四川省巴中市恩阳区2022-2023学年高二上学期期中数学试题（ 含答案解析 ）

第1页/共1页巴中市恩阳区2022年秋高中二年级期中学业水平检澜理科数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.直线倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将直线方程转化为斜截式，得到，即，结合即得解.【详解】由题意，直线，故直线斜率，不妨设直线倾斜角为，则，又，即.故选：B2.给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据圆柱母线的定义可判断命题①的正误；根据圆锥的形成可判断命题②的正误；根据棱台的定义可判断命题③的正误.【详解】①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等.故选：A.【点睛】本题考查几何体结构特征的判断，属于基础题.3.直线过定点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在直线方程中，先分离参数，再令参数的系数等于零，求得的值，可得直线恒过定点的坐标.【详解】直线可化简为，故可得，可得，故可得直线过定点.故选:D.4.设是直线是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若∥，∥，则∥ B.若∥，，则C.若，，则∥ D.若，∥，则【答案】B【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判断定理、性质定理逐一判断即可.【详解】解：对于A，当和相交，直线平行于和的交线时，满足∥，∥，但此时∥不成立，故错误；对于B，因为∥，所以在内至少存在于一条直线，使∥，又因为，所以，因为，所以，故正确；对于C，因为，，所以∥或，故错误；对于D，因为，∥，所以或∥或，故错误.故选：B5.若表示圆的方程，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把给定方程配方化成圆的标准方程形式即可计算作答.【详解】方程化为：，因方程表示圆，于得，解得，所以的取值范围是：.故选：A6.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.8 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积.【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥,如图所示：平面,且底面为正方形，所以该几何体的体积为：故选：B7.已知直线l过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的两倍，则直线l的方程为（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】对直线是否经过原点分类，结合条件，求出的方程．【详解】解：若直线经过原点，满足条件，可得直线的方程为，即；若直线不经过原点，可设直线的方程为，把点代入可得，解得，直线的方程为，即，综上可得直线的方程为或；故选：D．8.正方体中，二面角的平面角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】连接，取中点O连接.由，则且,则，故即为二面角的平面角，然后设正方体边长进行求解即可.【详解】连接，取中点O连接.由，则且,则，故即为二面角的平面角.不妨设正方体的边长为1，则在中，在中，则.又，故可得：.故选：D.9.点关于直线的对称点为A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】试题分析：设点关于直线的对称点为，则①，又线段的中点在直线上，即整理得：②，联立①②解得．∴点关于直线的对称点点的坐标为，故选B．考点：1、点关于直线对称；2、中点坐标公式．【方法点晴】设出点关于直线的对称点的坐标，求出的中点坐标，代入直线方程，再利用与直线垂直，它们的斜率之积为，建立方程组进行求解．本题主要考查求点关于直线的对称点的坐标的方法，利用垂直、中点在对称轴上两个条件，待定系数法求对称点的坐标，考查方程思想与转化运算能力，属于中档题．10.已知正方体棱长为分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，若面，则线段的长度范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，找去过与平面平行的平面，则可得到所在的平面，进而得到答案.【详解】由题意，取的中点，的中点，连接，，，，，作图如下：在正方体中，易知，，，则共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，当平面时，平面，正方体的棱长为，在中，，解得，同理，在中，，解得，则中边上的高，即，故选：D.11.已知点在同一个球面上，，若四面体体积的最大值为10，则这个球的表面积是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知可得，从而可得球心在过中点与面垂直的直线上，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，由四面体体积的最大值为10，求出，再利用勾股定理求出球的半径，从而可求出球的表面积【详解】解：由，可得，所以，则球心在过中点与面垂直的直线上，因为面积为定值，所以四面体的高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当过球心时体积最大，因为四面体的最大体积为10，所以，可得，中，，所以，得，所以球的表面积为，故选：B．【点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②可以转化为长方体的外接球；③特殊几何体可以直接找出球心和半径；④设球心（在过底面多边形外接圆圆心与底面垂直的直线上），利用待定系数法求半径.12.在平面直角坐标系中，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，由，得出的轨迹方程为一个圆，再由圆与圆的位置关系可得实数的取值范围．【详解】设，由，得，化简得，即，则点在以为圆心，2为半径的圆上，又在圆上，所以点为两圆有交点，即圆与圆有交点，所以，解得，即实数的取值范围是．故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13.如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______．【答案】12【解析】【分析】首先根据直观图还原为原图，再计算的面积.【详解】如下图，直观图还原为原图，则的面积故答案为：1214.若直线与直线平行，则__________．【答案】【解析】【分析】利用直线平行的条件即得.【详解】两条直线平行，则有，∴.故答案为：1.15.一个直角三角形的两条直角边的长分别为3cm和4cm，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，所得旋转体的体积是_______.【答案】π【解析】【分析】由题意，旋转体为底面重合的两个圆锥，根据题干数据计算底面半径和高，利用圆锥体积公式求解即可.【详解】如图所示，不妨设直角三角形为，其中为直角，，故，，将这个直角三角形以斜边为轴旋转一周，可得到如图所示的底面重合的两个圆锥，圆锥底面圆的半径为，两个圆锥的高分别为，，故旋转体的体积.故答案为：.16.若不等式的解集为，且，则___________．【答案】##【解析】【分析】设，则可根据两个函数的图象的位置关系求得的值.【详解】设，，则，故即，结合可得在以原点为圆心，半径为2的半圆上（如图所示），所以的图象为如图所示的半圆，其中而的图象为过的动直线，因为不等式的解集为，故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为，若，结合图象可得，故，故图象过，故此时即，若，结合图象可得此时，这与矛盾，若，结合图象可得故的图象不在图象上方的点的横坐标的集合为空集，故答案为：【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的解的问题，可根据不等式的形式将解的问题转化为熟悉函数图象的位置关系问题，结合动态讨论求出参数满足的要求.三、解答题（共70分，其中17题10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．求：（1）直线的方程；（2）顶点的坐标．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)由题意可得，由点斜式可写出直线的方程，再化为一般式即可；(2)设，则,代入中线所在直线方程得，与联立求解即可.【小问1详解】解：∵边上的高所在直线方程为，∴，∴直线的方程为，即为：．【小问2详解】解：设，则线段的中点,代入中线所在直线方程得，即为，又，联立得，解得，∴．18.在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证：（1）点E，F，G，H四点共面；（2）直线EH，BD，FG相交于一点．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到都平行于，由平行线的传递性可得，根据两平行确定一平面得出证明；（2）利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明.【小问1详解】由题意，作图如下：空间四边形中，分别是的中点，.又，，，四点共面.【小问2详解】证明：连接、，因为分别是的中点，所以，且，又因为，所以，且，所以，且，故四边形为梯形，且是梯形的两腰，所以相交于一点.设交点为，因为平面，所以平面，同理平面，而平面平面，所以，故点时直线的公共点，即直线相交于一点.19.已知圆与y轴相切于点，圆心在经过点与点的直线l上．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆相交于M，N两点，求两圆的公共弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用两点求出直线方程l，利用圆心在l上又在求出圆心坐标，进而求出圆的半径求出圆的方程；(2)利用两圆的方程相减得到公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，利用勾股定理求出两圆的公共弦长．小问1详解】经过点与点的直线l的方程为，即，因为圆与y轴相切于点，所以圆心在直线上，联立解得可得圆心坐标为，又因为圆与y轴相切于点，故圆的半径为4，故圆的方程为．【小问2详解】圆的方程为，即，圆，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为，圆的圆心到直线的距离，所以两圆的公共弦长为．20.如图，平面平面，，，，.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)过点分别作、的平行线，交点为、，利用平行关系和线段长度关系证明四边形为平行四边形，从而有，再利用线面平行的判定定理证明平面；(2)利用面面垂直的性质得到平面，从而，又由，得.【详解】(1)证明：过点作的平行线，交于点，连接.过点作的平行线交于点，连接.则四边形为平行四边形，有平行且等于.因为，所以.因为，所以，故，所以，又，所以四边形为平行四边形，有平行且等于，所以平行且等于，四边形为平行四边形，有.又平面，平面，所以平面.(2)证明：因为，，所以.因为平面与平面垂直，且交线为，又平面，所以平面，又平面，所以.又由(1)知，所以.21.如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向处，B岛在O岛的正东方向20km处．（1）以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，1km为单位长度，建立平面直角坐标系，写出A、B的坐标，并求A、B两岛之间的距离；（2）已知在经过O、A、B三个点的圆形区域内有未知暗礁，现有一船在O岛的南偏西30°方向距O岛20km处，正沿着北偏东60°行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？【答案】（1），，（2）该船有触礁的危险．【解析】【分析】(1)根据题意可得两点的坐标，由两点间的距离公式可得A、B两岛之间的距离；(2)求得过，三点的圆的方程为，该船航线所在的直线方程为，由点到线的距离公式可得圆心到此直线的距离，由此可得直线与圆相交，从而可得结论.【小问1详解】解：∵A在的北偏东45°方程，在的正东方向，∴，．由两点间的距离公式知，；【小问2详解】解：设过，三点的圆的方程为．将，，代入上式，得，解得．∴圆的方程为．则该圆的圆心为，半径．设船起初所在的点为，则又该船航线所在直线的斜率为，∴该船航线所在的直线方程为．圆心到此直线的距离，由于，，即，所以此直线与圆相交，故不改变方向，该船有触礁的危险．22.如图所示，在四棱锥中，底面四边形是菱形，底面是边长为2的等边三角形，PB=PD=，AP=4AF（1）求证：PO⊥底面ABCD（2）求直线与OF所成角的大小.（3）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由底面是菱形，证得PO⊥BD，在中，PA=PC，证得PO⊥AC，结合线面垂直的判定定理，即可证得PO⊥底面ABCD；（2）连接OF，取AP中点为E，连接OE，证得CPOE，得到∠EOF为直线与OF所成的角