f(x)∈V。若A=B(7.2.8)(7.2.9)第38页/共124页7.2.2尺度函数由整数平移和实数二值尺度、平方可积函数组成的展开函数集合，即集合其中，(7.2.10)第39页/共124页7.2.2尺度函数设j=j0，展开集合将是的子集该子空间定义为：(7.2.11)(7.2.12)更一般的情况下，定义下式代表对任何j,k上的跨度子空间：(7.2.13)第40页/共124页7.2.2尺度函数例7.4哈尔尺度函数(7.2.14)当j=1时与j=0相反，展开函数更窄更密集对于左下角的函数将0，0(x)分解作为V1展开函数的和，可以得到从数学角度看，V0是V1的一个子空间，记做图7.11一些哈尔尺度函数第41页/共124页7.2.2尺度函数简单的尺度函数遵循了多分辨率分析的4个基本要求：MRA要求1：尺度函数对其积分变换是正交的在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是1，其积分变换就是0，所以二者的乘积是0。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为0。事实上，其支撑区是1，半开区间[0,1)外的支撑区的值是0。必须注意，当尺度函数的支撑区大于1时。积分变换正交的要求将很难满足。第42页/共124页7.2.2尺度函数MRA要求2：由低尺度的尺度函数跨越的字空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。如图7.10所示，包含高分辨率函数的子空间必须同时包含所有低分辨率函数。也就是说，(7.2.15)V2V1V0子空间还满足直观条件，即，如果f(x)∈Vj,，那么f(2x)∈Vj+1。哈尔尺度函数满足该要求并不意味着任何支撑区为1的函数都自动满足该条件。第43页/共124页7.2.2尺度函数MRA要求3：惟一包含在所有Vj中的函数是f(x)=0。如果考虑可能的最粗糙的展开函数(即j=-∞)，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，(7.2.16)第44页/共124页7.2.2尺度函数MRA要求4：任何函数都可以以任意精度表示。虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定f(x)

是几乎不可能的，像图7.9(e)中所示的函数一样，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限j→∞表示，即，在这些条件下，子空间Vj的展开函数可以被表述为子空间Vj+1的展开函数的加权和。(7.2.17)第45页/共124页7.2.2尺度函数使用式(7.2.12)，令(7.2.18)任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。对引用子空间V0的选择是任意的。第46页/共124页7.2.2尺度函数例7.5哈尔尺度函数系数附加的简化产生了Haar尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的有限区域外是0.第47页/共124页7.2.3小波函数给定满足上述MRA要求的尺度函数，能够定义小波函数(与它的积分变换及其二进制尺度)，跨越了相邻两尺度子空间Vj和Vj+1的差异。图7.13说明了这种情况。(7.2.19)图7.13尺度函数与小波函数空间之间的关系第48页/共124页7.2.3小波函数使用尺度函数，可得：(7.2.20)如果f(x)∈Wj，(7.2.21)尺度和图7.11中的小波函数子空间由下式相关联：(7.2.22)(7.2.23)第49页/共124页7.2.3小波函数将所有可度量的、平方可积函数空间表示如下：(7.2.24)(7.2.25)(7.2.26)上式中不出现尺度函数，函数仅用小波项进行表示。注意，如果f(x)是V1而不是V0的元素，使用式(7.2.24)的展开式包含f(x)使用V0尺度函数的近似;来自W0的小波将对近似与真实函数之间的差异进行编码。由式(7.2.24)到式(7.2.26)可得：(7.2.27)第50页/共124页7.2.3小波函数因为小波空间存在于由相邻较高分辨率尺度函数跨越的空间中(见图7.11)，任何小波函数—类似式(7.2.18)中其尺度函数的对应部分—可以表示成平移的双倍分辨率尺度函数的加权和。可以写成：(7.2.28)(7.2.29)第51页/共124页7.2.3小波函数例7.6哈尔小波系数哈尔小波函数为(7.2.30)哈尔尺度向量定义相应的小波向量第52页/共124页7.2.3小波函数哈尔小波函数系数W1比W0窄，可以标志更细微的细节；函数展开这里

V0尺度函数的近似W0小波函数图7.14W0和W1中的哈尔小波函数第53页/共124页主要内容7.1背景7.2多分辨率展开7.3一维小波变换小波级数展开离散小波变换连续小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第54页/共124页7.3一维小波变换小波级数展开、离散小波变换和连续小波变换在傅里叶域的对应部分分别是傅里叶序列展开、离散傅里叶变换和连续傅里叶变换。第55页/共124页7.3.1小波级数展开定义小波级数展开(7.3.1)展开系数计算如下：(7.3.2)(7.3.3)第56页/共124页7.3.1小波级数展开例7.7y=x2

的哈尔小波序列展开。第57页/共124页7.3.1小波级数展开例7.7y=x2的哈尔小波序列展开第58页/共124页7.3.1小波级数展开例7.7y=x2的哈尔小波序列展开图7.15使用哈尔小波的y=x2小级数展开第59页/共124页7.3.2离散小波变换与傅里叶序列展开相似，前节的小波序列展开将一个连续变量函数映射成一系数序列。如果待展开函数是一个数字序列，如连续函数f(x)的抽样值，得到的系数就称为f(x)的离散小波变换(DWT)。(7.3.5)(7.3.6)(7.3.7)第60页/共124页7.3.2离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换考虑四点的离散函数：f(0)=1，f(1)=4，f(2)=-3和f(3)=0。因为M=4，J=2且由于j0=0，对x=0，1，2，3，j=0，k=0，或者对于j=1，k=0求和。将使用哈尔尺度和小波函数，并假定f(x)的4个采样值分布在基函数的支撑区上，基函数的值为l。将4个采样点代入式(7.3.5)，可得：第61页/共124页7.3.2离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换这里采用的是哈尔尺度函数对于j=0且k=0的均匀空间采样。该值对应于7.1.3节的哈尔变换矩阵H4的第一行。继续使用式(7.3.6)和相似间隔的采样点φj,k

(x)(它对应于H4的第2,3,4行)，可得：第62页/共124页7.3.2离散小波变换例7.8计算一维离散小波变换式(7.3.7)允许从变换中恢复出原始函数。重复求和，可得：x=0，1，2，3。如果x=0与正变换情况一样，尺度和小波函数的均匀空间采样也用于反变换的计算。第63页/共124页7.3.3连续小波变换连续小波变换(CWT)是离散小波变换的自然延伸，将一个连续函数变换成两个连续变量(变换和尺度)的高冗余度函数。变换结果在时频分析上很容易解释并有很大价值。连续的平方可积函数f(x)的连续小波变换与实数值的小波φ(x)的关系如下：(7.3.8)(7.3.9)第64页/共124页7.3.3连续小波变换s和τ分别称为尺度和变换参数。给定Wφ(s，τ)，可以通过反连续小波变换求得f(x)：(7.3.10)(7.3.11)第65页/共124页7.3.3连续小波变换例7.9一维连续小波变换墨西哥草帽小波：(7.3.12)图7.16（a）中的连续一维函数是两个墨西哥草帽小波的和第66页/共124页7.3.3连续小波变换左图函数的傅里叶变换，解释了尺度化的小波和傅里叶频段之间的联系，频谱中的两个显著频段(峰值)对应函数的两个类高斯扰动函数根据墨西哥草帽小波完成的CWT的一部分(1s10且

100)它同时给出了时域和频域的信息。如：当s=1,变换在=10时达到最大值变换绝对值用黑白之间的灰度级显示图7.16连续小波变换和一个连续一维函数(a)的傅里叶谱（b）第67页/共124页主要内容7.1背景7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第68页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换(FWT)是一种实现离散小波变换(DWT)的高效计算，该变换找到了相邻尺度DWT系数间的关系。它也称为Mallat人字形算法。(7.4.1)用2j对x进行尺度化，用k对它进行平移，令m=2k+n，得：(7.4.2)第69页/共124页7.4快速小波变换第70页/共124页7.4快速小波变换＝注意：DWT在尺度j的细节系数是尺度在j+1是近似值系数的函数类似的可以得到尺度为j的近似值和细节系数可以通过尺度为j+1的近似系数和时域反转的尺度与小波向量的卷积，而后对结果进行亚取样来计算第71页/共124页7.4快速小波变换一个FWT分析滤波器族可以迭代产生多阶结构，用于计算两个以上连续尺度的DWT系数。有h0(n)=h(-n)且h0(n)=h(-n)图7.17一个FWT分析滤波器组第72页/共124页7.4快速小波变换例如，图7.18(a)显示了一个用于计算变换的两个最高尺度系数的二阶滤波器族。注意，最高的尺度系数假定是函数自身的采样值。图7.18（a）一个二尺度FWT分析滤波器；（b）其频率分离特性ab第73页/共124页7.4快速小波变换例7.10计算一维小波变换(7.4.13)(7.4.14)第74页/共124页7.4快速小波变换离散函数f(n)={1,4,-3,0}，计算基于哈尔尺度和小波函数的变换。使用小波向量图7.19使用哈尔尺度和小波向量计算序列{1，4，-3，0}的一个二尺度快速小波变换第75页/共124页7.4快速小波变换通过近似值W(j,k)和W(j,k)细节系数重建f(x)的高效反变换，称为快速小波反变换(FWT-1)使用正变换中所用的尺度和小波向量以及第j级近似值和细节系数来生成第j＋1级的近似值系数完备重建要求对于i={0,1},gi(n)=hi(-n)

即：分析滤波器和综合滤波器在时域中是相互反转的对于双正交分析/综合滤波器，不是彼此时域反转的第76页/共124页7.4快速小波变换图7.20中的FWT-1的滤波器族执行下述计算：(7.4.15)Wup代表步长为2内插图7.20FWT-1综合滤波器组第77页/共124页7.4快速小波变换与FWT-1正变换类似，反变换滤波器族可以如图7.21所示进行迭代，为了计算FWT-1重建的最后两个尺度描绘了两尺度结构。该系数合并过程可以扩展到任意数目的尺度，从而保证函数f(x)的完美重建。图7.21一个两级或二尺度FWT-1综合滤波器组第78页/共124页7.4快速小波变换例7.11计算一维快速小波反变换首先对0级近似值和细节系数进行内插，产生{1,0}和{4,0}与滤波器g0(n)和g1(n)卷积结果相加产生W(1,n)，得到一级近似值的重建迭代运算，重建f(x)图7.22用哈尔尺度和小波向量计算序列的两尺度快速小波反变换第79页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换与FFT的比较(1)运算复杂性对于FWT，长度为M=2J的序列的FWT的运算次数是O(M)

阶，即：浮点乘法和加法(使用滤波器族)的次数与序列的长度存在这线性关系FFT需要O(MlogM)阶第80页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换与FFT的比较(2)变换的基函数傅里叶的基函数(正弦函数)保证了FFT的存在FWT的存在取决于使用的小波函数的尺度函数是否存在，以及尺度函数和相应的小波函数的正交/双正交性第81页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换与FFT的比较(3)不可分割的关系例如，要得到时域有价值的信息，就要忍受频域模糊，反之亦燃----海森伯测不准原理块不重叠是正交基函数的特点第82页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换与FFT的比较图7.23分别显示了时间一频率块：取样数据FFT基函数FWT基函数图7.23与（a）取样数据，（b）FFT和（c）FWT相关的基函数的时间-频率片。注意，图（c）中等高度的矩形的水平条带表示FWT的尺度第83页/共124页7.4快速小波变换快速小波变换与FFT的比较标准时域基给出时间发生的时刻，没有频域信息正弦基给出时间发生的频率但是没有时间分辨率FWT时间和频率分辨率是变化的低频：块短而宽，即有较好的频率分辨率，对应较差的时间分辨率高频：块窄而高，即有较高的时间分辨率，频率分辨率下降第84页/共124页7.5二维小波变换一维变换很容易像图像那样扩展到二维函数。乘积产生可分离的尺度函数：可分离的“方向敏感的”小波，沿着不同方向的图像强度或灰度的变化(7.5.1)沿列方向变化沿行方向变化沿对角线方向变化第85页/共124页7.5二维小波变换

给定可分离的二维尺度和小波函数，一维DWT到二维的扩展很简单。首先定义一个尺度和平移基函数：(7.5.5)(7.5.6)第86页/共124页7.5二维小波变换则尺寸为M×N的函数f(x,y)的离散小波变换是：(7.5.7)(7.5.8)同一维DFT一样，定义了尺度在j0的f(x,y)的近似，系数对于jj0附加了水平，垂直对角线方向的细节第87页/共124页7.5二维小波变换f(x,y)可通过离散反小波变换得到：(7.5.9)类似一维离散小波变换，二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现。第88页/共124页7.5二维小波变换二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现(1)先取f(x,y)行的一维FWT（2）再用结果列的一维FWT图7.24二维快速小波变换：（a）分析滤波器组第89页/共124页7.5二维小波变换二维DWT可以用数字滤波器和抽样来实现两尺度分解结果图7.24二维快速小波变换：（b）分解结果第90页/共124页7.5二维小波变换综合滤波器，重建过程和一维相似每一次迭代4尺度j的近似和细节图象用两个一维滤波器内插和卷积图7.24二维快速小波变换：（c）综合滤波器组第91页/共124页7.5二维小波变换例7.12计算二维快速小波变换abcd图7.25计算二维三尺度FWT:(a)原图像；（b）一尺度FWT；（c）二尺度FWT；（d）三尺度FWT第92页/共124页7.5二维小波变换abcdef四阶对称小波a～b分解滤波器c～d重建滤波器e一维小波函数f一维尺度函数低通重建滤波g0(n)=h(n)的系数对于0n7：0.0322，-0.0992，0.2979，0.8037，0.4976，-0.0296，-0.0758图7.26四阶对称小波。（a）-（b）分解滤波器，（c）-（d）重建滤波器，（e）一维小波，（f）一维尺度函数第93页/共124页7.5二维小波变换图7.24四阶对称小波：（g）三个二维小波之一，的值见表7.3第94页/共124页7.5二维小波变换前面分析的小波族称为“对称小波”

（symlet）它们不完全对称，但具有最小不对称性和最高消失矩数DWT尺度和小波函数表现为低通和高通滤波器特性，大多数基于傅里叶滤波器的技术和小波部分是等价的小波的第k阶矩是。0阶矩影响小波函数和尺度函数的平滑性以及多项式表示它们的能力。一个N阶对称小波有N个消失矩第95页/共124页7.5二维小波变换小波在图像处理中的用途，如在傅里叶域那样，基本方法是：计算一幅图像的二维小波变换修改变换计算反变换第96页/共124页7.5二维小波变换例7.13基于小波的边缘提取

a图消除了最低尺度近似分量，再进行反变换得到b图，效果是强调和突出了图象的边缘c图将水平细节也置为0，反变换得到重建图象d，可以孤立出垂直边缘。图7.27针对边缘检测改进的DWT。（a）~（c）删去所选系数的二尺度分解，（b）~（d）相应的重建第97页/共124页7.5二维小波变换例7.14基于小波的噪声去除基于小波图像去噪的过程选择分解用的一个小波(例如：哈尔对称小波)和级别数或尺度P。计算噪声图象的FWT第98页/共124页7.5二维小波变换例7.14基于小波的噪声去除基于小波图像去噪的过程

3.门限化细节系数从尺度J-1到J-P选择应用一个门限处理细节系数硬门限实现，元素绝对值低于门限值则置0软门限实现，元素绝对值低于门限值则置0，并且标定非0的系数接近0，去除了硬门限固有的门限处的不连续性

4.基于原始的近似系数，在J-P级执行小波重建，并对J-1到J-P级改进细节系数第99页/共124页7.5二维小波变换例7.14基于小波的噪声去除abcdef对噪声去除改进DWTa图：人体头部带噪声MRI图象b图显示了门限化细节系数后的重建图像4阶对称小波2尺度（P＝2）全局门限94.9093c图：最高分辨率细节置0的重建图像e图：两个分解级别的细节被置0后的DWT重建d图：在c图重建时移去的信息包含了原图象大多数噪声和某些边缘信息f图：在e图重建时移去的信息图7.28为噪声去除修改DWT第100页/共124页主要内容7.1背景7.2多分辨率展开7.3一维小波变换7.4快速小波变换7.5二维小波变换7.6小波包第101页/共124页7.6小波包快速小波变换将一个函数分解为一系列与对数相关的频段低频被组成窄频段高频被组成宽频段想要较大的控制时频平面的一部分，FWT必须有更灵活的分解——小波包产生过程的代价是FWT计算复杂度增加，从O(M)到O(MlogM)第102页/共124页7.6小波包考虑两阶的滤波器族，分解过程用二叉树表示根节点被赋予最高的尺度近似系数，它是函数自身的取样叶子继承变换的近似细节和系数细节的输出图7.29图7.18中二尺度FWT分析组的(a)系数树和（b）系数树第103页/共124页7.6小波包三尺度FWT分析族、分析数和相应的频谱三尺度FWT分析滤波框图分解空间树谱分离特性图7.30三尺度FWT滤波器组：（a）方框图；（b）分解树；（c）频谱分离特性第104页/共124页7.6小波包分析树提供了多尺度小波变换的紧凑有效的方法比对应的滤波器和基于子取样的方框图更容易画，并占有较少的空间相对容易定位有效分解三阶分析数提供了三种展开选择(7.6.1)(7.6.2)(7.6.3)第105页/共124页7.6小波包分析树还是表示小波包的有效机理从3阶FWT分析树到3阶小波包树A表示近似滤波D表示细节滤波3阶小波包树几乎是3阶FWT的有效分解数目的3倍(7.6.4)(7.6.5)图7.31一个三尺度小波包分析树第106页/共124页7.6小波包注意：平均分布的频带是完全小波包分解的特征。随着扩展的增加，基于包的变换改进了对被分解函数的频谱分割的控制，代价是复杂度增加图7.32三尺度完全小波分析树的（a）滤波器组和（b）频分离特性ab第107页/共124页7.6小波包图7.33对式7.6.5的频谱进行了描述，注意这个最后的谱和图7.32（b）中完全小波包谱或图7.30（c）中的三尺度FWT谱之间的区别。图7.33式（7.6.5）中分解的频谱第108页/共124页7.6小波包滤波器组将分解成输出，反复迭代生成P尺度变换第一次迭代得到为适应二维输入特性，就要有单个小波子空间:对应系数图7.34一个二维FWT的第一次分解：（a）频谱；（b）子空间分析树第109页/共124页7.6小波包图7.35显示了一个三尺度、二维小波包分析树的一部分。一个P尺度、二维小波包树支持：图7.35一个三尺度、完全小波包分解树。只给出了树的一部分因此，图7.35的三尺度树提供了83522种不同的分解!第110页/共124页7.6小波包例7.15二维小波包分解如上述讨论的，单一的小波