两曲线间距离

宁夏银川一中2021届第四次月考两曲线间距离问题若羽a,b均为任意实数，且(a+2"+(b-3)2=1,则(％-a)2+(ln%-b)2的最小值为A.3-J2 B.18 C.3J2-1 D.19-皈答案：D解法一：不等式记圆心(-2,3)到曲线f(x)=ln%的距离最小值为d,(%—lnx+5)2故d2=(x+2)2+(lnx—3)2> 2 18当且仅当x+2=lnx-3和x-lnx=1同时成立，即x=1时取等号故圆上的(a,b)到曲线f(x)=lnx的距离最小值为3亚-1综上，(x-a)2+(lnx-b)2的最小值为包2-1)2=19-6<2.解法二：直接法记圆心(-2,3)到曲线f(x)=lnx的距离最小值为d,故d2=f(x)=(x+2)2+(lnx-3)2=x2+4x+4+ln2x-6lnx+9知，f(x)=2x+4+匣%-6xx乂f"(x)=2x2-2lnx+8x22 4(x+<)(x-\')令g(x)=2x2-2lnx+8,有gf(x)=4x-_=x x知g，(』)=0,0<x<<2,g,(x)<0,x〉匕g,(x)>02 2 2故f以x)=g(<E)=9+1n2>0，故f(x)单调增min2而f，(1)=0,知0<x<1,f，(x)<0,x>1,f，(x)>0综上可知，d2i=18，得di=1"2,所求最小值为(d -1)2=(3。—1)2=19—6<2.min解法三：导数的几何意义设点C(-2,3)P(x0,lnx0)在曲线f(x)=Inx上，点Q(a,b)在圆C:(x+2)2+(y-3)2=1上，则(x-a)2+(Inx-b)2其几何意义为|PQ|2,min又|PQ2>|PM|2=(|PC-1)2如下图2，PN为过点P的切线，当CP1PN时，CM>CN>CP,CP取最小值得Inx-3+x(x+2)=0,0 0 0令g(t)=12+21+Int-3,有g，⑺=21+2+1>0t知g(t)在(0,+8)上单调增，又g⑴=0,知P(1,0)综上可知，(|综上可知，(|pc|-1)2=((1+2)2+(0-3)2-1)=19-622.解法四：切圆法记圆心。(-2,3),M(a,b),P(x,1nx)，则圆Q的半径r=1,故|PM\=|PQ|—r=|PQ|—1，min min min以点Q为圆心，作圆与曲线f(x)=lnx相切，切点为N(t,lnt),又f(x)=lnx,f'(t)=1，知k =—t,tQN故直线QN的方程为y—Int=—t(x—Int)代入点Q(—2,3)，得3—Int=—1(—2—t),即3—Int=12+21(t>0)令g(t)=12+21+Int—3,有g，⑺=21+2+1>0，知g(t)在(0,+s)上单调增t又g(1)=0，可得N(1,0)，故|PM2 =(|PQ\—1)=(QN\—11=(3v2—1)2=19—6<2min min．如下图所示：评论与赏析：本题是探求两曲线的距离问题，关键是合理转化，充分运用数形结合和切线方程知识使问题得到解决，培养学生的数学运算和直观想象等数学学科素养.解法一连续两次使用不等式予以放缩，关键在于等号恰好在同一值取得，如果不能再同一处取得等号，问题将无法解决，但是可以作为做题必要性尝试，技巧性比较强；解法二是直接转化为函数求最值，然后通过多次求导探求原函数的单调性，然后得出其最值，这类方法主要是要求学生具备相当的计算能力，要做到胆大心细；解法三是直接利用距离的几何意义，然后进行转化为相关的代数条件，再构造函数，探求其最小值；解法四是构造圆与已知曲线相切，利用相切的几何条件得出相关代数式，后面解答过程与解法三相同，解法三与解法四充分利用到数形结合的思想，使问题得到完美解决，充分体现数形结合解决距离问题的简洁性和直观性，有助于学生直观想象核心素养的形成，是解决此类问题的