解三角形的应用题

解三角形的应用题解三角形的应用题1．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距eq\r(3)千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．2．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．3.某观测站C在目标A的南偏西25°方向，从A出发有一条南偏东35°走向的公路，在C处测得与C相距31千米的公路上B处有一人正沿此公路向A走去，走20千米到达D，此时测得CD为21千米，求此人在D处距A还有多少千米？4.如图所示，南山上原有一条笔直的山路，现在又新架设了一条索道.小李在山脚处看索道，发现张角；从处攀登400米到达处，回头看索道，发现张角，从处再攀登800米方到达处.问索道长多少（精确到米）？5.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180km/h.飞机先看到山顶的俯角为，经过420s后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度（取＝1.7）．6.如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度答案：1、解析如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝eq\r(3)(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，即AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(千米)．所以两目标A、B间的距离为eq\r(5)千米．2、解析(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以渔船甲的速度为eq\f(BC,2)＝14海里/时．(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).3.解:如图所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝eq\f(312＋202－212,2×31×20)＝eq\f(23,31)，所以sinB＝eq\f(12\r(3),31).在△ABC中，AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA，得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D处距A还有15千米．4.在中，，因为，所以因为所以在中，，所以得（米）5.解求出，解求出，山峰的高为.【解析】如图，过作，垂足为，因为，，所以，(m)所以在中，且，所以因为，所以＝＝＝＝7350所以山顶的海拔高度(米).3.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20eq\r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？3.解:由题意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，[来源:学,科,网]BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2B