万有引力与航天

PAGEPAGE2第六章万有引力与航天§6-1开普勒定律一、两种对立学说（了解）1.地心说：（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。2.日心说：（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。二、开普勒定律1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R的三次方与公转周期T的二次方的比值都相同，即值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似为圆，则半长轴a即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是(AB)。A．地心说的参考系是地球B．日心说的参考系是太阳C．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值D．日心说是由开普勒提出来的2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是(B)A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上B．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大C．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律D．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作§6-2万有引力定律一、万有引力定律1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m1和m2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。3.表达式：，4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r指球心间的距离。5.四大性质：重要关系式：[牛刀小试]1、两颗球形行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比=q，则两颗卫星的周期之比等于。地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为。3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M1与地球质量M2之比=p；火星的半径R1与地球的半径R2之比=q，那么火星表面的引力加速度g1与地球表面处的重力加速度g2之比等于(A)A． B．pq2 C． D．pq9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。模型：如右图所示，在一个半径为R，质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。根据“思路分析”所述，引力F可视作F=F1+F2：,,则挖去小球后的剩余部分对球外质点m的引力为。[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg，周期为1h的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的eq\f(1,4)，月球表面重力加速度约为地球的eq\f(1,6)，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4×103km)证明：因为Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，所以T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，又Geq\f(Mm,R2)＝mg得g＝eq\f(GM,R2)，故Tmin＝2πeq\r(\f(R3,GM))＝2πeq\r(\f(R月,g月))＝2πeq\r(\f(\f(1,4)R地,\f(1,6)g地))＝2πeq\r(\f(3R地,2g地))＝2πeq\r(\f(3×6.4×106,2×9.8))s＝6.2×103s≈1.72h。环月卫星最小周期约为1.72h，故该报道是则假新闻。§6-3由“万有引力定律”引出的四大考点解题思路——“金三角”关系：万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即是本章解题的主线索。万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。重力与向心力的联系：为对应轨道处的重力加速度，适用于已知g的特殊情况。天体质量的估算模型一：环绕型：谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G和环形卫星的v、ω、T、r中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。①已知r和T:②已知r和v:③已知T和v:模型二：表面型：谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：[触类旁通]1、(2013·福建理综，13)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(A)A．GM＝eq\f(4π2r3,T2)B．GM＝eq\f(4π2r2,T2)C．GM＝eq\f(4π2r2,T3) D．GM＝eq\f(4πr3,T2)解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)可得GM＝eq\f(4π2r3,T2)，A正确。2、(2013·全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103A．8.1×1010kgB．7.4×1013kgC．5.4×解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,r2)得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，又r＝R月＋h，代入数值得月球质量M＝7.4×1022kg，选项D正确。土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105km，公转周期为18h46min，则土星的质量为5.21×1026kg。宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G。求该星球的质量M。解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量。5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G，用M表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是(A)A．M= B．M= C．M= D．M=解析：月球绕地球运转的周期T与月球的质量无关。天体密度的计算模型一：利用天体表面的g求天体密度：变形变形物体不在天体表面：模型二：利用天体的卫星求天体的密度：求星球表面的重力加速度：在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(A)A．1－eq\f(d,R)B．1＋eq\f(d,R)C. D.解析：设地球的质量为M，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度g＝eq\f(GM,R2)，地球的质量可表示为M＝eq\f(4,3)πR3ρ因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R－d)为半径的地球的质量为M′＝eq\f(4,3)π(R－d)3ρ，解得M′＝(eq\f(R－d,R))3M，则矿井底部处的重力加速度g′＝eq\f(GM′,R－d2)，所以矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，选项A正确，选项B、C、D错误。双星问题：特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。符号表示：.处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：Geq\f(m1m2,L2)＝m1ω2r1＝m2ω2r2，由此得出：(1)m1r1＝m2r2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。(2)由于ω＝eq\f(2π,T)，r1＋r2＝L，所以两恒星的质量之和m1＋m2＝eq\f(4π2L3,GT2)。[牛刀小试]1、(2010年全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7.35×1022kg.求T解析：(1)A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等，且A和B与O始终共线，说明A和B有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，r＋R＝L联立解得R＝eq\f(m,m＋M)L，r＝eq\f(M,m＋M)L对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得：，化简得.(2)将地月看成双星，由(1)得将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得化简得所以两种周期的平方比值为＝eq\f(M＋m,M)＝eq\f(5.98×1024＋7.35×1022,5.98×1024)＝1.01.2、(2013·山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(B)A.eq\r(\f(n3,k2))TB.eq\r(\f(n3,k))TC.eq\r(\f(n2,k))T D.eq\r(\f(n,k))T解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由eq\f(GMm,r2)＝mr1ω2；eq\f(GMm,r2)＝Mr2ω2；r＝r1＋r2得：eq\f(GM＋m,r2)＝rω2＝req\f(4π2,T2)同理有eq\f(GkM＋m,nr2)＝nreq\f(4π2,T\o\al(2,1))，解得T1＝eq\r(\f(n3,k))T，B正确。§6-4宇宙速度&卫星涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度：1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。2.取值范围及运行状态：①,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。②，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。③,一般情况下人造地球卫星发射速度。（三）运行速度：1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。2.大小：对于人造地球卫星，该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行的环绕速度，其大小随轨道的半径r↓而v↑。3.注意：①当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；②当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。[牛刀小试]1、地球的第一宇宙速度约为8km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍。该行星上的第一宇宙速度约为(A)A．16km/s B．32km/s C．46km/s D．2km/s解析：由公式m=G，若M增大为原来的6倍，r增大为原来的1.5倍，可得v增大为原来的2倍。某行星的质量为地球质量的16倍，半径为地球半径的4倍，已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s,该行星的第一宇宙速度是多少？解析：思路与第一题相同，答案可易算得为15.8km/s。某星球半径为R，一物体在该星球表面附近自由下落，若在连续两个T时间内下落的高度依次为h1、h2，则该星球附近的第一宇宙速度为。两种卫星：（一）人造地球卫星：1.定义：在地球上以一定初速度将物体发射出去，物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的人造卫星。2.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。3.三个”近似”：①近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。②在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万有引力等于重力。③天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。4.四个等式：①运行速度：。②角速度：。③周期：。。④向心加速度：。（二）地球同步卫星：1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。2.五个“一定”：①周期T一定：与地球自转周期相等（24h），角速度ω也等于地球自转角速度。②轨道一定：所有同步卫星的运行方向与地球自转方向一致，轨道平面与赤道平面重合。③运行速度v大小一定：所有同步卫星绕地球运行的线速度大小一定，均为3.08km/s。④离地高度h一定：所有同步卫星的轨道半径均相同，其离地高度约为3.6×104km。⑤向心加速度an大小一定：所有同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等，约为0.22m/s2。注：所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。卫星变轨问题：1.原因：线速度v发生变化，使万有引力不等于向心力，从而实现变轨。2.条件：增大卫星的线速度v，使万有引力小于所需的向心力，从而实现变轨。3.注意：卫星到达高轨道后，在新的轨道上其运行速度反而减小；当卫星的线速度v减小时，万有引力大于所需的向心力，卫星则做向心运动，但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速度反而增大。4.卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。四、与卫星有关的几组概念的比较总结：1.天体半径R和卫星轨道半径r的比较：卫星的轨道半径r是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半径，与天体半径R的关系是r=R+h（h为卫星距离天体表面的高度），当卫星贴近天体表面运动时，可视作h=0，即r=R。2.卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较：（1）卫星运行的加速度：卫星绕地球运行，由万有引力提供向心力，产生的向心加速度满足,其方向始终指向地心，大小随卫星到地心距离r的增大而减小。物体随地球自转的向心加速度：当地球上的物体随地球的自转而运动时，万有引力的一个分力使物体产生随地球自转的向心加速度，其方向垂直指向地轴，大小从赤道到两极逐渐减小。3.自转周期和公转周期的比较：自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是某星球绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般两者不等（月球除外），如地球的自转周期是24h，公转周期是365天。4.近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较：（1）近地卫星和赤道上的物体：内容近地卫星赤道上的物体相同点质量相同时，受到地球的引力大小相等不同点受力情况只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力运动情况角速度、线速度、向心加速度、周期均不等近地卫星和同步卫星：相同点：都是地球卫星，地球的引力提供向心力。不同点：近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星的大，而周期比同步卫星的小。（3）赤道上的物体和同步卫星：内容近地卫星赤道上的物体相同点角速度都等于地球自转的角速度，周期都等于地球自转的周期不同点受力情况只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体做圆周运动的向心力轨道半径同步卫星的轨道半径比赤道上的物体的轨道半径大很多运动情况同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体[牛刀小试]1、(多选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星的路线示意图如图6－2所示，卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经过调速后进入地月转移轨道，经过几次制动后进入工作轨道，卫星开始对月球进行探测．已知地球与月球的质量之比为a∶1，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为b∶1，卫星在停泊轨道和工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星（AD）A．在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为eq\r(a)∶eq\r(b)B．在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为eq\r(b)∶eq\r(a)C．在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度D．从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速解析：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\r(G\f(M,r))，所以eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(M1r2,M2r1))＝eq\r(\f(a,b))，选项A正确．由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得eq\f(T1,T2)＝eq\r(\f(r\o\al(3,1),r\o\al(3,2))·\f(M2,M1))＝eq\r(\f(b3,a))，选项B错误．由v＝eq\r(G\f(M,r))可知，轨道半径越大，运行速度越小，所以选项C错误．要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项D正确．(多选)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆形轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步轨道3.轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图6－3所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是(BD）A．卫星在轨道3上的运行速率大于在轨道1上的速率B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度解析：由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mω2r，所以v＝eq\r(\f(GM,r))、ω＝eq\r(\f(GM,r3)).由题图可得轨道半径r1<r3，则v1>v3、ω1>ω3，A错B对．Q点是圆周轨道1与椭圆轨道2的相切点，由于万有引力提供向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝ma向，所以a向＝eq\f(GM,r2)，显然，卫星在经过圆周轨道1上的Q点和在经过椭圆轨道2上的Q点时具有的向心加速度均为a向＝eq\f(GM,r2)，C错；同理可得D对．(多选)地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝eq\f(x2y2z,4π2)求出．已知式中x的单位是m,y的单位是s，z的单位是m/s2，则A．x是地球半径，y是地球自转的周期，z是地球表面处的重力加速度B．x是地球半径，y是同步卫星绕地心运动的周期，z是同步卫星的加速度C．x是赤道周长，y是地球自转周期，z是同步卫星的加速度D．x是地球半径，y是同步卫星绕地心运动的周期，z是地球表面处的重力加速度解析：由，可得r3＝eq\f(GMT2,4π2)①，与题目中给出的r3＝eq\f(x2y2z,4π2)相比需再作进一步处理．考虑到z的单位是m/s2，是加速度的单位，于是引入加速度a＝Geq\f(M,r2)②，上式中a为同步卫星的加速度，r为同步卫星到地心的距离，由①②两式可得r3＝eq\f(r2T2a,4π2)，显然与所有选项不对应；引入地球表面处的重力加速度：g＝Geq\f(M,R2)③，由①③两式可得r3＝eq\f(R2T2g,4π2)，与r3＝eq\f(x2y2z,4π2)相比，形式相同，并且与A、D对应．对于同步卫星，其绕地心运动的周期与地球自转周期T相同．【题外延伸】此题不能靠单纯分析量纲来验证结论，各选项都符合量纲，无法求解．要结合同步卫星的知识进行推导，推导的方向是既要符合题目中给出的r3＝eq\f(z2y2z,4π2)形式，又要符合选项的要求．在推导的过程中思路要清晰，量纲要相符，形式要相同，表面上看是一件很难的事情，其实只要尝试多几次即可．(多选)下列关于同步卫星的说法，正确的是(AC）。A．同步卫星和地球自转同步，卫星的高度和速率是确定的B．同步卫星的角速度是确定的，但高度和速率可以选择，高度增加，速率增大，且仍保持同步C．一颗人造地球卫星的周期是114min，比同步卫星的周期短，所以这颗人造地球卫星离地面的高度比同步卫星低D．同步卫星的速率比地球大气层附近的人造卫星的速率大解析：同步卫星和地球自转同步，即它们的周期T相同，同步卫星绕地心近似做匀速圆周运动，所需向心力由卫星m和地球M之间的万有引力提供．设地球半径为R，同步卫星高度为h，因为F引＝F向，所以Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)，得h＝eq\r(3,\f(GMT2,4π))－R，可见h是一定的；由Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f