§2指数映射与测地坐标系

作者：王幼宁作者：王幼宁--#-L=JLds=JLJ[p'(s)]2+[W'(s)]2GdsNJL|p'(s)|ds>JLp'(s)ds=p0.上式右端等于从P点出发而到达Q点的测地射线段的长度；且当等号成立时，p'(s)三1,W'(s)三0,CPQ也只能是测地射线段. □曲面内蕴几何与平面几何的局部差异，在一点邻近可以通过测地圆周和测地圆盘的行为而做出反映，并且可用该点处的Gauss曲率来刻画(参见习题1)．四．测地凸域下面进一步考虑最短线的局部存在范围．定义3在曲面S上给定开区域U．若对U上的任意两点P、Q，存在以之为端点的唯一一条测地线段CPQ，使CPQ成为在S上连接两点P、Q的最短连线段，并且使CPQuU，则称区域U为S上的一个测地凸域.例3①在欧氏平面上，测地凸域就是凸域．球面上的测地凸域，最大者为开半球面．在圆柱面上，测地圆盘为测地凸域的充要条件为其测地半径小于圆柱面正截圆周周长的四分之一． □下面在测地圆盘中考察测地凸域的存在性．注意，当测地半径足够小时，Liouville公式(1.2)和测地极坐标性质说明，正向测地圆周的测地曲率恒正；故由此可以直观感觉到，测地半径的大小，能够影响与测地圆周相切的测地线在切点附近的行为.具体的例子可以考察球面.一般的，有下列结论.弓1理2设曲面S上的以P为原点的测地极坐标系(p,V)在测地闭圆盘D(P,p1)有意义.则3p0e(0,pp,使对于V3e(0,p0),当测地线C切于测地圆周S1(P,3)上的点Q时，C在切点Q附近除切点以外的部分都严格地落在测地闭圆盘D(P,3)之外.

证明在以P为原点的测地极坐标系(p,明下，测地极坐标性质说明存在poe(0,p1)，使在测地闭圆盘D(P,p0)-{P}之内恒成立(4G)p>£0=const.>0.此时，对于V3G(0,p0),设弧长s参数化测地线C:{P=P(S1切于正向测地圆周V=W(s)Si(P,3)上的一点Q:(p3,必)=(p(0),v(0)). 图6-3记夹角函数①=以5)为测地线C单位切向在dpco即=ds'dpco即=ds'sin①=GgI得(P(s),V(s))ds且可不妨设其满足虱0)=V.而此时由Liouville公式(1.2)得0=需+(后)。瞿•在Q点，GG(Q)带(0)=1，故3£1>0使皆在［-£］,耳］恒正，从而普=-(近)p需<-60,<0，此即说明切向角函数9(s)在［-e1,e1］严格单调减少.进一步取弧长参数非空区间［-4,£2］U9-1((0,兀))c［-£］,£j，则在其间满足「0，-S2<s<0；ds(s)=cos9(s)<=0，s=0；〔>0，0<s<£2•即：函数P(s)在弧长参数区间［-£2,£2］具有唯一的严格最小值点s=0，对应最小值为p(0)=p(Q)=3•至此既得结论. 口注记从证明过程可见，当上述测地线C切于测地圆周S1(P,3)上的点Q且C在切点Q附近严格地落在测地闭圆盘D(P,3)之外时，点P到C上各点的最短连线的长度在切点Q附近有严格的极小值，并可实现为测地射线段PQ•通过测地线微分方程组关于初值的连续可微依赖性分析，根据测地线的局部最短性以及最短线一定是测地线，可证下列引理3(习题2)；并可进一步利用引理2,用以得到测地凸域的局部存在性定理(习题3)•

引理3对于曲面S上的任意一点P，存在以P为原点的测地极坐标系(P,W)在D(P,3P0)有意义，并且对于VQGD(P,p0)，使以Q为原点的测地极坐标系在D(P,2p0)有意义.此时，对于VQgD(P,P0)，成立D(P,p0)uD(Q,2p0)uD(P,3p0).定理3定理3(测地凸域局部存在性)存在测地凸域包含P点．给定曲面S上的任一点P，在S上1.在曲面S上给定原点P0和测地半径r，记测地圆周S1(P0,r)周长为L(r)，记测地圆盘D(P0，r)面积为&r).试证：S在点P0处的Gauss曲率K(P0)满足1.K(P0)=limrf032Tlz—L(r)冗 r3K(P0)=limrf012Tir2—A(r)九 r4测地线族的正交轨线族(t线)测地线族的正交轨线族(t线)C(C0线)地坐标系)； 图6-4②族｛Cs｝中任意两条指定的曲线在测地线族｛rt｝的任意一条测地线上所截得的测地线段长度相等..证明引理3..设正则曲面上存在测地闭圆盘D(P,3p0),使对于V6g(0,3p0),当测地线C切于测地圆周Si(P,6)上的点Q时，C在切点Q附近除切点以外的部分都严格地落在测地闭圆盘D(P,6)之外.证明引理3所确定的测地圆盘D(P,p0)是测地凸域..已知正则曲面S:r(u1,u2)上的正则曲线C:ui(t).作曲线C在S上的单参数t正交轨线族为弧长s参数化测地线族｛「/ui(s;t)｝;进一步作测地线族｛rt｝的正交轨线族｛Cs｝.试证：①局部存在容许参数变换，使｛「t｝和｛Cs｝构成正交坐标