2023年河南省洛阳市宜阳县九年级第一次学情诊断数学试题（含答案）

2022—2023学年下学期第一次学情诊断九年级数学一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．1．下列各式是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．“抛掷一枚普通硬币，落地后正面朝上”这一事件是（）A．确定事件 B．必然事件 C．随机事件 D．不可能事件3．如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（）A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．9：14．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A． B． C． D．5．如图，有一张矩形纸片，长10cm、宽6cm，在它的四角各剪去一个同样大小的小正方形，然后将其折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．6．如图，AB是的直径，，则的度数为（）A．45° B．55° C．60° D．75°7．如图，在中，，D、E分别是AB，AC的中点，F是DE上一点，，连结AF、CF，若，则AC的长度为（）A．10 B．12 C．13 D．168．对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根．若将c的值在的基础上减小，则此时方程根的情况是（）A．没有实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定9．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得，点E在AC上．若，，则BE＝（）A． B． C． D．210．如图，在中，，，，直线l经过点A，且垂直于AB，直线l从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B运动，运动过程中，直线l与AB交于点M，与AC或BC交于点N，当直线l经过点B时停止运动．若运动过程中的面积是，直线l的运动时间是x（s），则y与x之间函数关系的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．12．某商场举行有奖竞猜活动，有A，B，C，D四个问题，其中A，B为体育类问题，C，D为文化类问题，小华从四个问题中不重复地选择两个，则两个问题类型相同的概率为______．13．设α，β是一元二次方程的两个根，则______．14．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m时，水面宽4m，当水面下降2m时，水面的宽度为______m．15．将三角形纸片ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点，折痕为EF，已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则BF的长度是______．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．（8分）（1）计算：；（2）解方程：．17．已知关于x的一元二次方程．（1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根大于2，求k的取值范围．18．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动．该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．（1）本次调查的样本容量是______，B项活动所对应扇形的圆心角的大小是______，条形统计图中C项活动的人数是______；（2）若该校有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的学生有多少名．19．如图，在中，点D，G分别在边AB，BC上，，AG与CD交于点F．（1）求证：；（2）若，求证：AG平分．20．春节来临之际，某商户购进一批特色农产品，已知该农产品成本价为18元/kg．售价y（元/kg）与每天销售量x（kg）（x为正整数）之间满足如图所示的函数关系，其中售价不得低于成本价．（1）求出y与x之间所满足的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当销售量为多少时，获利最大？最大利润是多少？21．应天门是隋唐洛阳城中轴建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代举行重大国事庆典与外交活动的重要场所．问题提出：如何测量应天门东阙楼的高度？方案设计：如图，某数学课题研究小组通过调查研究和实地测量，他们在B处测得东阙楼楼顶A的仰角为41°，沿BC向前走了20m至点C处（B，C，D三点在同一水平线上），测得东阙楼楼顶A的仰角为60°．问题解决：根据上述方案和数据，求应天门东阙楼AD的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，）22．如图，抛物线与x轴交于点，，点A在点B的右侧，与y轴交于点C．（1）若直线AC的解析式为，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；（3）点，为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围．23．在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理：如图1，AB是的弦，点P在上，于点C，点D在弦AB上且，在上取一点Q，，连接BQ，则．（1）如图2，小亮尝试说明，于是他连接了PA，PD，PQ，DQ．请你帮助他完成下列证明．①求证：；②求证：．（2）如图了，将材料中的“弦AB”改为“直径AB”，作直线l与相切于点Q．过点P作直线l于点G，其余条件不变，连接PA，PQ．若，，求的半径OA的长。2022—2023学年下学期第一次学情诊断九年级数学参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．B2．C3．C4．A5．D6．D7．A8．C9．A10．B二、填空题（每小题3分，共15分）11． 12． 13． 14．15．或2三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．解：（1）原式（2）移项，得．配方，得，即．由此可得．∴，．17．解：（1）证明：∵，∴无论k为何值，方程总有两个实数根．（2）解方程，得．∴，．根据题意，得．∴．18．解：（1）8054°20（2）（名）．所以，估计该校意向参加“参观学习”活动的学生有800名．19．证明：（1）∵，，∴．∴．∴．（2）∵，∴．∵，∴．∴．∴AG平分．20．解：（1）当且x为正整数时，；当时，设售价y与每天销售量x之间的函数关系式为．把，代入，得，解得∴．把代入，得．解得．∴且x为正整数．综上所述，y与x之间所满足的函数关系式为（2）设所获利润为w元，当且x为正整数时，．∴．∵，w随着x的增大而增大．∴当时，w有最大值，最大值为440；当且x为正整数时，．∴．∵，∴当时，w有最大值，最大值为512．∵，∴当，即销售量为32kg时，获利最大，最大利润是512元．21．解：设．在中，，，∴．∵，∴．在中，，，∴，即．解得．∴．答：应天门东阙楼AD的高度约为35m．22．解：（1）在中，令，得．点．∵抛物线与y轴交于点C，∴．∴抛物线的解析式为．（2）在中，令，得．解得，．∵点A在点B的右侧，∴点．∵直线AC与直线BP平行，直线AC的解析式为，∴设直线BP的解析式为．∵直线BP经过点，∴．解得．∴直线BP的解析式为．令．解得（舍去），．把代入，得．∴点．（