高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练含答案解析

2020年高考理科数学《直线与圆》题型概括与训练【题型概括】题型向来线方程、两直线的地点关系例1已知两直线h：mx8yn0和l2:2xmy10?试确立m、n的值，使:(1儿与J订交于点Pm,1；li//J;(3)11丄12，且l1在y轴上的截距为一1.【答(1)m1,n7.案】(m4,n2或:时m4,n2时，I1//l22)(3)m0n8,n0【解(1)2”m8口析】由题意得，解得m1,n72n10⑵m0时，m:然1不行于l2；当显|.平mm820m4亠m4当m0时，由m8ne2m，得8(1)n0n2或1n2即m4,n2时或m4,n2时，hm//(3)当且仅当2m8m0,即m0时，l1丄l2l2.n1,?n8..又8即m0,n8时，11丄12，且11在y轴上的截距为一1.【易错点】忽视对m0的状况的议论【思想点拨】碰到直线类题型，第一要注意特别状况如斜率不存在时或k0时，而且对于直线平行和垂直时与A1A2和B,B2间的关系要娴熟记忆。例2如图，设向来线过点(—1,1)，它被两平行直线直1仁x+2y—1=0,I:x+2y—3=0所截的线段的中点在2线13:x—y—1=0上，求其方程.1【答案】2x7y50.【分析】与|1、J平行且距离相等的直线方程为设x2y20.所求直线方程为x2y2x0.又直线过112120.解A1,1—.???所求直线方程为2x7y50.32【易错点】求错与11、|2平行且距离相等的直线方程【思想点拨】此题的重点在于求到|1、J平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，进而求解此题题型二圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用）例1已知实数x、y知足方程Xy24x10.（i）求y的最大值和最小值；x⑵求yx的最大值和最小值.【答案】（1）y的最大值为.3，最小值为...3.x（2）yx的最大值为2,6，最小值为2-、6.y23，表示以点2,0为圆心，以■3为半径的圆.设1k，即ykx,xk取最大值和最小值，此时貲0J3，解得kJ3.故丿的最大值【分析】（1）原方程化为x2当Jk21x【易错点】理解错给定要求结果的含义直线ykx与圆相切时，斜率为,3，【思想点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。最小值为、-3.⑵设yxb，yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b获得最大值和最小值，此时即x32.6.故yx的最大值为2,6，最小值为2.6.Q为圆x2y216上一动点，当点Q在圆上运动时，PQ的中点M的轨迹方程例2已知点P10,0,x,y为所求轨迹上随意一点,【分析】设点MQx0,y010x2x°2x-10,即oy°由于M为PQ的中点，所以2y2y.【答案】x52y24.又由于点Q在圆x2y216上,22所以2x102y16,322故所求的轨迹方程为X5y4【易错点】中点的错误应用【思想点拨】求出中点横纵坐标的方程及求出所求的直线题型三直线与圆、圆与圆的地点关系例1在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点，AP,AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ长的取值范围是【答案】PQ.晳22.【分析】设/PCA=e，所以PQ=^2sin0.2又cos0=—,AC?[3,+)，所以cos0?0,—,8AC3所以cos20?270,曲宀宀9，，所以sin0?“1，所以PQ?召」4,2,2.33【易错点】直接去求线段的长度【思想点拨】转变思想，把要求的线段长度转变为角度的关系，进而解决问题例2已知圆C:x2(2)从圆C外一点y22x4y30.⑴若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程;得最小值时点P的坐标.y10，或【x答y-案3】(1)0x.【分析】⑴将圆C配方得x12(y2)22.ykx,当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为P(Xi,yi)向该圆引一条切线，切点为M,0为坐标原点，且有PMPO,求使得PM取由k+2l=2，解得k26，得y(2、环.当直线在两坐标轴上的截距不为零时,4-1+2-at—设直线方程为xya0，由一产一！J2，得a1,a3.42???直线方程为xy10，或xy-30.2222⑵由POPM，得Xiyi(Xi1)(yi2)2,即点P在直线l:2x4y30上.当PM取最小值时，即OP获得最小值，直线OPl,?直线OP的方程为2xy0.得点P的坐标为-?,3.105【易错点】没有分类议论【思想点拨】考察用点斜式、斜截式求直线的方法，利用分类议论思想来解决问题题型四定点定值轨迹问题例1已知t?R，圆C:x2+y2-2tx-2t2y+4t-4=0.若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，求圆C的方程.圆C能否过定点？假如过定点，求出定点的坐标；假如可是定点，请说明原因【答案】(1)圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x2+y2-4x-8y+4=0.(2)过定点，定点坐标为2,0【分析】⑴由原方程配方得(x-t)2+(y-t2)2=t4+t2-4t+4，其圆心为C(t,t2).依题意知t-t2+2=0，所以t=-1或2.即圆C的方程为x2+y2+2x-2y-8=0或x+y2-4x-8y+4=0.(2)整理圆C的方程为(x2+y2-4)+(-2x+4)t+(-2y)t2=0,22xy-40x2,,y0,令-2x40,-2y00).所以圆C过定点(2,【易错点】漏解【思想点拨】判断圆能否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，能够在方程形式上转变为对于某个参量5的方程，联合恒等式的关系，再结构对于x,y的方程组求该点的坐标?若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆可是定点?6例2如图，已知圆C：x2+(y-3)2=4,—动直线I过点A(-1,0)与圆C订交于P,Q两点，M是PQ的中点，I与直线m：x+3y+6=0订交于点N.(1)求证：当I与m垂直时，I必过圆心C.⑶探究AMUUU【答(1)看法析案】⑵当PQ=2、、3时，求直线I的方程.UUUUU若相关，请说明原因(3)UUUUUUUUAN与直线I的倾斜角没关，且AM'AN=-5.AM(2)x=-1或4x-3y+4=0.【分析】⑴由于I与m垂直，且k1=3，所以当I与m垂直时，I的方程为y=3(x+1),I必过=-，所以k=3.又kACml3圆心C.⑵①当直线I与x轴垂直时，易知x=-1，切合题意②当直线I与x轴不垂直时，设直线I的方程为y=k(x+1)，即kx-y+k=0.由于PQ=2j3，所以CM=J4$=1,则由CM=-^-=1，得k」,Jk13所以直线1:4x-3y+4=0,进而所求的直线I的方程为x=-1或4x-3y+4=0.由于CM丄MN，所以uuruurAM'AN=(AC

uuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuu+CM)AN=AC'AN+CM'AN=AC'AN?①当I与x轴垂直时，易得N1,-375uuu则AN=0,3?又AC=(1，3)，所以AM-AN=AC-AN=-5；②当I的斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x+1),则由yk(x1),-3k-6-5k彳得N,uuu-5-5k则AN=13k13k综上,uuuuuuuuuuuuuuuAN与直线I的倾斜角没关，且AM?AN=-5.x3y60,AM13k13kuuuuuuuuuuu-5+-15k所以AM?AN:AC?A=-513k13k【易错点】忽视对斜率不存在状况的议论【思想点拨】一般地，波及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必需全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种状况【稳固训练】题型向来线方程、两直线的地点关系1?已知直线11：ax+2y+6=0和直线b：x+(a—1)y+a2-1=0.试判断l1与l2能否平行；11丄12时，求a的值.【答案】(1)当a=—1时，h//12,不然11与l2不平行(2)a=I【分析】(1)由A1B2—A2B1=0，得a(a—1)—1X2=0，由A1C2—A2C1MQ得a(a2—1)—1X6^,0a(a1)120???11//12?2,a(a21)160a1故当a=—1时，丨1//12,不然|1与|2不平行.28(2)由A1A2+B1B2=0得a+2(a—1)=0?a=3.2?已知A(4,—3),B(2,—1)和直线1:4x+3y—2=0,在座标平面内求一点P,使PA=PB,且点P到直线I的距离为2.9【答案】P的坐标为1,4或

278【分析】设点P的坐标为(a,b),：A(4,-3),B(2,-1),???线段AB的中点M的坐标为(3,-2),???线段AB的垂直均分线方程为y+2=x-3,即卩x-y-5=0.???点P(a,b)在上述直线上，?a—b-5=0?①|4a+3b-2|又P(a,b)到直线1:4x+3y-2=0的距离为2,5=2,即卩4a+3b-2=±10②27彳a=V278a=17联立①②可得或??所求点P的坐标为1,4或，7b=-4.87b=--3?如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2,0)射出的光芒经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光芒所经过的行程是【答案】CD=2.10程PMN的长为CD=2、和.【分析】由题意知点P对于直线AB的对称点为D(4,2)，对于y轴的对称点为C(-2,0),则光芒所经过的路题型二圆的方程(对称问题、圆的几何性质运用)1?依据以下条件，求圆的方程：(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点，而且在x轴上截得的弦长等于6;⑵圆心在直线y=—4x上，且与直线I:x+y-1=0相切于点P(3,-2).【答案】(1)x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0(2)(x-1)2+(y+4)2=810【分析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,2D-4E-F=20,①将P、Q点的坐标分别代入得3D-E+F=-10.②112y0,1-y解0得,

又令y=0,得x2+Dx+F=0?③D=—2,E=—4,F=—8,或D=—6,E=—8,设xi,X2是方程③x2+y2—2x—4y—8=0，或x2+y2—6x—8y=0.的两根，由Xi一4x0—2(xo,—4x0)，依题意得~=1,X2|=6有D2—4F=⑵如图，设圆心36,④由①、②、④解得故所求圆的方程为???X0=1,即圆心坐标为(1,—4),半径r=22,故圆的方程为(x—1)2+(y+4尸=8.2?在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)=x2+2x+b(x?R)与两坐标轴有三个交点.记过三个交点的圆为圆C.(1)求圆C的方程;(2)圆C能否经过定点(与b的取值没关)?证明你的结论.【答案】(1)x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.(2)圆C必过定点(0,1),(-2,1)【分析】⑴设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2,F=b；令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一个根为b,代入得E=-b-1,所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0.证明以下：原方程转变为2x-y-2(/+y2+2x-y)+b(1-y)=0,即,⑵圆C必过定点(0,1),(-2,1).1.3.点P(4,—2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是【答案】(x—2)2+(y+1)2=1【分析】设圆上任一点坐标为(X0,y0),x0+y0=4,连线中点坐标为(x,y),2x=x°+4X0=2x—4贝V?y=2y+2，代入x2+诡=4中得(x—2)2+(y+1)2=1.2y=y—20°题型三直线与圆、圆与圆的地点关系1.若过点P(1,1)的直线将圆形地区｛(x,y)|x2+y2w4分为两部分，且使得这两部分的面积之差最大，则该直12线的方程为_____________.【答案】x+y-2=0【分析】当圆心与点P的连线和过点P的直线垂直时，切合条件.圆心O与点P连线的斜率k=1,所以所求直线的斜率为-1,故所求直线方程为x+y-2=0.13k0.【答案】【解析】2?直线

ykx3与圆(x3)2(y3)24订交于M,N两点，若MN2.3，贝Uk的取值范围是AC.MC2-MA2431.???当MN2?.3时，圆心C到直线ykx3的距离d1.k0.设圆心为C,弦MN的中点为A，当MN2.3时,3.若圆O：x2+y2=5与圆Oi：(x-m)2+y2=20(m?R)订交于A,B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长是________.【答案】AB41AB12OAAO12、、525=4.【分析】依题意得OO1=；520=5,且^OO1A是直角三角形，SVOO/二一?一OO1=—OAAO1,所以AB=222OO1题型四定点定值轨迹问题1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:(x+1)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.设动圆C同时均分圆C1、圆C2的周长.求证：动圆圆心C在一条定直线上运动14(2)动圆C能否经过定点?若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明原因【答案】(1)动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动15(2)动圆C过定点，定点的坐标为1-祭2-^1和1+三2+^12222【分析】⑴设圆心C(x,y),由题意，得CCi=CC2,即,(x1)2y2’(x-3)2(y-4)2，化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.圆C过定点.设C(m，3-m)，则动圆C的半径为1CCi2=.1(m1)2(3-m)2.于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理，得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0，联立方程组0,x-y10，2y-6y-2x解得32或2-3Jy23J93\/23/23/2所以动圆C过定点，定点的坐标为1-——,2-——和1+--------2+-------2222已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4，直线|1过定点A(1,0).(1)若I1与圆相切，求直线11的方程?⑵若|1与圆订交于P,Q两点，线段PQ的中点为M，又|1与|2：x+2y+2=0的交点为N，判断AMAN能否为定值？假如，则求出定值；若不是，请说明原因【答案】(1)x=1或3x-4y-3=0.(2)AM-AN是定值且为6.【分析】⑴①若直线11的斜率不存在，即直线为x=1,切合题意.②若直线h斜率存在，设直线丨1的方程为y=k(x-1)，即kx-y-k=0.16|3k-4-k|3由题意知，圆心(3,4)到已知直线h的距离等于半径2,即2=2,解得k=,Vk214217所以所求直线方程为x=1或3x-4y-3=0.x2y2k-23kkx-y-k0,2k1r2k1（2）方法一：直线与圆订交，斜率必然存在，且不为0，可设直线方程为kx-y-k=0.又由于直线CM与li垂直,ykx-k，由1得Mk24k34k22ky-4-(x-3)，1k2'1k2k4k21k22k-2-13k=2|2k1^/1k2O"1k2k122k11k方法二：直线与圆订交，斜率必然存在2，且不为所以AMAN=0y0,得“貉「产1

22k=6为定值?故AMAN是定值且为6.|2k1|0，可设直线方程为kx-y-k=0.ykx-k,再由22(x-3)(y-4)4,得(1+k2)x2-(2k2+8k+6)x+k2+8k+21=0,8k6k24k34k22k所以X1