人教A版高中数学选修2-2教案

高中数学教案选修全套

【选修2-2教案|全套】

目录

目录......................................................................................I

第一章导数及其应用..........................................................................1

变化率问题..........................................................................1

导数与导函数的概念.......................................................................4

§1.1.2导数的概念.........................................................................6

§1.1.3导数的几何意义....................................................................9

§1.2.1几个常用函数的导数...............................................................13

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则...........................................16

§1.2.2复合函数的求导法则...............................................................20

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）.....................................................23

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）.......................................................28

§1.3.3函数的最大（小）值与导数（2课时）...............................................32

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）.....................................................35

§1.5.3定积分的概念.....................................................................39

第二章推理与证明...........................................................................43

合情推理.................................................................................43

类比推理.................................................................................46

演绎推理.................................................................................49

推理案例赏识............................................................................51

直接证明一综合法与分析法.................................................................53

间接证明一反证法.........................................................................55

数学归纳法...............................................................................57

第3章数系的扩充与复数的引入...............................................................68

§3.1数系的扩充和复数的概念............................................................68

§3.1.1数系的扩充和复数的概念...........................................................68

§3.1.2复数的几何意义...................................................................71

§3.2复数代数形式的四则运算..............................................................74

§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义.................................................74

§3.2.2复数代数形式的乘除运算...........................................................78

第一章导数及其应用

§1.1.1变化率问题

教学目标：

1.理解平均变化率的概念：

2.了解平均变化率的几何意义；

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

一.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积

分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一•个变量变化的快慢程度.

新课讲授

(-)问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现,随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越

慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

■气球的体积■(单位2)与半径r(单位:而0之间的函数关系是P&)=上

如果将半径r表示为体积V的函数，那么«勺=

分析：藐'

(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(dm)

气球的平均膨胀率为=0.62(dm/L)

⑵当V从1增加到2时，气球半径增加了厂(2)-厂(1)=0.16(加)

气球的平均膨胀率为"-；。)«0.16(dm/L)

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?

")一厂出)

匕一匕

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问题2高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度6（单位：，切与起跳后的时间/（单位：s）存在函数关系

//（/）=-4.9/2+6.5/+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态？

思考计算：04/40.5和14/42的平均速度1

在0</W0.5这段时间里，v="。5）-"（0）=4。5（机/5）.

0.5—0

在1W/W2这段时间里，｝=，V=_8.2（m/s）

探究：计算运动员在0W/W笑这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数〃⑺=-4.9/+6.5/+10的图像，结合图形可知，"（竺）=6（0）,

_〃（右）一〃（°）

所以u=------=0（5/加）,

65八

虽然运动员在0W/W）这段时间里的平均速度为0（s/m），但实际情况是运动员仍然运动，并非静止,

可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

（二）平均变化率概念：

1.上述问题中的变化率可用式子〃二表示,称为函数人x）从用到必的平均变化率

x2-X|

2.若设Ax=/一项，A/=,/（x2）一/区）（这里Ar看作是对于处的一个“增量”可用x,+Ax代替也同样

Af=Ay=/（x2）-/（X1））

3.则平均变化率为电N'=/82)-/G1)=/(匹+Ax)—/(X[)

Ar

x2-X,

思考：观察函数人X）的图象

平均变化率V=〃士）二/四）表示什么?

Axx2-Xj

y=Ax)

△j=f(x2)-f(xi)

直线4B的斜率

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oXix

三.典例分析

例1.已知函数於)=—，+x的图象上的一点力(_1,一2)及临近一点B(—1+AX,—2+AF),则

包=

Ar,

解：-2+=-(-1+Ax)24-(-1+AY)，

.Ay-(-1-l-Ax)2+(-14-Ax)-2

»•——--------------------------=3-Ar

AxAx

例2.求歹=/在x=xo附近的平均变化率。

22

22Ay=(x0+Ax)-x0

解：Ay=(x0+AY)-x0,所以

ArAr

222

_x0+2x0Ar+Ax—x0

=2x0+Av

Ax

所以歹=/在x=x()附近的平均变化率为2xo+Ax

四.课堂练习

1.质点运动规律为5=产+3,则在时间(3,3+ZV)中相应的平均速度为.

2.物体按照s⑺=3，+什4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.25+34

3.过曲线产心)=1上两点P(1,1)和。(1+Ax,l+Ay)作曲线的割线，求出当△尸0.1时割线的斜率.

五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率

六.布置作业

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导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；

理解导数的几何意义；

理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景，培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问题的

能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：

1、导数的求解方法和过程；2、导数符号的灵活运用

教学难点：

1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用

教学过程：

一、情境引入

在前面我们解决的问题：

1、求函数/(x)=，在点(2,4)处的切线斜率。

电=/(2+Ax)-/(x)=4+Ar,故斜率为4

AxAx

2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是修="一1,求/=%时的瞬时速度。

故斜率为4

二、知识点讲解

上述两个函数/(x)和/(/)中，当&(△/)无限趋近于0时，一(——)都无限趋近于一个常数。

A/Ax

归纳：一般的，定义在区间(。，6)上的函数/(x),xoe(a,b),当Ax无限趋近于0时,

包=+**)—"X")无限趋近于一个固定的常数A,则称/(x)在x=x。处可导，并称A为/(x)在

ArAx

x=x“处的导数，记作/'(xo)或/'(x)|,乜，

上述两个问题中：(1)/'(2)=4,(2)V\to)=2to

三、几何意义：

我们上述过程可以看出

/(x)在x=/处的导数就是/(x)在》=X。处的切线斜率。

四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

(1)/'(X)=x2+1,x=2(2)/(%)=2x-1,x=2

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(3)/(x)=3,x—2

例2、函数/(x)满足/'(1)=2,则当x无限趋近于0时，

\1/—_____________________

2x

/(l+2x)-/(l)_

\L)—________________________

X

变式:设f(x)在x=x0处可导，

(3)"飞-十W)―/(%)无限趋近于1,则/'(须))=___________

Ax

(4),(士「4AC二/羯)无限趋近于1,则/'(Xo)=_______________

Ax

(5)当无限趋近于0,/(演-+28)一/(々12AX)所对应的常数与/go)的关系。

Ax

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若/(x)=(x—1)2,求尸(2)和(/(2))'

注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数/(x)=&,求/(x)在x=2处的切线。

导函数的概念涉及：/(x)的对于区间)上任意点处都可导，则/(x)在各点的导数也随x的变化而

变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为/(x)的导函数，记作/'(X)。

五、小结与作业

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§1.1.2导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学过程：

创设情景

(-)平均变化率

(二)探究：计算运动员在OW/W丝这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数〃⑺=-4.9』+6.5什10的图像，结合图形可知，〃(£)=。(0),

_碟)一%(0)

所以v=-------=0(5/m),

65八

虽然运动员在0</<—这段时间里的平均速度为0(5/w),但实际情况是运

动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状

态.

新课讲授

1.瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速

度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，/=2时的瞬时速度是多少？考察/=2附近的情况：

时,在［2+4,2］这段时间内△£>0时，在［2,2+&］这段时间内

-h(2)-h(2+M)4,9A?+13.1AZ-奴2+4)-奴2)-4.9AZ2-13.1AZ

2—(2+4)—Az(24-A/)-2Az

=-4.94-13.1=-4.9A/-13.1

当Az=-0.01时,AZ=-13.051,当人=0.01时，AZ=-13.051s,

当位=-0.001时，AZ=-13.0951；.当4=0.001时，AZ=-13.0951；•

当4=-0,001时，AZ=-13.09951；1当AZ=0.001时,4=-13.09951一

当A=-0,0001时，AZ=-13.099951；<当△£=0.0001时，AZ=-13.099951；.

当&=-0.00001时,4=73.099951一当4=0.00001时，Az=-13.099951；1

...「...

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思考：当△/趋近于0时，平均速度;有什么样的变化趋势?

结论：当△/趋近于0时.，即无论/从小于2的•边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度3都

趋近于一个确定的值-13.1.

从物理的角度看，时间|加|间隔无限变小时，平均速度［就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在

7=2时的瞬时速度是-13.1/M/S

为了表述方便，我们用lim"2+4)-"2)=一13.1

表示“当，=2,加趋近于0时，平均速度＞趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬

时速度的精确值。

2导数的概念

从函数产/(X)在X=XQ处的瞬时变化率是：

/(xAr)-/(x)

limo+o=1.mV

AXAX

我们称它为函数_y=/(x)在x=x0出的导数，记作/(X。)或y即

f(Xo+Ax)-/(%)

/'(%)=lim

Ar—OAx

说明：(1)导数即为函数HX)在EO处的瞬时变化率

/⑴―/(%)

(2)Ar=x—x0,当Ax—>0时，x—所以/"(%)=1而

—x-x°

三.典例分析

例1.(1)求函数产3,在产1处的导数.

分析：先求△户Ay51+△x)-f(1)=6△%+(△%)2

再求竺=6+At再求lim丝=6

AxAsoAX

解：法一(略)

2222

法二：/I.,=l3iX-m31-~3(~Y-^I)=lim3(x+l)=6

x-'Ix-1ix-1-

(2)求函数/(x)=-x2+x在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解："=.(-3+(-1+词一2=3…

AxAY

,Av—(―1+Ax)2+(—1+Ax)—2nA、々

/(-1)=lim—=-------------------——=lim(3-AY)=3

As0AxAxAs0

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例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第

x〃时，原油的温度(单位：。C)为/(》)=/一7%+15(0«》48),计算第2。时和第6。时，原油温度

的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2。时和第6。时，原油温度的瞬时变化率就是/(2)和/(6)

根据导数定义，竺=/(2+&)--*0)

AxAx

(2+Ax-)2-7(2+Ar)+15-(22-7x2+15),、

=---------------------------------=Ax—3

Ax

所以f(2)=lim^-=lim(Ax-3)=-3

Av-OMAX-»O

同理可得：/'⑹=5

在第2〃时和第6。时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2。附近，原油温度大约以3℃/〃的

速率下降，在第6。附近，原油温度大约以5°C/力的速率上升.

注：一般地，/(x0)反映了原油温度在时刻X。附近的变化情况.

四.课堂练习

1.质点运动规律为s=»+3,求质点在，=3的瞬时速度为.

2.求曲线月(x)=x3在x=l时的导数.

3.例2中，计算第M时和第5〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

六.布置作业

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§1.1.3导数的几何意义

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义：

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

创设情景

(-)平均变化率、割线的斜率

(二)瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数月(X)在X=Xo处的瞬时变化率，反映了函数内(龙)在Eo附近的变化情况，

导数/'(%)的儿何意义是什么呢？

新课讲授

(-)曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当乙(居J(x,,))(〃=1,2,3,4)沿着曲线/(x)趋近于点

尸(X。J(x。))时，割线的变化趋势是什么？

我们发现，当点々沿着曲线无限接近点P即ALO时，割线PE,趋近于确定的位置，这个确定位置的直线

PT称为曲线在点P处的切线.

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问题：⑴割线心,的斜率心与切线PT的斜率k有什么关系?

（2）切线PT的斜率左为多少？

容易知道，割线PR的斜率是左〃="%）—/（*）,当点E,沿着曲线无限接近点P时，丸无限趋近于切线

相一。

PT的斜率k,即左=lim/（/+.）-/（/）=,

A—0Ax-

说明：（1）设切线的倾斜角为a,那么当Ax-o时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在x=/处的导数.

（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,

则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交

点，可以有多个，甚至可以无穷多个.

（-）导数的几何意义：

函数在x=x0处的导数等于在该点（％,/（Xo））处的切线的斜率，

即"=lim+八"）-/国）=k

0iAr

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①求出P点的坐标；

②求出函数在点与处的变化率/'（%）=lim./（＜+—"小）=女,得到曲线在点&,/（%））的切线

-Ax

的斜率；

③利用点斜式求切线方程.

（-）导函数：

山函数/（X）在x=xo处求导数的过程可以看到，当时J'（x0）是一个确定的数，那么，当X变化时.，便是X

的•个函数，我们叫它为小）的导函数.记作：/“（X）或

即：/"（X）=_/=lim/吐闪一•&）

…Ar

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

（三）函数/（x）在点X。处的导数/'（X。）、导函数/'（X）、导数之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数/'（X。），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常

数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数

3）函数/（x）在点/处的导数/（X。）就是导函数/'（X）在x=x0处的函数值，这也是求函数在点七处的

导数的方法之一。

三.典例分析

例1:（1）求曲线产/）='+1在点P（l,2）处的切线方程.

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(2)求函数尸3,在点(1,3)处的导数.

时八、,,[(1+Ar)2+1]-(12+1)2At+A?

解：⑴y|_,=lim------———-----=hm---------=2,

v△soAr加一。Ar

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为歹一2=2(刀一1)即2x—y=0

3r2-3123Cx2-I2)

(2)因为_/11=lim—~—=lim~=lim3(x+1)=6

IX-l7x-lXTl

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y-3=6(x-l)即6x-y-3=0

(2)求函数段)=一/+》在x=T附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包=-(-1+犯)2+(7+叔)-2=3—叔

ArAr

r绅-(-1+Ar)24-(-1+Ar)-2「c八\7

f(-1)=hm—=----------------------=lim(3-Ax)=3

x—oAXAYXT°

例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

所以,在£=[附近曲线下降,即函数〃0)=-4.9—+6.5%+10在1=4附近单调递减.

(3)当/=%时，曲线〃(/)在％处的切线4的斜率/。2)<0,所以，在，=，2附近曲线下降，即函数

力(x)=—4.9x2+6.5x+10在，=4附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线4的倾斜•程度小于直线4的倾斜程度，这说明曲线在4附近比在乙附近下降的

缓慢.

例3.(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管1tl药物浓度c=/(1)(单位：/wg/mL)随时间/(单位：min)

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变化的图象.根据图像，估计/=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/(7)在此时刻的导数，从图像上看，它表示

曲线/(/)在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化

率的近似值.

作/=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0.48),则它的斜率为：

,0.48-0.91一

k=-----------=-1.4

1.0-0.7

所以八0.8)=—1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值：

t0.20.40.60.8

药物浓度瞬时变化率/«)0.40-0.7-1.4

四.课堂练习

1.求曲线月(x)=d在点(1,1)处的切线;

2.求曲线歹=正在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

六.布置作业

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§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标：

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数^=。、y=x、y=、2、y=L的导数公式；

X

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

教学重点：四种常见函数y=c、y-x>y-x2>y的导数公式及应用

x

教学难点：四种常见函数y=c、y-x>y-x2>y的导数公式

x

教学过程：

一.创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速

度.那么，对于函数y=/（x）,如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归

结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将

研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

新课讲授

1.函数丁=/（x）=c的导数

根据导数定义，因为包=/（'+©）-//）===0

ArAxAr

所以y'=lim^=limO=O

Ar—>0.丫AXT0

函数导数

y=cy=0

y=0表示函数^二。图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0.若y=c表示路程关于时间的函数,

则y=o可以解释为某物体的瞬时速度始终为o,即物体一直处于静止状态.

2.函数y=/(x)=x的导数

因为包=/(x+Av)/(x)=x+Ax-x=

ArAxAx

所以y=lim—=lim1=1

AXTOAY

函数导数

y=xy=i

y=1表示函数歹=x图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路程关于时间的函数,

则y'=l可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

第13页共85页

3.函数歹=/(x)=x2的导数

田为W_/(x+At)-/(x)_(x+Ax>—f

内刀---=----------------=-------------

ArArAx

x2+2xAr+(Ax)2-x2、

=----------------=2x4-Ax

AY

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

AXTOAYAr-»o

函数导数

y=x2y/=2x

y'=2x表示函数丁=/图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着x的变化，切线

的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当x<0时，随着x的增

加，函数y=/减少得越来越慢：当x>0时，随着x的增加，函数歹=一增加得越来越快.若y=X)表

示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

4.函数y=/(x)=■的导数

X

1j_

因为电=/(x+Ax)-/(+=1+垓-J

AxArAx

_x-(x+Ax)_1

x(x+Ax)Axx2+x-Ax

所以/=lim—=lim(——---)=--\

Az。AYAXX~+X•AVX

函数导数

1z1

y=y=~2

Xx

(2)推广：若y=/(x)=x〃(〃w。*),则/'(X)=〃X〃T

三.课堂练习

1.课本P|3探究1

2.课本P”探究2

4.求函数y=«的导数

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四.回顾总结

函数导数

y=cy=0

y-xy=i

y=x2y=2x

1,1

y=-y=~2

Xx

y=/(x)=x"(〃e。*)y-nxn~x

五.布置作业

第15页共85页

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2.掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

创设情景

四种常见函数y=c、y-x>y-x1>y的导数公式及应用

二.新课讲授

(-)基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

V=/(x)=x"(〃e。*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-In<7(<7>0)

y=.f(x)=exy=ex

/(x)=log“v"(x)=1(。>0且"1)

/(x)=log„X

x\na

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/'(x)=1

/(x)=lnx

X

（-）导数的运算法则

导数运算法则

1.[/(x)±g(x)]=/(x)±g'(x)

2.[/(x)-g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

3「/(X)]_/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

l_g(x)」[g(x)]

（2）推论：=cf（x）

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

三.典例分析

例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价p（单位：元）与时间/（单位：年）有如

下函数关系p（7）=Po（l+5%）',其中p°为/=0时的物价.假定某种商品的岛=1,那么在第10个年头,

这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p（7）=1.05'In1.05

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所以p'(10)=1.05、InLO5Ho.08(元/年)

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=x3-2x+3

11

(2)

y1+y[x1—y[x

(3)=x-sinx-Inx；

x

(4)y

4X

1-lnx

(5)y

1+lnx

(6)y=(2X12-5X+1)/

sinx-xcosx

(7)y=--------：—

cosx+xsinx

【点评】

①求导数是在定义域内实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水

净化到纯净度为X%时所需费用(单位：元)为

c(x)=^^-(80<x<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1)90%(2)98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

./、,5284、，52841x(100-%)-5284x(100-x),

C(X)=(-------)=--------------------z------------

100-x(100-x)2

0x(100-x)-5284x(-l)_5284

(100-x)2-(100-x)2

(1)因为c(90)=―5284=52.84,所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84

(100-90)2

元/吨.

52g4

(2)因为c(98)=—,=1321,所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/

(100-90)2

吨.

函数/(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知，

c(98)=25c(90).它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净

化费用的瞬时变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的

速度也越快.

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四.课堂练习

1.课本P92练习

2.已知曲线C：y=3X4-2X3-9X2+4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

(y=-12x+8)

五.回顾总结

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

六.布置作业

第19页共85页

§1.2.2复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间

变量对自变量的导数之积.

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

--创设情景

（一）基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

V=/(x)=x"(〃e。*)y=nxn~]

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=f(x)=axy=ax-In67((7>0)

y=.f(x)=exy=ex

1

/(x)=log,X/(x)=log〃v'(x)=(a>01)

(x\na

/(x)=lnx/(x)=1

X

（—）导数的运算法则

导数运算法则

1.[/(x)+g(x)]=/'(%)+g'(x)

2."(x>g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

./(x)g(x)-/(x)g(x)

3.[g（x）.

[g(刈-

（2）推论：\cf（x）]=cf（x）

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

新课讲授

第20页共85页

复合函数的概念一般地，对于两个函数丁=/(〃)和〃=g(x),如果通过变量〃，丁可以表示成X的

函数，那么称这个函数为函数y=/(〃)和〃=g(x)的复合函数，记作y=/(g(x))。

复合函数的导数复合函数歹=/(g(x))的导数和函数y=/(〃)和〃=g(x)的导数间的关系为

=y：­U：,即歹对X的导数等于y对2的导数与“对