无限脉冲响应滤波器的设计

无限脉冲响应滤波器的设计第1页，共62页，2023年，2月20日，星期五的，实际模拟滤波器在通带和阻带之间的幅度是渐变的。7.1.1模拟滤波器的描述方法模拟滤波器的频率响应是根据非周期函数的傅里叶变换定义(3.84)得来的。实际模拟滤波器的频率响应其中h(t)是实际模拟滤波器的单位脉冲响应，是因果的。脉冲响应h(t)的拉普拉斯变换的定义是(7.1)(7.4)第2页，共62页，2023年，2月20日，星期五模拟滤波器的幅频特性|H(jΩ)|也有用分贝的衰减函数A(Ω)来表示的，即如果|H(jΩ)|max=1，则衰减函数将变为幅频特性的平方|H(jΩ)|2叫做幅度平方响应，它也是一种描述模拟滤波器的有效方法。因为，利用系统频谱H(jΩ)的共轭特点，即(7.7)(7.8)(7.9)第3页，共62页，2023年，2月20日，星期五幅度平方响应有这种关系，这种关系是设计模拟滤波器的工具。下面介绍两种常用的模拟滤波器设计。7.1.2巴特沃斯滤波器的设计模拟低通巴特沃斯滤波器的幅度平方响应是它的幅度随频率的增大而变小。例如H(jΩ)在阶N=1和5的频率响应曲线，

(7.10)(7.11)第4页，共62页，2023年，2月20日，星期五为了得到用复频率s表示的系统，让我们将s=jΩ代入幅度平方响应，就可以得到图7.2(7.12)第5页，共62页，2023年，2月20日，星期五巴特沃斯幅度平方响应的分母有2N个根，确定这些根的依据是利用-1=ej(2πk-π)来求解方程(7.13)，就能得到这些根只要你选择s左半平面的极点s1~N，用它们组成幅度平方函数中的系统函数H(s)，即(7.13)(7.14)(7.18)第6页，共62页，2023年，2月20日，星期五就可以获得稳定的模拟巴特沃斯滤波器。例题7.1船舶通信需要一个模拟低通滤波器，其通带截止频率fp=5kHz，通带衰减Ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带衰减As=20dB。请设计一个能满足这些技术指标的模拟低通巴特沃斯滤波器。解设计滤波器的关键在阶N和3dB截止频率Ωc。下面分四步来设计模拟滤波器。（1）确定滤波器的阶根据衰减公式和巴特沃斯的幅度平方函数，得(7.20)第7页，共62页，2023年，2月20日，星期五将技术指标代入衰减函数，可得阶实际的阶N是正整数，最好是大于理论值的最小整数。本题取N=3。（2）确定滤波器的截止频率根据衰减函数，如果使用通带指标来计算3dB截止频率，则(7.23)(7.27)第8页，共62页，2023年，2月20日，星期五（3）确定滤波器的极点根据极点公式(7.14)和阶N=3，选择位于s平面的左半平面的极点，得系统的极点（4）确定滤波器的系统函数根据巴特沃斯滤波器的系统函数(7.18)，该系统函数(7.30)(7.31)第9页，共62页，2023年，2月20日，星期五系数的近似取值会改变系统的频率响应，所以，必须检验公式(7.31)的幅频特性。它的幅频特性|H(Ω)|如左图所示，右图是H(s)的系数四舍五入为整数后的幅频特性，例如4.06×1013变为4×1013；两者都能满足技术指标。图7.4第10页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.1.3切比雪夫滤波器的设计切比雪夫滤波器有两种类型：切比雪夫1型的模拟低通滤波器的幅度平方函数是式中r是跟通带的波动幅度有关的系数，CN(x)是N阶图7.5(7.32)第11页，共62页，2023年，2月20日，星期五切比雪夫多项式。N阶切比雪夫多项式的定义是或其中C0(x)=1和C1(x)=x。确定切比雪夫1型的阶N和波动系数r，可从衰减函数入手，衰减函数是(7.33)(7.34)(7.35)第12页，共62页，2023年，2月20日，星期五首先，将通带指标{Ωp,Ap}带入公式(7.35)，得到经过化简，得到波动系数然后，将指标Ωp、Ωs、As和r代入式(7.35)，得到(7.36)(7.37)(7.38)第13页，共62页，2023年，2月20日，星期五化简公式(7.38)，就能得到切比雪夫1型的阶知道阶N和波动系数r，就能设计切比雪夫1型的系统函数H(s)了。为了得到H(s)，让我们将s=jΩ代入幅度平方函数(7.32)，(7.39)(7.40)第14页，共62页，2023年，2月20日，星期五它的分母含N阶多项式CN(x)的平方，是2N阶的，应该有2N个根。确定这些根的依据是从多项式CN(x)中任选一个方程，都可以求解上面的方程。比如选择CN(x)的第一个方程，这时令并将它代入公式(7.33)的第一个方程，得到(7.41)(7.42)(7.43)第15页，共62页，2023年，2月20日，星期五其中双曲正弦函数sh(x)=sinh(x)=(ex-e-x)/2。将公式(7.43)代入方程(7.41)，得到一个二元N次复数方程对比复数方程(7.44)的实部和虚部，可以得到二元N次方程组利用双曲余弦函数ch(x)≠0和sin(±π/2)=±1的特点，求出方程组(7.45)的解(7.44)(7.45)第16页，共62页，2023年，2月20日，星期五将这些a和b代回公式(7.42)，并借鉴公式(7.43)，就能得到方程(7.41)的根，参考公式(7.40)的x=s/(jΩp)和公式(7.47)，得到切比雪夫1型的幅度平方函数的2N个极点，(7.46)(7.47)第17页，共62页，2023年，2月20日，星期五其中k=1~N，每个k都包含“±”两种情况。按照公式(7.16)~(7.17)的分析，组成稳定系统H(s)的极点应该在复数s坐标平面的左半平面；符合稳定要求的极点是其中k=1~N。这些极点的前后部分是共轭对称的。(7.48)(7.50)第18页，共62页，2023年，2月20日，星期五利用这些极点(7.50)，就可以获得切比雪夫1型的系统函数你可能会问：这个表达式是怎么来的呢？(7.51)第19页，共62页，2023年，2月20日，星期五这个表达式是这么来的，运用对比法就可以得到。让我们重写切比雪夫1型的幅度平方函数，它的分母包含一个N阶切比雪夫多项式CN(s/jΩp)的平方。这说明其系统函数H(s)是N阶的，H(s)的分母包含CN(s/jΩp)，它是变量(s/jΩp)的N阶多项式。多项式CN(s/jΩp)的最高次幂(s/jΩp)N=sN/(jΩp)N的系数是2N-1，这可以利用切比雪夫多项式的定义(7.34)递推得到。(7.52)第20页，共62页，2023年，2月20日，星期五如果提取分母多项式的公因式r2N-1/(jΩp)N，然后再因式分解这个分母多项式，则切比雪夫1型的系统函数可以写为切比雪夫1型的系统函数(7.51)就是这么来的。(7.53)第21页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.2检测水流速度时，需要一个低通滤波器。滤波器要求通带截止频率fp=3kHz，通带衰减Ap=1dB，阻带截止频率fs=6kHz，阻带衰减As=40dB。请设计一个能满足这些技术指标的模拟切比雪夫1型低通滤波器。解设计滤波器的关键是确定阶N和波动系数r。下面分四步完成这个设计。①

确定波动系数r将通带衰减Ap=1dB代入公式(7.37)，得到波动系数(7.54)第22页，共62页，2023年，2月20日，星期五②确定阶N将技术指标As、r、fs和fp代入公式(7.39)，得到阶实际的阶N应该取整数5。③

确定系统的极点将技术指标fp、N、r等代入公式(7.50)，得系统极点(7.55)(7.56)第23页，共62页，2023年，2月20日，星期五它的k=1~5。利用前后极点的共轭对称性简化计算，这5个极点是④

写出系统函数将极点(7.57)代入切比雪夫1型的系统函数(7.51)，得到系统函数(7.57)第24页，共62页，2023年，2月20日，星期五若将公式的s换成jΩ=j2πf，即可计算幅频特性|H(f)|(7.58)图7.9第25页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.2间接设计数字滤波器间接设计数字滤波器的方法是借助模拟系统函数和数字系统函数的数学关系，也就是s和z之间的对应关系，对模拟滤波器进行数学变换。变换方法有两种。7.2.1脉冲响应不变法它的原理和模拟信号变成数字信号的原理是一样的，将单位脉冲响应当作是模拟信号，这个问题就好理解了。为了从模拟系统函数Ha(s)获得数字系统函数H(z)，现在将模拟系统函数写成第26页，共62页，2023年，2月20日，星期五根据拉普拉斯变换的定义(7.4)，这个Ha(s)的拉普拉斯逆变换按照公式(7.80)离散化这个模拟系统ha(t)，得到数字系统(7.83)(7.84)(7.85)第27页，共62页，2023年，2月20日，星期五然后求这个离散系统h(n)的z变换，得到数字系统函数它就是从Ha(s)获得H(z)的脉冲响应不变法。观察公式(7.86)，你会发现数字系统的极点zi和模拟系统的极点si的对应关系：(7.86)(7.87)第28页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.5检测地球物理信号时，需要滤掉被测信号中的高频噪声。假设有用信号的频谱成分分布在频率f=0~500Hz的范围，请你设计一个4阶的巴特沃斯数字滤波器，让它完成这项任务。解

截止频率通常是指半功率点截止频率，也就是3dB截止频率。这么理解的话，本题的设计可以分两步完成。（1）设计模拟系统函数已知有用信号的截止角频率Ωc=2π500弧度/秒，滤波器的阶N=4，根据公式(7.18)计算模拟系统函数Ha(s)的极点，第29页，共62页，2023年，2月20日，星期五并写出系统函数Ha(s)的部分分式表达式(7.99)(7.100)第30页，共62页，2023年，2月20日，星期五这个模拟滤波器Ha(s)的幅频特性为自变量是频率f的幅度|Ha(f)|在f=500Hz的地方有-20log10(0.707)≈3(dB)的衰减。（2）设计数字系统函数运用脉冲响应不变法的转换公式(7.88)时，必须先选择对模拟滤波器的采样频率fs。从上图看，选择采样频率fs=4000Hz，应该不会造成数字滤波器太多的混叠图7.13第31页，共62页，2023年，2月20日，星期五失真。对照模型(7.100)，将模拟极点sk和采样周期T=1/fs代入公式(7.88)，就可以得到数字滤波器的系统函数这是两个二阶节的并联结构。其幅频特性如图，(7.102)图7.14第32页，共62页，2023年，2月20日，星期五它的最大值为1，这是变换公式(7.86)乘上T的效果。按照ω=ΩT的关系，自然频率f=500Hz对应数字角频率ω=0.25π，这点的数字频谱有-20log10(0.707)≈3dB的衰减。还有，在横坐标ω=π的地方，对应频率f=fs/2=2000Hz，看不出来混叠失真。脉冲响应不变法的优点是，数字系统的脉冲响应和模拟系统的脉冲响应是线性关系，数字角频率和模拟角频率也是线性关系；缺点是，对模拟滤波器的采样频率必须满足采样定理。第33页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.2.2

双线性变换法双线性变换法是利用s平面到z平面的映射关系，将模拟系统函数Ha(s)转变为数字系统函数H(z)，也就是(7.104)(7.105)第34页，共62页，2023年，2月20日，星期五获得双线性变换法的技巧是变量代换。令s的角频率

为了获得s与z的直接映射关系，让我们用三角函数转化频率映射公式(7.107)，然后令s=jΩ和z=ejω，并将它们代入上式，就可以得到(7.107)(7.108)(7.109)第35页，共62页，2023年，2月20日，星期五虽然公式(7.109)是利用s=jΩ和z=ejω得到的，但是，对于s=σ+jΩ的情况，公式(7.109)仍然是s点对z点的映射。这个结论是这么来的，公式(7.109)的逆变换是为了方便观察z和s的映射关系，将z=rejω和s=σ+jΩ代入公式(7.110)，得到上式的ω、r与Ω呈一对一的关系。这个特点可以防止混叠失真。(7.110)(7.111)第36页，共62页，2023年，2月20日，星期五顺便说一下，任何模拟信号，它的无穷大频率成分是不可能转变为数字信号的，映射公式的复变量s只是个虚构的数学变量。应用双线性变换法来设计数字滤波器，其步骤大体上分三步：第一，将数字滤波器的通带截止频率和阻带截止频率代入角频率映射公式，算出虚构的模拟通带截止频率和阻带截止频率；第二，根据模拟滤波器的指标设计模拟滤波器；第三，对虚构的模拟系统函数应用双线性变换函数，获取数字滤波器。第37页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.6有一种模拟信号的有用成分分布在频率f=1kHz以下。如果信号的采样频率fs=8kHz，要求幅度失真小于3dB，请你利用频率映射公式(7.107)和双线性变换公式(7.109)，设计一个1阶的巴特沃斯数字滤波器，让它完成选择低频信号的滤波任务。解首先从题目的信号指标获取数字低通滤波器的3dB截止频率ωc=2π1000/8000=0.25π，然后开始设计数字滤波器。（1）计算模型滤波器的边界频率(7.115)第38页，共62页，2023年，2月20日，星期五（2）设计模型滤波器根据巴特沃斯滤波器的极点公式(7.14)，计算模拟系统Ha(s)的1阶极点再根据模拟系统函数公式(7.18)，写出1阶巴特沃斯滤波器的系统函数（3）设计数字滤波器对模型的系统函数Ha(s)应用双线性变换公式(7.109)，获取数字低通滤波器的系统函数(7.116)(7.117)第39页，共62页，2023年，2月20日，星期五左图是令c=1的模拟滤波器的幅频特性，当Ω→∞时，|Ha(Ω)|→0；右图是数字滤波器的幅频特性，当ω→π时，|H(ω)|→0，无折叠失真。(7.118)图7.17第40页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.3

直接设计数字滤波器它的做法是：在数字域里设计数字滤波器H(z)，设计的依据可以是系统的零极点，也可以是系统的频谱误差，还可以是单位脉冲响应的误差。7.3.1零极点设计法通过设置系统函数的零极点位置，达到设计数字滤波器的目的。不过，设置的零极点必须经过检验，确定它们是否达到技术指标。第41页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.7请根据零极点的特点设计一个数字滤波器，用它来完成对模拟信号的选频。要求这个数字滤波器能完成以下的模拟信号处理指标：（1）完全滤除模拟信号的直流成分和250Hz成分，（2）有用信号的中心频率是20Hz，（3）滤波器的3dB带宽是10Hz。解计算出几个关键的模拟信号频率及其对应的数字角频率，表7.2第42页，共62页，2023年，2月20日，星期五为了实现本题的指标（1），我们在z单位圆的ω=0和π的地方各设置一个零点，为了实现本题的指标（2），在z单位圆的ω=0.08π的地方设置一个极点。零极点必须是共轭对称的。极点的半径r需要经过计算和分析才能确定。将这些零极点代入因式的系统函数(7.122)(7.123)(7.120)第43页，共62页，2023年，2月20日，星期五经过尝试，得到r=0.94，其归一化幅频特性为这样设置零极点的系统函数是图7.18(7.124)第44页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.3.2

最小误差设计法这里的设计误差是，希望的滤波器性能和设计的滤波器性能之间的差别。最小误差法可在时域中进行，也可在频域中进行设计。（1）时域的最小误差法设计一个可以实现的因果滤波器h(n)，并尽量使h(n)的性能逼近理想滤波器hd(n)的性能。这个“尽量”就是工程上常说的“误差最小”。但是，误差最小的标准是不同的，比如误差平均值最小、误差最大值最小等。

第45页，共62页，2023年，2月20日，星期五①误差的标准是h(n)-hd(n)=0这种设计方法叫做帕德算法，它要求在时序范围[0,I+J]里，设计的因果系统h(n)等于希望的系统hd(n)。帕德逼近法的设计原理是这样的。假设等待设计的系统h(n)的系统函数是将这个公式右边的分母移到左边，得到(7.130)(7.131)第46页，共62页，2023年，2月20日，星期五根据z变换的定义(4.31)和延时性质（表4.4），上面公式的反z变换是帕德方法令n=0~I+J时的h(n)=hd(n)，并将它们代入上式，整理后得到这就是帕德算法，它在时序n=0~I+J的范围内成立，总共有I+J+1个线性方程，可以求解得到系统函数(7.130)或差分方程(7.132)的系数bi和aj。(7.132)(7.133)第47页，共62页，2023年，2月20日，星期五帕德逼近法能够在时序n=0~I+J的范围内做到h(n)=hd(n)，但是，它不能保证时序n>I+J的h(n)逼近我们希望的hd(n)。例题7.9假设磁悬浮列车掠过桥墩的地基震动脉冲响应hd(n)={5,2,1,0.5}。请你用帕德逼近法设计两种无限脉冲响应系统函数H(z)：一种是二阶全极点的，另一种是单零点和单极点的。要求设计的系统h(n)在n=0~2时等于地基震动脉冲响应hd(n)。解（1）二阶全极点的系统函数观察系统函数(7.130)，对于二阶全极点的系统函数来说，待定系数是b0、a1和a2，它们的帕德逼近方程是第48页，共62页，2023年，2月20日，星期五将测量值hd(n)代入公式(7.134)，解方程组得到它们对应二阶全极点的系统函数是（2）单零点和单极点的系统函数观察公式(7.130)，对于单零点和单极点的系统函数来(7.134)(7.135)(7.136)第49页，共62页，2023年，2月20日，星期五说，待定系数是b0、b1和a1，它们的帕德逼近方程是将测量值hd(n)代入公式(7.137)，解方程组得到它们的系统函数是经过验算，h1(n)和h2(n)在n=0~2范围都等于hd(n)；在n=0~2以外，h1(3)=0.48，h2(3)=0.5。(7.137)(7.138)(7.139)第50页，共62页，2023年，2月20日，星期五7.4

低通滤波器的变换实际应用中，不仅需要低通滤波器，而且还需要高通、带通、带阻等滤波器。能不能利用前面介绍的低通滤波器的设计方法，设计其它的选频滤波器呢？假若有类似频率变换公式(7.106)的方法，我们就能在低通滤波器的基础上设计其它选频滤波器。7.4.1模拟频率域的频率变换在模拟频率域中，模拟低通滤波器和其它模拟选频滤波器的频率变换关系如表7.3所示，其箭头符号表示频率映射。第51页，共62页，2023年，2月20日，星期五使用表7.3的映射公式的方法是：将模型低通滤波器中的复频率s用箭头右边的表达式替换，就可得到我们所需要的选频滤波器。表7.3第52页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.11有一个3dB截止角频率Ωc=1的一阶巴特沃斯模拟低通滤波器H(s)。请以H(s)为模型，设计另一个3dB截止频率fc=100Hz的一阶模拟低通滤波器。解

已知模型的边界频率Ωmodel=1rad/s，新型滤波器的边界频率Ωnew=2π100rad/s。根据模拟巴特沃斯滤波器的极点公式(7.18)，作为模型的一阶巴特沃斯滤波器的极点是(7.152)第53页，共62页，2023年，2月20日，星期五它对应的一阶系统函数是是最简单的低通滤波器。图7.24的左图是Hmodel(s)的幅频特性，它的幅值在3dB截止角频率Ωc=1rad/s的地方符合题目要求。(7.153)图7.24第54页，共62页，2023年，2月20日，星期五现在，利用表7.3的低通滤波器映射关系，将归一化滤波器(7.153)的复频率s替换为箭头右边的表达式，就可以得到新型滤波器它就是我们需要的fc=100Hz的低通滤波器。图7.24的右图是Hnew(s)的幅频特性，它的幅值在3dB截止频率fc=100Hz的地方满足本题要求。(7.154)第55页，共62页，2023年，2月20日，星期五例题7.13鸟类研究者需要一种模拟带通滤波器，它的通带截止频率是5kHz和8kHz，通带最大衰减是2dB，阻带截止频率是3kHz和12kHz，阻带最小衰减是20dB。请设计一个切比雪夫1型的模拟带通滤波器。解参考表7.3的低通滤波器映射到带通滤波器的复频率映射公式，该公式的边界频率并没有区别通带频率和阻带频率，现在选择通带频率作为上式的边界频率，则ΩL=ΩpL和ΩH=ΩpH。令Ωmodel=Ωmodel,p=1，这样一来，上式的复频率转换公式就变为

(7.160)第56页，共62页，2023年，2月20日，星