第三章立体的投影

6(4)1(3)1(3)510

(4)8(10)6(4)7(9)(c)求平面与各棱线的交点(d)连线、整理轮廓，完成全图52527'(8')9'(10')2'(5')3'(4')1'(6')3'(4')1'(6')7'(8')9'(10')2'(5')8

(6)7

(1)9

(3)8

(6)7

(1)10

(4)9

(3)28(10)7(9)25四棱柱被截切后作图：(1)求平面P的截交线；

(2)求平面Q、R的截交线；

(3)

检查,判断可见性，将各点依次连接。

注意：两截平面间交线。例3-2完成三棱锥被截后的水平投影，并求作其侧面投影。PV

分析：三棱锥被正垂面Ｐ所截，截交线为三角形，V面投影积聚为一条直线段；H面、W面均为类似形。

（b）已知

（a）立体图

三棱锥被截切后的投影3211⑴求三角形各顶点的H面、W面投影；

⑵判断可见性，依次连线；

⑶检查,整理轮廓，加深，完成全图。

2'1231'3'12323Pv1'2'3'三棱锥被截切后(3)求交点（4）连线、整理

二、回转体截交线性质、求法性质：回转体截交线一般为封闭的平面曲线。实质：求截交线就是求截平面与回转体表面一系列的共有点，最后将这些点的同面投影光滑连接起来。作图步骤：

1)求出截交线上的特殊点；

2)作出若干个一般点；

3)将求出的点依次光滑连接。特殊点是指特殊素线点、确定大小、范围的点，极限位置点，椭圆长、短轴的端点，以及抛物线、双曲线的顶点等。

圆柱截交线三种情况—圆、椭圆和矩形1.圆柱的截交线截平面的位置

与轴线平行与轴线垂直与轴线倾斜截交线的形状

矩形圆椭圆立体图投影图例3-3求正垂面Ｐ与圆柱的截交线。

分析：截平面与轴线斜交，截交线为椭圆。截交线的V面投影积聚于一条线，W面投影积聚圆上，求H面投影。(a)立体图斜切圆柱体的投影(b)已知ⅠⅡⅢⅣⅥⅤⅦⅧ(c)求特殊点

Y11Pv37'(8')Y21'2'12345678α3'(4')5'(6')1245678Y1Y22'3'(4')1'42步骤：(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ。

(2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。

(3)连接，整理轮廓，完成全图。例3-3求正垂面P与圆柱的截交线。斜切圆柱体的投影(d)连接整理3PvY作图步骤：

(1)根据“宽相等”，画P面截交线的W面投影。

(2)根据“高平齐、宽相等”，画Q面的W面投影。

(3)整理轮廓，按规定线型加深。例3-4求中间开槽圆柱的作W面投影。Y开槽圆柱体的投影（二）圆锥的截交线

平面与圆锥体相交的五种形式截平面的位置与轴线垂直

β=90º

与轴线倾斜

β>α平行一条素线β=α

与轴线平行

β=0º

过锥顶

截交线的形状

圆椭圆抛物线双曲线等腰三角形立体图

投影图例3-5求圆锥被正垂面P截切的截交线。分析：截交线为椭圆，V面投影与截平面的Pv重合，H面投影和W面投影均为椭圆，但不反映实形。

(a)立体图

斜切圆锥体的投影(b)已知Pv153'(4')34565621437812345678y1y25'(6')7'(8')y1y23'(4')1'2'5'(6')7'(8')1278234678作图:(1)求特殊点。特殊素线上的点Ⅰ、Ⅱ、

Ⅲ、Ⅳ，椭圆长、短轴的端点

Ⅴ、Ⅵ。

(2)求一般点

Ⅶ、Ⅷ。

(3)光滑连接，整理轮廓，完成全图。(c)求特殊点和一般点

斜切圆锥体的投影(d)连接整理1'2'PvPv例3-6求圆锥被截后的水平投影和侧面投影。

(a)立体图

圆锥被侧平面截切(b)已知分析：截交线为双曲线。截交线V面、H面投影分别积聚为一条线，需求反映实形的W面投影即可。Pv43212'(3')作图过程：25314Y1Y2Y1Y2Y1Y2512345123452'(3')1'4'(5')1'4'(5')(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ

；(2)求一般点Ⅶ、Ⅷ

；(3)光滑连接、整理轮廓。

(c)求特殊点和一般点

圆锥被侧平面截切(d)连接整理Y1Y2PvPv圆球截交线均为圆，但根据截平面相对投影面的位置不同，截交线的投影可以是圆、直线或椭圆。（三）圆球的截交线

截平面为平行面截平面为垂直面圆球的截交线例3-7求作开槽半圆球的水平和侧面投影。QP(a)立体图

求开槽半圆球的投影(b)已知分析:圆球被侧平面P和水平面Q所截。侧平面P的W面投影反映实形——圆弧，H面积聚成线；水平面Q的H面投影反映实形——圆弧，W面积聚成线。P'q'作图:

(1)完成平面P的投影；

(2)完成平面Q的投影；

(3)整理轮廓，完成全图。(c)求P、Q的投影

求开槽半圆球的投影(d)整理轮廓，完成全图（四）同轴复合回转体的截交线同轴复合回转体的截交线，必须分析形体是由哪些回转体组合而成，截平面与被截切的各个回转体的相对位置，截交线的形状及其投影特性，然后逐个画出各回转体的截交线，最后将其依次连接起来。例3-8求作图示立体的水平投影图。

同轴复合回转体的截交线(a)立体图

(b)已知210369'(10')1081732692'(3')451457891'8'1'8'4'(5')6'(7')4'(5')6'(7')9'(10')13(7)89102(6)12389105(7)4(6)分析：立体由圆锥和圆柱组合后，被水平面和正垂面截切。水平面截交线为双曲线、两条平行的素线；正垂面截交线为椭圆弧。V面、W面投影有积聚性，需求其H面投影。作图：(1)求水平面截圆锥的截交线——双曲线；

(2)求水平面截圆柱的截交线——两条平行的素线；

(3)求正垂面截圆柱面的截交线——椭圆弧；

(4)整理轮廓，完成全图。452'(3')同轴复合回转体的截交线(c)求各面截交线(d)整理轮廓，完成全图求截交线的解题方法与步骤:

(1)空间及投影分析分析截平面与被截立体的相对位置，以确定截交线的形状。分析截平面与被截立体对投影面的相对位置，以确定截交线的投影特征。

(2)求截交线当截交线的投影为非圆曲线时，要先找全特殊点，再补充一般点，最后光滑连接曲线，并完善轮廓的投影。小结§3-3相贯体的投影一、相贯线的概述相贯线概念：两立体相交称为相贯，两立体表面交线称为相贯线相贯线性质：(1)相贯线是两个立体表面的共有线;(2)相贯线一般为封闭的空间曲线。截交线的形状取决于:(1)立体的形状；2.截平面与立体的相对位置。立体相贯三种情况：(1)平面体与平面体相贯(2)平面体与曲面体相贯(3)曲面体与曲面体相贯二、两回转体相贯相贯线的性质：(1)相贯线为相交立体表面的共有线；(2)相贯线一般为封闭的空间曲线，特殊情况为平面曲线或直线，也可能为不封闭的空间曲线。求相贯线的步骤：(1)求相贯线上的特殊点，如两立体外形轮廓线上的特殊点、极限位置点等等；(2)求两曲面体表面上一系列一般点；(3)判别可见性，光滑连接，整理轮廓

。求相贯线的方法：(1)表面取点法;(2)辅助切平面法。两曲面体相贯线的不同情况相贯线为封闭

的空间曲线(b)相贯线为不封闭的空间曲线(d)相贯线为直线(c)相贯线为平面曲线两曲面体相贯线的不同情况1.表面取点法

当回转体表面的投影具有积聚性时，可利用积聚性投影，通过表面取点的方法，求出相贯线其它投影。例3-9求作两正交圆柱的相贯线的投影。

两圆柱正交的相贯线(a)立体图(b)已知5'(6')3y1y12'3'(4')1'6(8)7'(8')1241(2)5(7)435678空间及投影分析:

两圆柱正交，相贯线为一前后、左右对称的封闭的空间曲线。相贯线的W面投影与大圆柱面重合，为一段圆弧；H面投影与小圆柱面重合，为一个圆；需求V面投影。两圆柱正交的相贯线作图:(1)求特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；(2)求一般点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；(3)光滑连接，整理轮廓。

两非等径圆柱正交相贯线的相似画法

两圆柱正交直径相差较大时，在与两圆柱轴线所确定的平面平行的投影面上的相贯线投影可以采用圆弧代替。作图时，以较大圆柱的半径为圆弧半径，其圆心在小圆柱轴线上，相贯线弯向较小的立体。两圆柱正交相贯线的近似画法(a)(b)两圆柱正交的形式：

不同结构内、外表面的相贯线画法相同，只是其可见性要根据情况正确判断处理。两圆柱相贯的三种形式（a)两外表面相交（b)内表面与外表面相交（c)两内表面相交2．辅助切平面法辅助切平面法的作图原理：设有甲、乙两立体相交，根据三面共点的原理，作适当的辅助切平面（图示为水平面），同时与甲、乙两立体相交，分别得到截交线A和B，A、B两截交线的交点K、L，即为相贯线上的点。

辅助切平面法作图原理辅助切平面选择原则：

辅助切平面可以是平面，也可以是曲面（如球面），但为使作图简便，应使辅助切平面与两立体表面交线的投影为简单易画的图形：直线或圆。通常选用投影面平行面。

Pv3'(4')4312分析：圆柱与圆锥台正交，相贯线为前后对称的空间曲线。相贯线的W面投影与圆柱面的积聚投影重合为圆，需求V面投影和H面投影。作图方法：辅助切平面法。选择水平面为辅助面。例3-10求作圆柱与圆锥台正交的相贯线的投影。2'12341'两圆锥正交的相贯线(a)已知(b)求特殊点Y165Y1785'(6')7'(8')QV87RV56作图：⑴求特殊点。⑵求一般点。⑶光滑连接，整理轮廓。

两圆柱正交的相贯线(a)求一般点(b)连接、整理轮廓1.当回转体具有公共轴线时，相贯线为垂直于公共轴线的圆，在与轴线平行的投影面上的投影为一直线段。

三、相贯线的特殊情况同轴回转体的相贯线

圆柱与圆球相贯

圆锥与圆球相贯

圆球与圆锥台相贯2.圆柱与圆柱或圆锥相交，并公切于一球，相贯线为椭圆，在与轴线平行的投影面上的投影为直线。公切于一球的两圆柱或圆柱与圆锥的相贯线两等径圆柱正交

两等径圆柱斜交圆柱与圆锥正交

圆柱与圆锥斜交

四、相贯线的变化趋势分析