精选浙江数学竞赛(微积分)试题

浙江数学竞赛(微积分)试题浙江省首届高等数学〔微积分〕竞赛试题(2023.12.7)一、计算题〔每题5分，共30分〕1.求极限.2.求积分.3.设是方程的一个解，求常数.4.设连续，且当时，，求.5.设，求.6.求积分.二、〔总分值15分〕求平面含在椭圆柱体内的面积.三、〔总分值20分〕证明：.四、〔总分值20分〕设二元函数有一阶连续的偏导数，且.证明：单位圆周上至少存在两点满足方程.五、〔总分值15分〕〔非数学类做〕设为满足的两个实数列，，且收敛.证明：也收敛.六、〔总分值15分〕〔数学类做〕设，，，，求的收敛半径、收敛域及和函数.2023年浙江省大学生高等数学〔微积分〕竞赛试题〔工科类〕一、计算题〔每题15分，总分值60分〕1、求。2、设，求。3、求。4、求。二、〔总分值20分〕求满足以下性质的曲线：设为曲线上任一点，那么由曲线，，所围成区域的面积与曲线，和所围成区域的面积相等。三、〔总分值20分〕求，其中：的上半平面内局部，从点到。四、〔总分值20分〕证明：五、〔总分值15分〕设在上连续，在内可导，且，。证明：存在内两个数，使。六、〔总分值15分〕从正方形四个顶点，，，开始构造，，…，使得为的中点，为的中点，为的中点，为的中点，…，这样，我们得到点列收敛于正方形内一点，试求的从标。2023年浙江省大学生高等数学〔微积分〕竞赛试题一、计算题〔每题12分，总分值60分〕1、求极限。2、计算不定积分。3、设，求。4、设二阶可导，有二阶连续偏导数，，求。5、设为连续函数，，求。二、〔总分值20分〕极限，求常数的值。三、〔总分值20分〕设为由抛物面与平面围成的立体，其边界的平面局部为，曲面局部为，为上的一个点。〔1〕求以为顶点，为底面的锥体体积；〔2〕求，使到达最大值。四、〔总分值20分〕设导函数连续，，曲面为被所截的下面局部，内侧，为的正向边界，求：。五、〔总分值15分〕设，其中，〔1〕证明：在内有唯一的零点；〔2〕问为何值时，级数收敛？发散？六、〔总分值15分〕设在上可导，且，，证明：。2023年浙江省大学生高等数学〔微积分〕竞赛试题〔工科类〕一、计算题〔每题14分，总分值70分〕1、求极限。2、计算。3、设为锐角三角形，求的最大值和最小值。4、分段光滑的简单闭曲线〔约当曲线〕落在平面：上，设在上围成的面积为，求。5、设连续，满足，求的值。二、〔总分值20分〕定义数列如下：，，，求。三、〔总分值20分〕设有圆盘随着时间的变化，圆盘中心沿曲线：，，〔〕向空间移动，且圆盘面的法向与的切向一致。假设圆盘半径随时间改变，有，求在时间内圆盘所扫过的空间体积。四、〔总分值20分〕证明：当，。五、〔总分值20分〕证明：，。2023年浙江省大学生高等数学〔微积分〕竞赛试题〔工科类〕一、计算题〔每题14分，总分值70分〕1、求极限。2、求。3、计算，其中表示不大于的最大整数。4、计算。5、设球面上曲线在平面上的投影曲线为：，且的密度与该点到轴的距离成正比，比例常数为，求的质量。二、〔总分值20分〕设，求方程组的解。三、〔总分值20分〕有三块相同的密度均匀的正方形砖块〔边长为16cm，厚度为1cm〕，两侧对齐叠放于一台面上〔如图〕，从一侧伸出台面，问如何叠放在确保所有砖块不落下的前提下使砖块伸出台面总长度最大？并求此最大值。四、〔总