2022年中考数学真题分类汇编：18四边形（含真题解析）

2022

年中考数学真题分类汇编：18

四边形一、单选题1．如图，点𝐴(0，3)、𝐵(1，0)，将线段𝐴𝐵平移得到线段𝐷𝐶，若∠𝐴𝐵𝐶

=90°，𝐵𝐶=2𝐴𝐵，则点

D

的坐标是（ ）A．(7，2) B．(7，5) C．(5，6) D．(6，5)【答案】D【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；图形的平移；用坐标表示平移【解析】【解答】如图过点

C

作𝑥轴垂线，垂足为点

E，∵∠𝐴𝐵𝐶=

90°∴∠𝐴𝐵𝑂+∠𝐶𝐵𝐸=

90°∵∠𝐶𝐵𝐸+𝐵𝐶𝐸=

90°∴∠𝐴𝐵𝑂=

∠𝐵𝐶𝐸在𝛥𝐴𝐵𝑂和𝛥𝐵𝐶𝐸中，∠𝐴𝐵𝑂=

∠𝐵𝐶𝐸∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐵𝐸𝐶=

90°，∴𝛥𝐴𝐵𝑂∽

𝛥𝐵𝐶𝐸，𝐴𝐵

𝐴𝑂

𝑂𝐵

1∴ = = = ，𝐵𝐶 𝐵𝐸 𝐸𝐶 2则𝐵𝐸

=

2𝐴𝑂

=

6

，𝐸𝐶

=

2𝑂𝐵

=

2∵点

C

是由点

B

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到，∴点

D

同样是由点

A

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到，∵点

A

坐标为(0，3)，∴点

D

坐标为(6，5)，选项

D

符合题意，故答案为：D【分析】过点

C

作

x

轴垂线，垂足为点

E，利用余角的性质可证得∠ABO=∠BCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABO∽△BCE，利用相似三角形的性质可求出

BE，EC

的长利用点的坐标平移规律可知点

D

同样是由点

A

向右平移

6

个单位，向上平移

2

个单位得到即可得到点

D

的坐标.2．如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点

E

是边𝐶𝐷的中点，𝐸𝐹垂直𝐴𝐵交𝐴𝐵的延长线于点

F，若𝐵𝐹：𝐶𝐸

=

1：2，𝐸𝐹

=7，则菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长是（ ）A．3 B．4 C．5【答案】BD．457【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质【解析】【解答】过

C

作

CM⊥AB

延长线于

M，∵𝐵𝐹：𝐶𝐸=

1：2∴设𝐵𝐹

=

𝑥，𝐶𝐸

=

2𝑥∵点

E

是边𝐶𝐷的中点∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸=

4𝑥∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐶𝐷=𝐵𝐶=

4𝑥，CE∥AB∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐵，CM⊥AB∴四边形

EFMC

是矩形∴𝐶M=𝐸𝐹=7，M𝐹=𝐶𝐸=

2𝑥∴BM=3x在

Rt△BCM

中，𝐵M2

+𝐶M2

=

𝐵𝐶2∴(3𝑥)2

+

(

7)2

=

(4𝑥)2，解得𝑥

=

1或𝑥

=

−1（舍去）∴𝐶𝐷=4𝑥=

4故答案为：B.【分析】过

C

作

CM⊥AB延长线于

M，利用

BF

与

CE

的比值，设

BF=x，则

CE=2x，利用线段中点的定义可表示出

CD

的长，利用菱形的性质可得到

BC

的长，同时可证得四边形

EFMC

是矩形，利用矩形的性质可得到CM

的长，可表示出

MF，BM

的长，利用勾股定理建立关于

x

的方程，解方程求出

x

的值，可得到

CD

的长.3．如图，在边长为

2

的等边三角形𝐴𝐵𝐶的外侧作正方形𝐴𝐵𝐸𝐷，过点𝐷作𝐷𝐹

⊥

𝐵𝐶，垂足为𝐹，则𝐷𝐹的长为（ ）A．23

+2B．5−

3

C．3−

3 D．3

+13【答案】D【知识点】等边三角形的性质；含

30°角的直角三角形；勾股定理；正方形的性质【解析】【解答】解：如图，过点

A

分别作

AG⊥BC

于点

G，AH⊥DF

于点

H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四边形

AGFH

是矩形，∴FH=AG，∵△ABC

为等边三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴𝐴𝐺=𝐴𝐵2−𝐵𝐺2=

3，∴𝐹𝐻=

3，在正方形

ABED

中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，1∴𝐷𝐻=𝐴𝐷=

1，2∴𝐷𝐹=𝐷𝐻+𝐹𝐻=3

+1.故答案为：D【分析】过点

A

分别作

AG⊥BC

于点

G，AH⊥DF

于点

H，利用垂直的定义和矩形的性质可证得∠GFH=∠AHF=∠AGF，FH=AG，利用等边三角形的性质可证得∠BAC=60°，同时可求出

AB

的长；利用勾股定理求出

AG

的长，可得到

FH

的长；然后利用

30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出

DH

的长，根据DF=DH+FH，代入计算求出

DF

的长.4．一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1

=

28°，则∠2的度数为（A．28° B．56° C．36° D．62°【答案】D）【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；矩形的性质【解析】【解答】解：如图所示标注字母，∵四边形

EGHF

为矩形，∴EF∥GH，过点

C

作

CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=CAN，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故答案为：D.【分析】利用矩形的性质可证得

EF∥GH；过点

C

作

CA∥EF，过点

C

作

CA∥EF，利用同平行于一条直线的两直线平行，可证得

CA∥EF∥GH；再利用平行线的性质可推出∠2=∠MCA=90°-∠1，代入计算求出∠2

的度数.5．如图，定直线

MN

∥

PQ，点

B、C

分别为

MN、PQ上的动点，且

BC=12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°.点

A是

MN

上方一定点，点

D是

PQ

下方一定点，且

AE

∥BC

∥DF，AE=4，DF=8，AD=24

3，当线段

BC在平移过程中，AB+CD

的最小值为（ ）A．24

13 B．24

15 C．12

13 D．12

15【答案】C【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图所示，过点

F

作

FH∥CD

交

BC

于

H，连接

EH，∵𝐵𝐶∥𝐷𝐹，𝐹𝐻∥

𝐶𝐷，∴四边形

CDFH

是平行四边形，∴CH=DF=8，CD=FH，∴BH=4，∴BH=AE=4，又∵𝐴𝐸

∥

𝐵𝐶，∴四边形

ABHE

是平行四边形，∴AB=HE，∵𝐸𝐻+𝐹𝐻≥

𝐸𝐹，∴当

E、F、H

三点共线时，EH+HF

有最小值

EF

即

AB+CD

有最小值

EF，延长

AE交

PQ于

G，过点

E

作

ET⊥PQ于

T，过点

A

作

AL⊥PQ

于

L，过点

D

作

DK⊥PQ

于

K，∵M𝑁∥𝑃𝑄，𝐵𝐶∥

𝐴𝐸，∴四边形

BEGC

是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴𝐺𝑇=𝐺𝐸⋅cos∠𝐸𝐺𝑇=6，𝐸𝑇=𝐺𝐸⋅sin∠𝐸𝐺𝑇=6

3，同理可求得𝐺𝐿

=8，𝐴𝐿=

8

3，𝐾𝐹=4，𝐷𝐾=

4

3，∴𝑇𝐿=

2，∵AL⊥PQ，DK⊥PQ，∴𝐴𝐿∥

𝐷𝐾，∴△ALO∽△DKO，𝐷𝐾

𝐷𝑂∴

𝐴𝐿

=𝐴𝑂

=2，2∴𝐴𝑂=𝐴𝐷=

163，𝐷𝑂

=13 3𝐴𝐷=8

3，∴𝑂𝐿=𝐴𝑂2−𝐴𝐿2=24，𝑂𝐾=𝐷𝑂2−𝐷𝐾2=

12，∴𝑇𝐹=𝑇𝐿+𝑂𝐿+𝑂𝐾+𝐾𝐹=

42，∴𝐸𝐹=𝐸𝑇2+𝑇𝐹2=12

13.故答案为：C.【分析】过点

F

作

FH∥CD

交

BC

于

H，连接

EH，易得四边形

CDFH、ABHE

是平行四边形，根据平行四边形的性质得

CH=DF=8，CD=FH，AB=HE，故当

E、F、H

三点共线时，EH+HF

有最小值

EF

即

AB+CD有最小值

EF，延长

AE

交

PQ

于

G，过点

E

作

ET⊥PQ

于

T，过点

A

作

AL⊥PQ

于

L，过点

D

作

DK⊥PQ

于

K，则四边形

BEGC

是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，EG=BC=12，根据三角函数的概念可得

GT、ET，同理可得GL、AL、FK、DK，易证△ALO∽△DKO，根据相似三角形的性质可得

AO、DO，利用勾股定理可得

OL、OK，由

TF=TL+OL+OK+KF

可得

TF，然后利用勾股定理进行计算.6．如图，正方形

ABCD的对角线

AC，BD相交于点

O，点

F

是

CD

上一点，𝑂𝐸⊥𝑂𝐹交

BC

于点

E，连接AE，BF

交于点

P，连接

OP．则下列结论：①𝐴𝐸

⊥𝐵𝐹；②∠𝑂𝑃𝐴=45°；③𝐴𝑃−𝐵𝑃

=

2𝑂𝑃；④若𝐵𝐸：𝐶𝐸

=

2：3，则tan∠𝐶𝐴𝐸

=74

14；⑤四边形

OECF

的面积是正方形

ABCD

面积的

．其中正确的结论是（）A．①②④⑤【答案】BB．①②③⑤C．①②③④ D．①③④⑤【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合【解析】【解答】①∵四边形

ABCD

是正方形，O

是对角线

AC、BD

的交点，∴OC=OD，OC⊥OD，∠ODF=∠OCE=45°∵𝑂𝐸⊥

𝑂𝐹∴∠DOF+∠FOC=∠FOC+∠EOC=90°∴∠DOF=∠EOC在△DOF

与△COE

中∠𝑂𝐷𝐹=

∠𝑂𝐶𝐸𝑂𝐶=

𝑂𝐷∠𝐷𝑂𝐹=

∠𝐸𝑂𝐶∴

△𝐷𝑂𝐹≌△𝐶𝑂𝐸(𝐴𝑆𝐴)∴EC=FD𝐸𝐶=

𝐹𝐷∵在△EAC

与△FBD

中

∠𝐸𝐶𝐴=

∠𝐹𝐷𝐵=45°𝐴𝐶=

𝐵𝐷∴

△𝐸𝐴𝐶≌△𝐹𝐵𝐷(𝑆𝐴𝑆)∴∠EAC=∠FBD又∵∠BQP=∠AQO∴∠BPQ=∠AOQ=90°∴AE⊥BF所以①符合题意；②∵∠AOB=∠APB=90°∴点

P、O

在以

AB

为直径的圆上∴AO

是该圆的弦∴∠𝑂𝑃𝐴=∠𝑂𝐵𝐴=

45°所以②符合题意；③∵tan∠𝐵𝐴𝐸=𝐵𝐸

=

𝐵𝑃𝐴𝐵

𝐴𝑃𝐴𝐵

𝐴𝑃∴ =𝐵𝐸

𝐵𝑃∴𝐴𝐵−𝐵𝐸

=

𝐴𝑃−𝐵𝑃𝐵𝐸 𝐵𝑃∴𝐴𝑃−𝐵𝑃

=

𝐶𝐸𝐵𝑃

𝐵𝐸∴𝐴𝑃−𝐵𝑃=𝐶𝐸⋅

𝐵𝑃𝐵𝐸∵∠𝐸𝐴𝐶=∠𝑂𝐴𝑃，∠𝑂𝑃𝐴=∠𝐴𝐶𝐸=

45°∴

△𝐴𝑂𝑃∽△𝐴𝐸𝐶𝑂𝑃

𝐴𝑂∴ =𝐶𝐸 𝐴𝐸∴𝐶𝐸=𝑂𝑃⋅

𝐴𝐸𝐴𝑂∴𝐴𝑃−𝐵𝑃=𝑂𝑃⋅𝐴𝐸⋅

𝐵𝑃𝐴𝑂⋅

𝐵𝐸1

12 2∵𝐴𝐸⋅𝐵𝑃=𝐴𝐵⋅𝐵𝐸=

𝑆△𝐴𝐵𝐸∴𝐴𝐸⋅𝐵𝑃=𝐴𝐵⋅

𝐵𝐸∴𝐴𝑃−𝐵𝑃=𝑂𝑃⋅𝐴𝐵⋅𝐵𝐸

=𝐴𝐵𝑂𝑃=

2𝑂𝑃𝐴𝑂

⋅

𝐵𝐸

𝐴𝑂所以③符合题意；④作

EG⊥AC

于点

G，则

EG

∥

BO，∴𝐸𝐺

=𝐶𝐸

=

𝐶𝐺𝑂𝐵

𝐵𝐶

𝑂𝐶设正方形边长为

5a，则

BC=5a，OB=OC=5

2𝑎，2𝐶𝐸 3若𝐵𝐸：𝐶𝐸

=

2：3，则𝐵𝐸

=

2，∴𝐵𝐸

+

𝐶𝐸

=

2

+

3𝐶𝐸 3∴ =𝐶𝐸

3𝐵𝐶

5𝐵𝐶

52 2∴𝐸𝐺=𝐶𝐸

⋅𝑂𝐵=3

×52𝑎=3

2𝑎∵EG⊥AC，∠ACB=45°，∴∠GEC=45°∴CG=EG=3

2𝑎2𝐴𝐺 𝐴𝐶−𝐶𝐺∴tan∠𝐶𝐴𝐸=𝐸𝐺

=

𝐸𝐺 =3

22

𝑎252𝑎−32

𝑎=

37所以④不符合题意；⑤∵

△𝐷𝑂𝐹≌△𝐶𝑂𝐸(𝐴𝑆𝐴)，S

四边形

OECF=S△COE+S△COF∴S

四边形

OECF=S△DOF+S△COF=S△COD4∵S△COD=1𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷1∴S

四边形

OECF=

𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷4所以⑤符合题意；综上，①②③⑤符合题意，④不符合题意，故答案为：

B【分析】利用全等三角形的判定和性质、正方形的性质和相似三角形的判定和性质逐项判断即可。7．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，P

是边𝐴𝐷上的一个动点，连接𝐵𝑃，𝐶𝑃，过点

B

作射线，交线段𝐶𝑃的延长线于点E，交边𝐴𝐷于点

M，且使得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝑃，如果𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=5，𝐴𝑃=𝑥，𝑃M=𝑦，其中2<

𝑥⩽5．则下列结论中，正确的个数为（ ）4

35⑴y

与

x的关系式为𝑦

=𝑥−

；（2）当𝐴𝑃=

4时，

△𝐴𝐵𝑃∽△

𝐷𝑃𝐶；（3）当𝐴𝑃=

4时，tan∠𝐸𝐵𝑃=

．𝑥B．1

个A．0

个【答案】CC．2

个D．3

个【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形-动点问题【解析】【解答】解：（1）∵在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，∠𝐴=∠𝐷=90°，𝐵𝐶=𝐴𝐷=5，𝐴𝐵=𝐷𝐶=

2，∴∠𝐴𝑃𝐵=

∠𝐶𝐵𝑃，∵∠𝐴𝐵𝐸=

∠𝐶𝐵𝑃，∴∠𝐴𝐵𝐸=

∠𝐴𝑃𝐵，∴

△𝐴𝐵M∽△𝐴𝑃𝐵，𝐴𝐵

𝐴M∴ = ，𝐴𝑃 𝐴𝐵∵𝐴𝐵=2，𝐴𝑃=𝑥，𝑃M=

𝑦，2𝑥−𝑦2∴

= ，𝑥解得：𝑦

=

𝑥−4，𝑥故（1）符合题意；（2）当𝐴𝑃

=

4时，𝐷𝑃

=

𝐴𝐷−𝐴𝑃

=

5−4

=

1，∴𝐷𝐶

=𝐷𝑃

=

1，𝐴𝑃 𝐴𝐵 2又∵∠𝐴

=

∠𝐷

=

90°，∴

△𝐴𝐵𝑃∽△𝐷𝑃𝐶，故（2）符合题意；（3）过点

M

作M𝐹

⊥

𝐵𝑃垂足为

F，∴∠𝐴=∠M𝐹𝑃=∠M𝐹𝐵=

90°，4∵当𝐴𝑃

=

4时，此时𝑥

=

4，𝑦

=

𝑥−𝑥=

4−1

=

3，∴𝑃M=

3，在𝑅𝑡

△

𝐴𝑃𝐵中，由勾股定理得：𝐵𝑃2

=

𝐴𝑃2

+𝐴𝐵2，∴𝐵𝑃=𝐴𝑃2+𝐴𝐵2=42+22=2

5，∵∠𝐹𝑃M=

∠𝐴𝑃𝐵，∴

△𝐹𝑃M∽△𝐴𝑃𝐵，𝐴𝐵

𝐴𝑃

𝑃𝐵∴M𝐹

=𝑃𝐹

=

𝑃M，∴M𝐹

=𝑃𝐹

=

3，2 4 2

5∴M𝐹=35，𝑃𝐹=6

5，5 5∴𝐵𝐹=𝐵𝑃−𝑃𝐹=25−65

=4

5，5 53

54

55∴tan∠𝐸𝐵𝑃=M𝐹

=

5

=

3𝐵𝐹

4故（3）不符合题意；故答案为：C．【分析】利用矩形的性质、相似三角形的判定和性质逐项判断即可。8．如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷

中，一定正确的是（ ）A．𝐴𝐷=

𝐶𝐷 B．𝐴𝐶=

𝐵𝐷 C．𝐴𝐵=

𝐶𝐷【答案】CD．𝐶𝐷=

𝐵𝐶【知识点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD

是平行四边形∴AB=CD，AD=BC故答案为：C．【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可。9．如图，在矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=

3，将△𝐵𝐶𝐷沿𝐵𝐷折叠到

△𝐵𝐸𝐷位置，𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹，则𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐹的值为（ ）A．

8

B．

7

C．1517 15 17【答案】CD．

8

15【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：

∵

四边形

ABCD

是矩形，∴∠𝐴=90°，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶=3，𝐴𝐵=𝐶𝐷=

5，∴∠𝐵𝐷𝐶=

∠𝐷𝐵𝐹，由折叠的性质可得∠𝐵𝐷𝐶

=

∠𝐵𝐷𝐹，∴∠𝐵𝐷𝐹=

∠𝐷𝐵𝐹，∴𝐵𝐹=

𝐷𝐹，设𝐵𝐹

=

𝑥，则𝐷𝐹

=

𝑥，𝐴𝐹

=

5−𝑥，在𝑅𝑡

△

𝐴𝐷𝐹中，32

+

(5−𝑥)2

=

𝑥2，5∴𝑥=

17，

351517∴𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐷𝐹

=17

= ，故答案为：C.【分析】由矩形性质得∠A=90°，AB∥CD，AB=CD=5，AD=BC=3，易得∠BDC=∠DBF，根据折叠的性质可得∠BDC=∠BDF，进而可推出

BF=DF，设

BF=x，则

DF=x，AF=5-x，然后在

Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x，接下来根据三角函数的概念进行计算即可.10．如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵

<

𝐵𝐶，连接𝐴𝐶，分别以点𝐴，𝐶为圆心，大于12𝐴𝐶的长为半径画弧，两弧交于点M，𝑁，直线M𝑁分别交𝐴𝐷，𝐵𝐶于点𝐸，𝐹.下列结论：①四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是菱形；②∠𝐴𝐹𝐵=2∠𝐴𝐶𝐵；③𝐴𝐶⋅𝐸𝐹

=𝐶𝐹

⋅𝐶𝐷；④若𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐶，则𝐶𝐹

=2𝐵𝐹.其中正确结论的个数是（ ）A．4 B．3【答案】BC．2D．1【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定（AAS）；四边形的综合【解析】【解答】解：根据题意知，BF

垂直平分

AC，∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°，AE=CE，AF=CF，∵四边形

ABCD

是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO在△

𝐴𝑂𝐸和

△

𝐶𝑂𝐹中，∠𝐸𝐴𝑂=

∠𝐹𝐶𝑂∠𝐴𝑂𝐸=∠𝐶𝑂𝐹=

90°，𝐴𝑂=

𝐶𝑂∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE=CF，∴𝐴𝐸=𝐴𝐹=𝐶𝐹=

𝐶𝐸，即四边形

AECF

是菱形，故①结论正确；∵𝐴𝐹=

𝐹𝐶，∴∠𝐹𝐴𝑂=

∠𝐴𝐶𝐵，∵∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐹𝐴𝑂+

∠𝐴𝐶𝐵∴∠𝐴𝐹𝐵=

2∠𝐴𝐶𝐵，故②结论正确；∵𝑆四边形𝐴𝐸𝐶𝐹

=𝐶𝐹⋅𝐶𝐷

=1

⋅𝑂𝐸×2

=1

⋅

𝐸𝐹，𝐴𝐶 𝐴𝐶2 2故③结论不正确；3若

AF

平分∠BAC，则∠𝐵𝐴𝐹

=∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷=1

×90°=30°，∴𝐴𝐹=

2𝐵𝐹，∵𝐶𝐹=

𝐴𝐹，∴𝐶𝐹=

2𝐵𝐹，故④结论正确；故答案为：B.【分析】根据题意知：EF

垂直平分

AC，根据矩形以及平行线的性质可得

AO=CO，∠EAO=∠FCO，易证△AOE≌△COF，得到

OE=OF，推出

AE=AF=CF=CE，然后结合菱形的判定定理可判断①；根据外角的性质可得∠AFB=∠FAO+∠ACB，根据垂直平分线的性质可得

AF=FC，由等腰三角形的性质可得∠FAO=∠ACB，据此判断②；根据

S

四边形

AECF=CF·CD=1AC·OE×2=1AC·EF可判断③；根据角平分线的概念可得2 2∠BAF=∠FAC=∠CAD=30°，则

AF=2BF，然后结合

CF=AF可判断④.11．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A．B．C．D．【答案】D【知识点】平行四边形的判定【解析】【解答】解：平行四边形对角相等，故

A

不符合题意；一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故

B

不符合题意；三边相等不能判断四边形是平行四边形，故

C

不符合题意；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故

D

符合题意；故答案为：D．【分析】根据平行四边形的判定方法求解即可。12．中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用

4

个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”，若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为

1，α

为直角三角形中的一个锐角，则

tanα＝（ ）A．2B．32C．12D．

55【答案】A【知识点】锐角三角函数的定义；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】解：如图，设直角对角线的两条直角边为

a、b，且

a>b，∴小正方形的边长=a-b，2∴(𝑎―𝑏)2=

1，1ab=1，∴(𝑎―

𝑏)2=1ab，2∴2a2-5ab+2b2=0，∴(a-2b)(2a-b)=0，2𝑎

𝑎

1∴𝑏

=

2或𝑏

=

（舍去），𝑎∴tanα＝𝑏=

2.故答案为：A.【分析】设直角对角线的两条直角边为

a、b，且

a>b，根据小正方形面积与每个直角三角形面积均为

1，得出2(𝑎

―

𝑏)2=1ab，然后解方程得出𝑏𝑎

=

2，再根据正切的定义求解即可.13．在▱ABCD

中（如图），连接

AC，已知∠BAC=40°，∠ACB=80°，则∠BCD=（ ）A．80° B．100° C．120° D．140°【答案】C【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-80°=60°，∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠BCD=180°-∠B=180°-60°=120°.故答案为：C.【分析】根据三角形内角和定理求出∠B

的度数，由平行四边形的性质得出

AB∥CD，然后由平行线的性质求∠BCD

的度数即可.14．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板

ABCD

中，BD

为对角线，E，F

分别为BC，CD

的中点，𝐴𝑃⊥𝐸𝐹分别交

BD，EF

于

O，P

两点，M，N

分别为

BO，DC的中点，连接

AP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形，下列说法：①图中的三角形都是等腰直角1三角形；②四边形

MPEB

是菱形；③四边形

PFDM

的面积占正方形

ABCD

面积的

.正确的有（4D．②③）A．只有① B．①② C．①③【答案】C【知识点】四边形的综合【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△ABD、△BCD

是等腰直角三角形，∵𝐴𝑃⊥

𝐸𝐹，∴∠APF＝∠APE＝90°，∵E，F

分别为

BC，CD

的中点，1212∴EF

是△BCD

的中位线，CE＝

BC，CF＝

CD，∴

CE＝CF，∵∠C＝90°，∴△CEF

是等腰直角三角形，∴EF∥

BD，EF＝1BD，2∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，∴△ABO、△ADO

是等腰直角三角形，∴AO＝BO，AO＝DO，∴BO＝DO，∵M，N

分别为

BO，DO

的中点，∴OM＝BM＝1BO，ON＝ND＝1DO，2 2∴OM＝BM＝ON＝ND，∵∠BAO＝∠DAO＝45°，2∴由正方形是轴对称图形，则

A、P、C

三点共线，PE＝PF＝1EF＝ON＝BM＝OM，连接

PC，如图，∴NF

是△CDO

的中位线，1

12 2∴NF∥AC，NF＝OC＝

OD＝ON＝ND，∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，∴四边形

FNOP

是矩形，∴四边形

FNOP

是正方形，∴NF＝ON＝ND，∴△DNF

是等腰直角三角形，∴图中的三角形都是等腰直角三角形；故①正确，∵PE∥

BM，PE＝BM，∴四边形

MPEB

是平行四边形，1

12 2∵BE＝BC，BM＝

OB，在

Rt△OBC

中，BC＞OB，∴BE≠BM，∴四边形

MPEB

不是菱形；故②错误，∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，∴△MOP≌△CPF（SAS），∴𝑆四边形𝑃𝐹𝐷M

=

𝑆四边形𝑃𝐹𝐷𝑂+

𝑆△M𝑂𝑃=

𝑆四边形𝑃𝐹𝐷𝑂

+

𝑆△𝐶𝑃𝐹=

𝑆△𝐶𝑂𝐷=

1𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，4故③正确，故答案为：C【分析】利用正方形的性质可知∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，可推出△ABD和△BCD是等腰直角三角形；再证明

EF

是△BCD的中位线，同时可证得

CE=CF，可得到△CEF是等腰直角三角形，再利用

AP⊥EF，AD∥EF，去证明△ABO，△ADO，△DNF，△MOP

都是等腰直角三角形，可对①作出判断；利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形

MPEB

是平行四边形，由

BC＞BO，不能证明

BE=BM，由此可知不能证明四边形

MPEB

是菱形，可对②作出判断；利用

SAS

证明4△MOP≌△CPF，利用全等三角形的面积相等，去证明

四边形

PFDM的面积占正方形

ABCD面积的1

，可对③作出判断；综上所述可得到正确结论的序号.15．在下列条件中，能够判定▱𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形的是（A．𝐴𝐵=

𝐴𝐶 B．𝐴𝐶⊥𝐵𝐷【答案】D）C．𝐴𝐵=

𝐴𝐷D．𝐴𝐶=

𝐵𝐷【知识点】菱形的判定；矩形的判定【解析】【解答】解：当

AB=AC

时，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

A

不符合题意；当

AC⊥BD

时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，能说明平行四边形

ABCD

是菱形，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

B

不符合题意；当

AB=AD

时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能说明平行四边形

ABCD

是菱形，不能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

C

不符合题意；当

AC=BD

时，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能说明平行四边形

ABCD

是矩形，所以

D

符合题意.故答案为：D.【分析】对角线相等的平行四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，据此一一判断得出答案.二、填空题16．如图，在正方形

ABCD中，

𝐴𝐵=4

2

，对角线

𝐴𝐶，𝐵𝐷

相交于点

O.点

E

是对角线

AC上一点，连接BE，过点

E作

𝐸𝐹

⊥𝐵𝐸

，分别交

𝐶𝐷，𝐵𝐷

于点

F、G，连接

BF，交

AC

于点

H，将

△𝐸𝐹𝐻

沿

EF

翻折，点

H的对应点𝐻′

恰好落在

BD上，得到

△𝐸𝐹𝐻′

若点

F为

CD的中点，则

△𝐸𝐺𝐻′

的周长是

.【答案】5

+

5【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：过点

E

作

PQ∥AD

交

AB

于点

P，交

DC

于点

Q，∵AD∥PQ，∴AP=DQ，∠𝐵𝑃𝑄=∠𝐶𝑄𝐸

，∴BP=CQ，∵∠𝐴𝐶𝐷=45°

，∴BP=CQ=EQ，∵EF⊥BE，∴∠𝑃𝐸𝐵+∠𝐹𝐸𝑄=

90°∵∠𝑃𝐵𝐸+∠𝑃𝐸𝐵=

90°∴∠𝑃𝐵𝐸=∠𝐹𝐸𝑄，在△𝐵𝑃𝐸与

△𝐸𝑄𝐹中∠𝐵𝑃𝑄=

∠𝐹𝑄𝐸𝑃𝐵=

𝐸𝑄∠𝑃𝐵𝐸=

∠𝐹𝐸𝑄∴△𝐵𝑃𝐸≌△𝐸𝑄𝐹

，∴BE=EF，又∵𝐵𝐶

=

𝐴𝐵

=

4

2

，F

为中点，∴𝐶𝐹=22

，∴𝐵𝐹=𝐵𝐶2+𝐶𝐹2=210

，∴𝐵𝐸=𝐸𝐹=210

=25

，2又∵𝐵𝑂=

4

2

=

4

，2∴𝐸𝑂=𝐵𝐸2−𝐵𝑂2=2

，∴AE=AO-EO=4-2=2，∵AB//

FC，∴

△𝐴𝐵𝐻∽△𝐶𝐹𝐻，𝐴𝐵

𝐴𝐻∴ = ，𝐶𝐹 𝐶𝐻∴2

2𝐶𝐻 142

=𝐴𝐻

=2

，∵𝐴𝐶=2𝐴𝐵=8

，∴𝐴𝐻=2

×8=16

，3 3𝐶𝐻=1

×8=8

，3 310∴EH=AH-AE=

16

= ，3

−2 3∵∠𝐵𝐸𝑂+∠𝐹𝐸𝑂=90°

，∠𝐵𝐸𝑂+∠𝐸𝐵𝑂=90°

，∴∠𝐹𝐸𝑂=∠𝐸𝐵𝑂，又∵∠𝐸𝑂𝐵

=

∠𝐸𝑂𝐺

=

90°

，∴

△𝐸𝑂𝐵∽△𝐺𝑂𝐸𝐵𝐸

𝑂𝐸

𝑂𝐵∴𝐸𝐺

=𝑂𝐺

=𝑂𝐸

，𝐸𝐺𝑂𝐺

2

125=2=4=2

，∴EG= 5

，OG=1，过点

F

作

FM⊥AC

于点

M，𝐹𝐶∴FM=MC== 2=2

，∴MH=CH-MC=

8

=−232

，3作

FN⊥OD

于点

N，𝐷𝐹𝐹𝑁=2=2，

，在Rt△𝐹𝐻′𝑁与Rt△𝐹M𝐻

中𝐹𝐻′=

𝐹𝐻𝐹𝑁=

𝐹M∴Rt△𝐹𝐻′𝑁≌Rt△

𝐹𝐻M∴𝐻′𝑁=M𝐻=2

，3∴ON=2，NG=1，∴𝐺𝐻′=2

+1=5

，3 3310∴𝐶△𝐸𝐺𝐻′=𝐸𝐻′+𝐸𝐺+𝐺𝐻′=𝐸𝐻+𝐸𝐺+

𝐺𝐻

= +35+5

=5

+5故答案为：5

+

5.【分析】过点

E作

PQ∥AD

交

AB

于点

P，交

DC于点

Q，易得

AP=DQ，∠BPQ=∠CQE，则

BP=CQ，根据正方形的性质可得∠ACD=45°，则

BP=CQ=EQ，由同角的余角相等可得∠PBE=∠FEQ，证明△BPE≌△EQF，得到BE=EF，根据中点的概念可得

CF，利用勾股定理可得

BF，然后求出

BE、EF、EO、AE，证明△ABH∽△CFH，根据相似三角形的性质可得

AH、CH，然后求出

EH，由同角的余角相等可得∠FEO=∠EBO，证明△EOB∽△GOE，根据相似三角形的性质可得

EG、OG，过点

F

作

FM⊥AC

于点

M，作

FN⊥OD于点

N，易得

FM、MH′、FN的值，证明△FH′N

≌△FHM，得到

H′N=MH，进而求出

GH′，据此不难求出△EGH′的周长.17．如图，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点

E、F

分别在边𝐵𝐶、𝐶𝐷上，𝐴𝐸

=

𝐴𝐹，∠𝐸𝐴𝐹

=

30°，则∠𝐴𝐸𝐵=

°；若△𝐴𝐸𝐹的面积等于

1，则𝐴𝐵的值是

.【答案】60；

3【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；解直角三角形【解析】【解答】∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐵=∠𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷=𝐷𝐶=

𝐶𝐵∵𝐴𝐸=

𝐴𝐹∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸≅𝑅𝑡△

𝐴𝐷𝐹（HL）∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹，𝐵𝐸=

𝐷𝐹∵∠𝐸𝐴𝐹=30°，∠𝐵𝐴𝐸+∠𝐷𝐴𝐹+∠𝐸𝐴𝐹=

90°∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐸𝐴𝐹=

30°∴∠𝐴𝐸𝐵=

60°设𝐵𝐸=𝑥∴𝐴𝐵=3𝑥，𝐷𝐹=𝐵𝐸=𝑥，𝐶𝐸=𝐶𝐹=(

3−1)𝑥∴𝑆△𝐴𝐸𝐹

=

𝑆正方形△𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐹−𝑆△𝐶𝐸𝐹112 2=𝐴𝐵2− 𝐴𝐵⋅𝐵𝐸

×2− 𝐶𝐸⋅

𝐶𝐹=(3𝑥)2−3𝑥⋅𝑥−1

(3−1)𝑥⋅(

3−1)𝑥2=

𝑥2∵

△𝐴𝐸𝐹的面积等于

1∴𝑥2

=

1，解得𝑥

=

1，𝑥

=

−1（舍去）∴𝐴𝐵=3𝑥=

3故答案为：60；

3.【分析】利用正方形的性质可证得

AB=AD，∠B=∠D=90°，利用

HL

证明△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得∠BAE=∠DAF，BE=DF；结合已知条件可求出∠AEB

的度数，设

BE=x，利用解直角三角形表示AB，DF，CE

的长；根据𝑆△𝐴𝐸𝐹

=

𝑆正方形△𝐴𝐵𝐶𝐷−𝑆△𝐴𝐵𝐸−𝑆△𝐴𝐷𝐹−𝑆△𝐶𝐸𝐹，可表示出△AEF

的面积，由此可得到关于

x的方程，解方程求出

x的值，可得到

AB的长.18．如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐶𝐸//𝐵𝐷.若𝐴𝐶=10，则四边形𝑂𝐶𝐸𝐷的周长是

.【答案】20【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形

ABCD

是矩形，∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，2∴OC=OD=1BD=5，∵𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐶𝐸//𝐵𝐷.，∴四边形

CODE

是平行四边形，∵OC=OD

=5，∴四边形

CODE

是菱形，∴四边形

CODE

的周长为：4OC=4×5=20.故答案为

20.【分析】利用矩形的性质可证明

AC=BD=10，OA=OC，OB=OD，同时可求出

OC，OD

的长；再根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形

CODE

是平行四边形，利用有一组邻边相等的四边形是菱形，可证得四边形

CODE

是菱形，然后求出四边形

CODE

的周长.19．如图，折叠边长为

4cm

的正方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷，折痕是𝐷M，点𝐶落在点𝐸处，分别延长M𝐸、𝐷𝐸交𝐴𝐵于点𝐹、𝐺，若点M是𝐵𝐶边的中点，则𝐹𝐺

=

cm.【答案】53【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：连接𝐷𝐹，如图，∵四边形

ABCD

是正方形，∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=4，∠𝐴=∠𝐵=∠𝐶=∠𝐶𝐷𝐴=

90°.∵点

M

为

BC

的中点，1

12 2∴𝐵M=𝐶M=

𝐵𝐶= ×4=

2由折叠得，M𝐸

=𝐶M

=2，𝐷𝐸=𝐷𝐶=4，∠𝐷𝐸M=∠𝐶=90°，∴∠𝐷𝐸𝐹=90°，∠𝐹𝐸𝐺=90°，设𝐹𝐸

=

𝑥，则有𝐷𝐹2

=

𝐷𝐸2

+𝐸𝐹2∴𝐷𝐹2=42+

𝑥2又在𝑅𝑡𝛥𝐹M𝐵中，𝐹M

=

2

+

𝑥，𝐵M

=

2，∵𝐹M2=𝐹𝐵2

+𝐵M2∴𝐹𝐵=𝐹M2−𝐵M2=(2+

𝑥)2−22∴𝐴𝐹=𝐴𝐵−𝐹𝐵=4−(2+

𝑥)2−22在𝑅𝑡𝛥𝐷𝐴𝐹中，𝐷𝐴2

+𝐴𝐹2

=

𝐷𝐹2，∴42+(4−(2+𝑥)2−22)=42+

𝑥2，43解得，𝑥1

=

，𝑥2

=

−8（舍去）∴𝐹𝐸=

4，3∴𝐹M=𝐹𝐸+M𝐸=4

+2=

103 343∴𝐹𝐵=(2+)2−22

=83∵∠𝐷𝐸M=

90°∴∠𝐹𝐸𝐺=

90°∴∠𝐹𝐸𝐺=

∠𝐵，又∠𝐺𝐹𝐸

=

∠M𝐹𝐵.∴△𝐹𝐸𝐺∼

𝛥𝐹𝐵M𝐹𝐺

𝐹𝐸𝐹M 𝐹𝐵𝐹𝐺34∴ = ，即

10

=

383∴𝐹𝐺=

5，3故答案为：53【分析】连接

DF，利用正方形的性质，可证得∠A=∠B=∠C=∠CDA=90°，利用线段中点的定义可求出

BM，CM

的长；利用折叠的性质可得到

ME，DE

的长，同时可证得∠DEM=90°，设

FE=x，利用勾股定理建立关于x

的方程，可表示出

DF2，从而可表示出

FB的长，再表示出

AF的长；在

Rt△DAF

中，利用勾股定理可得到关于

x

的方程，解方程求出符合题意的

x

的值，可得到

FE，FM，FB

的长；然后证明△FEG∽△FBM，利用相似三角形的对应边成比例，可求出

FG

的长.20．如图，在四边形

ABCD中，AC⊥BD，垂足为

O，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，要使四边形

ABCD为菱形，应添加的条件是

．（只需写出一个条件即可）【答案】AB=CD

或

AD∥BC

或

OA=OC

或

OB=OD

等（只需写出一个条件即可）【知识点】菱形的判定【解析】【解答】解：可以添加的条件是：AB＝CD，理由如下：∵𝐴𝐵∥

𝐶𝐷，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形

ABCD

是菱形；也可以添加条件是：𝐴𝐷

∥

𝐵𝐶，利用如下：∵𝐴𝐵∥

𝐶𝐷，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形

ABCD

是菱形；也可以添加的条件是

OA=OC，利用如下：∵𝐴𝐵∥

𝐶𝐷，∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐷，∠𝑂𝐵𝐴=

∠𝑂𝐷𝐶，∴𝛥𝑂𝐴𝐵≌𝛥𝑂𝐶𝐷（AAS），∴AB=CD，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形

ABCD是菱形；也可以添加的条件是

OB=OD，利用如下：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∴∠𝑂𝐴𝐵=∠𝑂𝐶𝐷，∠𝑂𝐵𝐴=

∠𝑂𝐷𝐶，∴𝛥𝑂𝐴𝐵≌𝛥𝑂𝐶𝐷（AAS），∴AB=CD，∴四边形

ABCD

是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形

ABCD

是菱形．故答案为：AB=CD

或

AD∥BC或

OA=OC

或

OB=OD

等．（只需写出一个条件即可）【分析】根据菱形的判定方法求解即可。三、解答题21．如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝐸，𝐹在对角线𝐵𝐷上，且𝐵𝐸

=𝐷𝐹，𝑂𝐸=

𝑂𝐴.求证：四边形𝐴𝐸𝐶𝐹是正方形.【答案】证明：∵

四边形

ABCD

是菱形∴

OA=OC，OB=OD

且

AC⊥BD，又∵

BE=DF∴

OB-BE=OD-DF即

OE=OF∵OE=OA∴OA=OC=OE=OF，∴AC=EF又∵AC⊥EF∴

四边形

DEBF

是正方形.【知识点】菱形的性质；正方形的判定【解析】【分析】根据菱形的性质可得

OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，由已知条件知

BE=DF，结合线段的和差关系可得

OE=OF

，结合

OE=OA可得

OA=OC=OE=OF，即

AC=EF，然后根据正方形的判定定理进行证明.22．小惠自编一题：“如图，在四边形

ABCD

中，对角线

AC，BD

交于点

O，AC⊥BD，OB＝OD.求证：四边形

ABCD

是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：小洁：证明：∵AC⊥BD，OB＝OD，这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．∴AC垂直平分

BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四边形

ABCD是菱形．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【答案】解：赞成小洁的说法，补充的条件为

AB=CB（或

AD=DC），证明如下：∵

AC⊥BD，OB=OD，∴AC

垂直平分

BD，∴AB=

AD，CB=CD，∵AB=CB，∴AB=

AD=CB=CD，∴四边形

ABCD

为菱形.【知识点】菱形的判定【解析】【分析】因为小慧的证明方法中只是证明出四边形

ABCD

相对的邻边各自相等，无法证出四边形是菱形；因而赞成小洁的说法，补充条件为

AB=CB（或

AD=DC），在小惠的证明过程基础上，只需要证明出

AB=AD=CB=CD，即四边相等，即可得出四边形

ABCD

为菱形.四、综合题23．如图，在

▱𝐴𝐵𝐶𝐷

中，BD

是它的一条对角线，（1）求证：

△

𝐴𝐵𝐷≌

△

𝐶𝐷𝐵

；（2）尺规作图：作

BD

的垂直平分线

EF，分别交

AD，BC

于点

E，F（不写作法，保留作图痕迹）；（3）连接

BE，若

∠𝐷𝐵𝐸

=25°

，求

∠𝐴𝐸𝐵

的度数.【答案】（1）证明：

∵

四边形

ABCD

是平行四边形，∴𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐴𝐷=𝐵𝐶

，∵𝐵𝐷=𝐵𝐷

，∴△𝐴𝐵𝐷≌△

𝐶𝐷𝐵(𝑆𝑆𝑆)（2）解：如图，EF

即为所求；（3）解：

∵

BD

的垂直平分线为

EF，∴𝐵𝐸=𝐷𝐸

，∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐷𝐸，∵∠𝐷𝐵𝐸=25°，∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐵𝐷𝐸=25°

，∴∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐵𝐷𝐸+∠𝐷𝐵𝐸=

50°【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-线段垂直平分线【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得

AB=CD，AD=BC，然后根据全等三角形的判定定理

SSS

进行证明；（2）分别以点

D、B

为圆心，大于

BD

一半的长度为半径画弧，两弧在

BD

的两侧分别相交，过两交点作直线交

AD

于点

E，交

BC

于点

F，该线就是线段

BD

的垂直平分线；（3）根据垂直平分线的性质可得

BE=DE，由等腰三角形的性质可得∠DBE=∠BDE=25°，由外角的性质可得∠AEB=∠BDE+∠DBE，据此计算.24．如图，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线

AC，BD相交于点

O，𝐴𝐵=𝐴𝐷.（1）求证：𝐴𝐶

⊥

𝐵𝐷；2，（2）若点

E，F

分别为

AD，AO

的中点，连接

EF，𝐸𝐹=

3

𝐴𝑂

=

2，求

BD

的长及四边形

ABCD

的周长.【答案】（1）证明：

∵

四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边，𝐴𝐵

=

𝐴𝐷，∴

四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴𝐴𝐶⊥

𝐵𝐷（2）解：

∵

点

E，F

分别为

AD，AO

的中点，∴

𝐸𝐹是△

𝐴𝑂𝐷的中位线，12∴𝐸𝐹=

𝑂𝐷，3∵𝐸𝐹=

，2∴𝑂𝐷=

3，∵

四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，∴𝐵𝐷=2𝑂𝐷=

6，∵𝐴𝐶⊥

𝐵𝐷，在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐷中，𝐴𝑂=2，𝑂𝐷=3，∴𝐴𝐷=𝐴𝑂2+𝑂𝐷2=22+32=

13，∴

菱形形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为4

13.【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形

ABCD

为菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直可得结论；（2）易得

EF

为△AOD

的中位线，则

EF=1OD，结合

EF

的值可得

OD

的值，根据菱形的性质可得

BD，利用2勾股定理求出

AD，据此不难求出菱形

ABCD

的周长.25．如图，点𝐸，𝐹分别在▱𝐴𝐵𝐶𝐷的边𝐴𝐵，𝐵𝐶上，𝐴𝐸=𝐶𝐹，连接𝐷𝐸，𝐷𝐹.请从以下三个条件：①∠1=∠2；②𝐷𝐸

=

𝐷𝐹；③∠3

=

∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形.（1）你添加的条件是

（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形.【答案】（1）①（2）证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，∴∠𝐴=

∠𝐶，在△

𝐴𝐷𝐸和

△

𝐶𝐷𝐹中，∠1=

∠2∠𝐴=

∠𝐶，𝐴𝐸=

𝐶𝐹∴

△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝐴𝐴𝑆)，∴𝐴𝐷=

𝐶𝐷，∴▱𝐴𝐵𝐶𝐷为菱形.【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定（AAS）【解析】【解答】解：（1）添加的条件是∠1

=

∠2.故答案为：①；【分析】（1）根据菱形的判定定理进行解答；（2）根据平行四边形的性质可得∠A=∠C，利用

AAS

证明△ADE≌△CDF，得到

AD=CD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形进行证明.26．如图

1，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐴𝐷=

8，点

P

在边𝐵𝐶上，且不与点

B、C重合，直线𝐴𝑃与𝐷𝐶的延长线交于点

E.